Tetrakishexaeder

Das Tetrakishexaeder (aus griechisch τετράκις tetrakis „viermal“ und Hexaeder „Sechsflächner“), auch Pyramidenwürfel oder Disdyakishexaeder (griechisch δίς dis „zweimal“ und δυάκις dyakis „zweimal“), ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 24 gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Oktaederstumpf und hat 14 Ecken sowie 36 Kanten.

Entstehung

Werden auf die 6 Begrenzungsflächen eines Würfels (Kantenlänge $a$ ) quadratische Pyramiden mit der Flankenlänge $b$ aufgesetzt, entsteht ein Tetrakishexaeder, sofern die Bedingung ${\tfrac {a}{2}}{\sqrt {2}}<b<{\tfrac {a}{2}}{\sqrt {3}}$ erfüllt ist.

Für den zuvor genannten minimalen Wert von $b$ haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich der Würfel mit der Kantenlänge $a$ übrig bleibt.
Das spezielle Tetrakishexaeder mit gleichen Flächenwinkeln entsteht, wenn $b={\tfrac {3}{4}}\,a$ ist.
Nimmt $b$ den o. g. maximalen Wert an, entartet das Tetrakishexaeder zu einem Rhombendodekaeder mit der Kantenlänge $b$ .
Überschreitet $b$ den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex und entartet zu einem Sternkörper.

Formeln

Allgemein

${\tfrac {a}{2}}{\sqrt {2}}<b<{\tfrac {a}{2}}{\sqrt {3}}$

Größen eines Tetrakishexaeders mit Kantenlänge a, b
Volumen	$V=a^{2}\left(a+{\sqrt {4b^{2}-2a^{2}}}\right)$
Oberflächeninhalt	$A_{O}=6a{\sqrt {4b^{2}-a^{2}}}$
Pyramidenhöhe	$k={\frac {1}{2}}{\sqrt {4b^{2}-2a^{2}}}$
Inkugelradius	$\rho ={\frac {a\left(a+{\sqrt {4b^{2}-2a^{2}}}\right)}{2{\sqrt {4b^{2}-a^{2}}}}}$
Flächenwinkel (über Kante a)	$\cos \,\alpha _{1}={\frac {2a{\sqrt {4b^{2}-2a^{2}}}}{a^{2}-4b^{2}}}$
Flächenwinkel (über Kante b)	$\cos \,\alpha _{2}={\frac {a^{2}}{a^{2}-4b^{2}}}$

Speziell

$b={\tfrac {3}{4}}\,a$

Größen eines Tetrakishexaeders mit Kantenlänge a
Volumen	$V={\frac {3}{2}}\,a^{3}$
Oberflächeninhalt	$A_{O}=3a^{2}{\sqrt {5}}$
Pyramidenhöhe	$k={\frac {a}{4}}$
Inkugelradius	$\rho ={\frac {3}{10}}\,a{\sqrt {5}}$
Kantenkugelradius	$r={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}$
Flächenwinkel ≈ 143° 7′ 48″	$\cos \,\alpha =-{\frac {4}{5}}$
Sphärizität ≈ 0,94465	$\Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{3\,\pi }}{\sqrt {5}}}$

Anwendung

In der Natur kommt das Tetrakishexaeder als spezielle Form {hk0} bei Kristallen der Klassen 432, 42m und m3m vor, z. B. beim Fluorit.
Das Tetrakishexaeder wird auch als Spielwürfel (W24) verwendet.

Weblinks

Commons: Tetrakishexaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Eric W. Weisstein: Tetrakishexaeder. In: MathWorld (englisch).
Interaktive Darstellung des Tetrakishexaeders im Mineralienatlas
Fluorit im Wölsendorfer Flußspat-Revier (Memento vom 20. Februar 2013 im Internet Archive)