Diskussion:Quadratische Form

Wladislaw Sojka!

Worauf Deine Affinitaet zur Mathematik gruendet ist mir erstmal nicht klar.

Aber solch eine Affinitaet einmal unterstellt, haette ich doch erwartet, dass Du etwas misstrauisch bist, wenn Du den Autor (David Cox) eines Buches, das offensichtlich hardcore Zahlentheorie betreibt (primes of the form x²+ny²), als britischen Statistiker identifizierst - Deine Aenderung vom 31.Mai. Und ein wenig elementare Recherche haette Dir gezeigt, dass solch eine Identifikation offensichtlich falsch ist.

Das hat also damals nicht geklappt, und ich habe - mit Begruendung - damals die Sache wieder in Ordnung gebracht.

Dass Du jetzt wieder einen solchen link einfuegst (deine Aenderung vom 1.Aug) empfinde ich als aergerlich. Ein wenig mehr Sorgfalt waere doch angemessen.

Mit sozialistischen Gruessen! --Salonbolschewik 22:19, 7. Aug. 2007 (CEST)

Dieser Beitrag schien sich auf diese Änderungen von Benutzer:Taxiarchos228 zu beziehen.

Ich vermute das Thema ist erledigt, oder? Dann könnte man es mit {{Erledigt}} markieren.

Grüße, --Martin Thoma 18:27, 25. Sep. 2012 (CEST)

Notizblock: Was noch dazu kommen sollte/ besser werden sollte

1. Um eine quadratische Form zu definieren, braucht's ja nur einen Ring (eigentlich noch weniger). Aber was waere die "richtige" algebraische Struktur um eine signifikante algebraische Theorie aufbauen zu koennen? Ererbterweise ist der bestehende Artikel diesbezueglich noch Kraut&Rueben und ich habe es nicht besser gemacht

2. Die koordinatenfreie Auffassung der quadratischen Formen und ihrer Aequivalenz wie Sie zB in Lam auf den ersten Seiten dargestellt ist _muss_ noch rein.

3. Ein wenig algebraische Theorie sollte schon skizziert werden. Das waere dann der Platz

- um auf den Sylvester'schen Traegheitssatz verweisen zu koennen. (ist ja ein klassisches Ergebnis)

- fuer die Diagonalisierbarkeit der qF ueber GL_n(Koerper nicht der char 2)

4. Bei den primitiven binaeren qF'en die Beziehung der Formklassengruppe zur (engen) Idealklassengruppe (wie heisst das Ding ueberhaupt im Deutschen?) eines korrespondierenden quadratischen Koerpers erwaehnen

(bloss woher?? Milne:ANT, p71 erwaehnt es, verweist fuer einen Beweis allerdings auf Froehlich/Taylor:ANT. Buell ist (wiedermal) ein Problem und keine vollstaendige Loesung. Bei Cox muss man hoellisch aufpassen, da sein Focus die posdef Formen sind - allerdings schiebt er immer wieder allgemeine binaere qF ein, so dass man sich stets auf etwas schwankendem Boden bewegt. Bei Neukirch hab ich auf die Schnelle nix gefunden). Aktuelle Meinung: Buell mit den Ergaenzungen (Punktweise Multiplikation vs Gruppenoperation) von Cox

Nebenbei, der Begriff "primitiv" sollte eingefuehrt werden - macht einige Formulierungen einfacher.

5. Pkt 4 ist mir wichtig, weil das auch eine gerechtere Wuerdigung der Arbeit von Bhargava ermoeglichen wuerde. (Obwohl ich etwas stinkig auf B bin)

6. Der Begriff der Komposition ist im wirklichen Leben doch nicht so festgeklopft wie ich das hier (unter Bezug auf Cox) geschrieben habe. (Bhargava beispielsweise ist die punktweise Multiplikation nochnichtmal eine Erwaehnung wert)

7. Komposition von primitiven binaeren quadratischen Formen verschiedenener Diskriminante ist ja nur in sehr speziellen Umstaenden moeglich. Und das hat damit zu tun, dass man die punktweise Multiplikation nicht notwendig auf ganz Z^2 loesen muss, sondern dass man sich auf andere Gitter beschraenken kann. Ob es nicht besser waere den Abschnitt entsprechend umzuformulieren?

8. Das Kompositionsthema koennte mit Shapiro bereichert werden. Ist zwar witzig wie die Kombinatorik sich reinmogelt, das Thema ist aber doch ziemlich randstaendig.

Das Artikelchen ueber Normformen in der en.wiki ist gut geraten. Sollte man so als eigenstaendigen Artikel uebernehmen. Oeffnet Querverweise fuer die Pkte 4 und 5

--Salonbolschewik 22:19, 7. Aug. 2007 (CEST)

Separater Artikel für binäre quadratische Formen?

Die dem Überarbeitungsvermerk folgenden 4 Kapitel beschäftigen sich nur mit binären quadratischen Formen. Deshalb wäre es sinnvoll, diese Kapitel in einen eigenen Artikel auszulagern. Gibt es dazu gegenteilige Meinungen?--Vanda1 08:16, 21. Aug. 2007 (CEST)

Es gibt nun den eigenen Artikel binäre quadratische Form. Ich hoffe, das erleichtert nun auch die Verbesserung/Weiterentwicklung dieses Artikels!--Vanda1 16:04, 13. Sep. 2008 (CEST)

Ein entschiedenes später!

