Irreduzibles Gitter

In der Mathematik sind irreduzible Gitter in der Theorie der Lie-Gruppen von Bedeutung.

Sei $G$ eine nichtkompakte, halbeinfache Lie-Gruppe und $\Gamma \subset G$ ein Gitter, d. h. eine diskrete Untergruppe, für die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens bzgl. des Haarmaßes gibt.

Wenn $\Gamma _{1}\subset G_{1}$ und $\Gamma _{2}\subset G_{2}$ Gitter sind, dann ist $\Gamma _{1}\times \Gamma _{2}$ ein Gitter in $G_{1}\times G_{2}$. Solche Gitter heißen reduzibel.

Ein Gitter $\Gamma \subset G$ heißt irreduzibel, wenn für jeden nichtkompakten, abgeschlossenen Normalteiler der Zusammenhangskomponente der Eins $N\subset G_{0}$ die Menge $\Gamma N$ dicht in $G$ ist.

In einer nicht-kompakten einfachen Lie-Gruppe ist jedes Gitter irreduzibel.

Beispiele irreduzibler Gitter in Gruppen der Form $G_{1}\times G_{2}$ sind die Hilbertschen Modulgruppen.

Wenn das Zentrum $Z(G)=0$ und die Projektion von $\Gamma$ im maximal kompakten Faktor dicht liegt, dann ist jedes Gitter kommensurabel zu einem Produkt irreduzibler Gitter.

Literatur

• D. Witte-Morris: Introduction to arithmetic groups. Deductive Press, 2015. ISBN 978-0-9865716-0-2