Pentagonikositetraeder

Das Pentagonikositetraeder ist ein chirales Polyeder, das sich aus 24 unregelmäßigen Fünfecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum abgeschrägten Hexaeder und hat 38 Ecken sowie 60 Kanten.

Die folgenden Bilder zeigen zwei zueinander spiegelbildliche Pentagonikositetraeder.

Spiegelvariante 1
Spiegelvariante 2

Entstehung

Konstruktion des Tangentenfünfecks am abgeschrägten Hexaeder

Links- und rechtshändige Version eines Pentagonikositetraeders (Pappmodelle)

Durch Verbinden der Mittelpunkte von jeweils fünf Kanten, die in jeder Raumecke des abgeschrägten Hexaeders zusammenstoßen, entsteht ein Sehnenfünfeck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Tangentenfünfecks, der Begrenzungsfläche des Pentagonikositetraeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 136°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.

Nachfolgend bezeichne der Term $t$ den Kosinus des kleineren Zentriwinkels $\zeta$ im zuvor erwähnten Sehnenfünfeck.^[1]

t=\cos \,\zeta ={\frac {1}{6}}\left({\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}-2\right)

Sei $d$ die Kantenlänge des abgeschrägten Hexaeders, so sind die resultierenden Seitenlängen des Tangentenfünfecks gegeben durch

a={\frac {d}{2}}{\sqrt {2+2t}}

b={\frac {d}{\sqrt {2+2t}}}

Daraus folgt:^[2]

a=b\,(1+t)

Formeln

Für das Polyeder

Größen eines Pentagonikositetraeders mit Kantenlänge a bzw. b^[3]
Volumen^[4] ≈ 12,45a³ ≈ 35,63b³	$V={\frac {4a^{3}(2+3t){\sqrt {1-2t}}}{(1+t)(1-4t^{2})}}={\frac {2b^{3}(1+t)(2+3t)}{(1-2t^{2}){\sqrt {1-2t}}}}$
Oberflächeninhalt^[4] ≈ 27,19a² ≈ 54,8b²	$A_{O}={\frac {24a^{2}(2+3t)}{1+2t}}{\sqrt {\frac {1-t}{1+t}}}={\frac {12b^{2}(2+3t)}{(1-2t^{2})}}{\sqrt {1-t^{2}}}$
Kantenkugelradius^[4]	$r={\frac {a}{\sqrt {2\,(1+t)(1-2t)}}}=b\,{\sqrt {\frac {1+t}{2\,(1-2t)}}}$
Inkugelradius^[4]	$\rho ={\frac {a}{2{\sqrt {(1-2t)(1-t^{2})}}}}={\frac {b}{2}}\,{\sqrt {\frac {1+t}{(1-t)(1-2t)}}}$
Flächenwinkel^[4] ≈ 136° 18′ 33″	$\cos \,\alpha ={\frac {t}{t-1}}$
Sphärizität ≈ 0,9556	$\Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{36\,\pi \,V^{2}}}{A_{O}}}$

Für die Begrenzungsflächen

Größen im Fünfeck des Pentagonikositetraeders

Größen des Tangentenfünfecks^[3]
Flächeninhalt^[4]	$A={\frac {a^{2}(2+3t)}{1+2t}}{\sqrt {\frac {1-t}{1+t}}}={\frac {b^{2}(2+3t)}{2\,(1-2t^{2})}}{\sqrt {1-t^{2}}}$
Inkreisradius^[4]	$r={\frac {a}{2{\sqrt {1-t^{2}}}}}={\frac {b}{2}}\,{\sqrt {\frac {1+t}{1-t}}}$
Diagonale^[4] $\\|\,b$	$e=2a\,(1-2t^{2})=b\,(1+2t)$
Stumpfe Winkel^[4](4) ≈ 114° 48′ 43″	$\cos \,\alpha =-t$
Spitzer Winkel (1) ≈ 80° 45′ 6″	$\cos \,\beta =1-2t$

Anmerkungen

↑ t ist die einzige reelle Lösung der kubischen Gleichung 4t³ + 4t² − 1 = 0. Wird zum doppelten Wert von t die Zahl 1 addiert, erhält man die Tribonacci-Konstante, welche den Limes des Verhältnisses (= 1,83928675521416…) zweier aufeinanderfolgenden Zahlen dieser Folge darstellt.
↑ Mit a> sei die längere der beiden Seiten des Pentagonikositetraeders bezeichnet.
↑ ^a ^b Diese Formeln gelten ausschließlich für den Fall b = a:(1+t) bzw. äquivalent dazu a = b·(1+t)
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Diese Formel gilt auch für das Pentagonhexakontaeder sowie das Pentagondodekaeder, sofern man die entsprechenden Werte für b (kurze Seitenlänge), n (Anzahl der Begrenzungsflächen) sowie t (Kosinus des kleineren Zentriwinkels) einsetzt und ferner beachtet, dass O = n·A und V = 1/3·O·ρ ist.

Weblinks

Commons: Pentagonikositetraeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Pentagonikositetraeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Eric W. Weisstein: Pentagonikositetraeder. In: MathWorld (englisch).

[1] t ist die einzige reelle Lösung der kubischen Gleichung 4t³ + 4t² − 1 = 0. Wird zum doppelten Wert von t die Zahl 1 addiert, erhält man die Tribonacci-Konstante, welche den Limes des Verhältnisses (= 1,83928675521416…) zweier aufeinanderfolgenden Zahlen dieser Folge darstellt.

[2] Mit a> sei die längere der beiden Seiten des Pentagonikositetraeders bezeichnet.

[Formel-3] Diese Formeln gelten ausschließlich für den Fall b = a:(1+t) bzw. äquivalent dazu a = b·(1+t)

[tformel-4] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Diese Formel gilt auch für das Pentagonhexakontaeder sowie das Pentagondodekaeder, sofern man die entsprechenden Werte für b (kurze Seitenlänge), n (Anzahl der Begrenzungsflächen) sowie t (Kosinus des kleineren Zentriwinkels) einsetzt und ferner beachtet, dass O = n·A und V = 1/3·O·ρ ist.

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