Hi Vanda1, Im Prinzip ist Deine Beobachtung, dass es nur noch um binäre qF gehe, richtig (Bis auf den Hinweis auf die Arbeit von Bhargava: dort tauchen kubische Formen und Paare von binären qF auf (auch noch schlimmeres)). Da das Material insgesamt sehr "binaere qF"-lasig ist, hatte ich selbst schon mit dem Gedanken der Aufspaltung gespielt. Ich bin auch der Meinung, dass die Aufspaltung kommen wird, denn irgendwann wird es die Masse des Materials erzwingen. Dann allerdings nicht entlang der Linie zweidimensionale/mehrdimensionale Formen, sondern entlang der Linie algebraische ("also" vieldimensionale) Auffassung/zahlentheoretische Eigenschaften der rationalen qF.

Ich vermute, dass dir der Artikel jetzt schon etwas zu groß geraten ist. Ja, das kann man so sehen. Ich habe allerdings vor (es sei denn, Du bedrohst mich mit der russischen Mafia) zunächst mal den Abschnitt über Reduktion etwas konzentrieren. (Danach steht auch was über 3-dimensionale Formen drin).

Und weiter daran arbeiten, dass der Artikel eine bessere Form gewinnt. Wenn das geleistet ist, erhoffe ich mir, dass sich eine natürliche Schnittlinie finden lassen wird - die sehe ich noch nit klar genug. Darum wuerde ich es vorziehen, wenn die Aufspaltung noch nicht geschieht.

Gruesse --Salonbolschewik 19:46, 4. Sep. 2007 (CEST)

OK, ich bin gespannt auf deine Überarbeitung. Eigentlich wollte ich aber auch noch einige Eigenschaften der reduzierten Formen nennen (siehe Sätze in Buell), aber auch zu den (elementaren) Reduktionsmatrizen und den Algorithmen selber noch etwas schreiben (erst damit macht die Einführung der symmetrischen Matrix am Anfang Sinn). Also bitte erstmal nicht zu viel kürzen. --Vanda1 20:53, 4. Sep. 2007 (CEST)

Hardcore-Formalismus vs. Anschaulichkeit

Was mich immer wieder ärgert: Wikipedia ist ein öffentliches Lexikon. Gerade Schüler und Studenten würden sich immer wieder darüber freuen, wenn nicht soviel Wert auf Hardcore-Formalismus, als vielmehr auf Verständlichkeit gelegt werden würde. Ich spreche also von einer didaktischen Form, die es auch dem Laien ermöglicht, bei Wikipedia etwas zu lernen. Sprich: Wie wäre es mit etwas mehr Anschaulichkeit? Oder dürfen nur diejenigen den Artikel verstehen, die bereits alles können?

Da muss ich dir hier zustimmen. Bis ich diesen Artikel aufgeschlagen habe, dachte ich, ich wüsste was eine Quadratische Form ist. --Christian1985 13:47, 14. Jul. 2008 (CEST)

: Ich habe auch gar nix verstanden. Ein paar einfachste Beispiele und weniger Begriffe, die man wieder nachschlagen muss, wäre sehr hilfreich. Lukas

Es entsteht der Eindruck, der Autor/die Autoren dieses Artikels schweben in sphären, die nicht mehr allgemein zugänglich sind und deren Tür und Tor mit Leib und Seele bewacht werden. Wer etwas zu sagen hat, der drückt sich so aus, dass er auch wirklich verstanden wird. --Trugbild 11:29, 21. Jul. 2008 (CEST)

Ließe sich die Unklarheit der Definition vielleicht durch etwas in dieser Richtung beseitigen?

Sei V ein Vektorraum über Körper K, und f eine zweistellige Form. Die zugehörige Abbildung q: V -> K mit v -> q(v)=f(v,v) bezeichnet man als quadratische Form von f.

Das ist mir grad eingefallen, wir haben das in der Uni wie ich mich erinnere so definiert, ich bin mir aber nicht sicher ob das einerseits richtig und andererseits allgemein genug ist. Als Beispiel könnte man 'Quadrat der euklidischen Norm im R^n' angeben, welches die qF zur zweistelligen Form 'kanonisches Skalarprodukt im R^n' wäre. --Fador 13:10, 8. Okt. 2008 (CEST)

Genau so etwas fehlt meiner Ansicht nach. Das Problem ist, dies scheint nur ein Spezialfall von dem zu sein, was dieser Artikel abhandelt. Vielleicht wäre es ganz gut einen Abschnitt zu diesem Spezialfall zu schreiben, da einem dies im Grundstudium ja mal über den Weg läuft. Ich selbst habe mich daran nicht rangetraut, da ich nicht richtige sehe wie man das als Spezialfall auffasst. --Christian1985 18:59, 8. Okt. 2008 (CEST)

