Dunford-Pettis-Eigenschaft

Die Dunford-Pettis-Eigenschaft (nach N. Dunford und B. J. Pettis) ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Eigenschaft von Banachräumen.

Definition

Die folgende Definition geht auf A. Grothendieck (1953) zurück:

Ein Banachraum $X$ hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft, wenn für jeden Banachraum $Y$ jeder schwach-kompakte lineare Operator $X\rightarrow Y$ bereits vollstetig ist.

Nach der englischen Bezeichnung „Dunford-Pettis-Property“ verwendet man die Abkürzung DPP und sagt kurz, $X$ habe oder sei DPP.

Beispiele

• Die Folgenräume $c_{0}$, $\ell ^{1}$ und $\ell ^{\infty }$ haben die Dunford-Pettis-Eigenschaft, die Folgenräume $\ell ^{p},1<p<\infty$ hingegen nicht.
• Ist $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ ein endlicher Maßraum, so hat L¹$(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ die Dunford-Pettis-Eigenschaft. Dass dies der Fall ist, wurde zuvor von N. Dunford und B. J. Pettis bewiesen und war für Grothendieck die Motivation zur Namensgebung.
• Ist $K$ ein kompakter Hausdorff-Raum, so hat der Banachraum $C(K)$ der stetigen Funktionen $K\to \mathbb {C}$ die Dunford-Pettis-Eigenschaft, wie von Grothendieck bewiesen wurde.
• Kein unendlich-dimensionaler reflexiver Banachraum hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft.

Eine Charakterisierung

Für einen Banachraum $X$ sind folgende Aussagen äquivalent:

• $X$ hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft.
• Ist $(x_{n})_{n}$ eine Folge in $X$ mit schwachem Grenzwert $x$ und $(f_{n})_{n}$ eine Folge im Dualraum $X'$ mit schwachem Grenzwert $f$, so gilt $f_{n}(x_{n})\to f(x)$ für $n\to \infty$.
• Ist $(x_{n})_{n}$ eine Folge in $X$ mit schwachem Grenzwert $0$ und $(f_{n})_{n}$ eine Folge im Dualraum $X'$ mit schwachem Grenzwert $0$, so gilt $f_{n}(x_{n})\to 0$ für $n\to \infty$.

Eigenschaften

Hat der Dualraum $X'$ des Banachraums $X$ die Dunford-Pettis-Eigenschaft, so auch $X$.

Da $\ell ^{\infty }$ als kommutative C*-Algebra von der Form $C(K)$ ist mit einem kompakten Hausdorff-Raum $K$ (siehe Satz von Gelfand-Neumark), hat $\ell ^{\infty }$ nach dem unter den Beispielen erwähnten Satz von Grothendieck die Dunford-Pettis-Eigenschaft. Da $(c_{0})'\cong \ell ^{1}$ und $(\ell ^{1})'\cong \ell ^{\infty }$ (siehe Artikel Folgenraum), ergibt sich, dass auch $c_{0}$ und $\ell ^{1}$ die Dunford-Pettis-Eigenschaft haben.

Gemäß Definition sind alle schwach-kompakten Operatoren auf Räumen mit der Dunford-Pettis-Eigenschaft vollstetig, die Umkehrung muss aber nicht gelten. Beispielsweise hat $\ell ^{1}$ die Dunford-Pettis-Eigenschaft und die Identität $\mathrm {id} _{\ell ^{1}}$ ist vollstetig, denn wegen der Schur-Eigenschaft sind schwach-kompakte Mengen bereits norm-kompakt. $\mathrm {id} _{\ell ^{1}}$ ist aber nicht schwach-kompakt, denn sonst wäre die Einheitskugel bereits schwach-kompakt und $\ell ^{1}$ wäre reflexiv, was aber nicht der Fall ist.

Quellen

• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer, New York 1998, ISBN 0-387-98431-3. 
• Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. Springer, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo 1984, ISBN 0-387-90859-5.