Je mehr ich darüber nachdenke, desto eher komme ich zu dem Schluss, dass die hier aufgeführte Definition einer qF selbst ein Spezialfall ist, da Formen von Vektorräumen (oder Moduln) in Körper (Ringe) abbilden. Hier bildet aber wenn ich das richtig verstehe die qF vom Ring in den Ring ab. Sollte das stimmen, fehlt eine allgemeine Definition. --Fador 19:32, 8. Okt. 2008 (CEST)

Ich denke, dass Linearformen von Vektorräumen in Körper abbilden. Quadratische Formen sind wahrscheinlich ein anderes Konzept und symmetrische Bilinearformen sind zufälligerweise äquivalent zu gewissen quadratischen Formen. Habe das gerade mal durchgerechnet. Sei $A=(a_{ij})$ eine darstellende Matrix einer symmetrischen Bilinearform. Dann ist $x^{t}Ax$ ein quadratisches Polynom. Die Bilinearform bildet also von Vektorräumen auf einen Körper ab. Ein Polynom bildet eben zwischen Ringen ab, so auch das Polynom, welches man aus der Bilinearform erhält. --Christian1985 19:59, 8. Okt. 2008 (CEST)

Dann hab ich mich getäuscht, was dann aber leider bedeutet, dass die "einfacheren" Aspekte der qF im Punkt "Bezug zu Bilinearformen" schon abgehandelt sind. Das springt einem nicht gerade unbedingt ins Auge. Ich weiß allerdings nichts über das tatsächliche Vorkommen von qF in der Mathematik, also kann ich auch nicht beurteilen, ob dieser Punkt vielleicht etwas entschärft mit in die Definition gehört, als Beispiel oder Spezialfall. Aber kann es wirklich sein dass man die qF nur für solche abgefahrenen zahlentheoretischen Zwecke braucht? Mein Bronstein erklärt mir die qF auch über Darstellungsmatrix einer BiLF, btw. --Fador 11:21, 9. Okt. 2008 (CEST)

einen Grund diesen Artikel allgmeinverständlicher zu machen besteht meiner Meinung nach nicht, da es ist ein sehr spezielles Thema ist, denke ich dass die durchaus allgemeinverständliche Einführung zur Einordnung des Artikels reicht-- Kaninchenohr 12:46, 26. Okt. 2008 (CET)

Das sehe ich anders. In viele 2. Semesterbücher wird das Thema in Zusammenhang mit Bilinearformen aufgegriffen drum finde ich, dass es einen Abschnitt geben sollte den 2. Semester verstehen können, der Rest kann gerne auf dem Level bleiben. --Christian1985 13:16, 26. Okt. 2008 (CET)

kann ich nur unterschreiben, ich wollte eigentlich nur wissen welche vorraussetzungen gegeben sein müssen damit eine quadratische form vorliegt, allerdings kann ich hier nichts zu erkennen. --92.226.135.183 16:32, 26. Okt. 2008 (CET)

schüler und studenten

hi, also ich weiß ja nicht aber ich als student fang mit anschaulichen sachen genau 0 an, in der mathematik kommt man um formalismus halt nicht rum. außerdem trägt formalismus finde ich sehr wohl zum verständnis bei.

Worauf beziehst du dich? Auf den Abschnitt zuvor? --Christian1985 13:50, 5. Dez. 2008 (CET)

Quadratischer Raum

Im Abschnitt Quadratischer Raum wird dieser definiert als ein Vektorraum zusammen mit einer quadratischen Form. Nur versteht man hier unter quadratischer Form eben nicht das, was im Abschnitt Definition beschrieben wird (dies würde für den Spezialfall $V=K^{n}$ nur stimmen), sondern eben eine Abbildung $q:V\to K$ mit den Eigenschaften aus dem Abschnitt Motivation. Nicht umsonst unterscheidet hier der englische Artikel zwischen quadratic form und quadratic map. Diese Unterscheidung ist im deutschen Artikel aber keineswegs ersichtlich. Falls ihr das auch so seht, bitte ich, dass das jemand ändert, der sich mehr mit dem Thema auskennt und die richtige Definition schnell in einem Buch überprüfen kann. --ThE cRaCkEr (Diskussion) 20:05, 28. Mär. 2012 (CEST)

Beispiele/Klassifikation

Ich habe den Abschnitt Beispiele/Klassifikation editiert. Ich hoffe, meine Änderungen sind richtig, aber ich bin nicht sicher, ob die Formel

$q(\lambda _{1}e_{1}+\dotsb +\lambda _{n}e_{n})=\lambda _{1}^{2}+\dotsb +\lambda _{a}^{2}-\lambda _{a+1}^{2}-\lambda _{a+b}^{2}$

jetzt richtig ist. Könnte jemand mit mehr Ahnung mal drübergucken? -- UKoch (Diskussion) 20:02, 2. Nov. 2014 (CET)

Passt, danke! -- HilberTraum (d, m) 21:06, 2. Nov. 2014 (CET)

Intro

Was ist die Beziehung zwischen $v$ und $x,y,z,\ldots$? --Madyno (Diskussion) 17:50, 28. Nov. 2022 (CET)