Approximation der Eins

Begriff aus der mathematischen Theorie

Eine Approximation der Eins ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren. Viele für Anwendungen wichtige Banachalgebren haben kein Einselement. Eine Adjunktion eines Einselement wäre in der Regel ein unnatürliches Vorgehen. In solchen Situationen können aber die hier zu besprechenden Approximationen der Eins vorliegen, diese bilden dann einen Ersatz für das fehlende Einselement.

Nach Beispielen für Banachalgebren ohne Einselement werden Approximationen der Eins definiert. Schließlich werden für die genannten Beispiele Approximationen der Eins angegeben.

Beispiele für Banachalgebren ohne Einselement

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  • Sei   ein lokalkompakter Hausdorffraum. Die C*-Algebra   der stetigen Funktionen  , die im Unendlichen verschwinden, hat nur dann ein Einselement, wenn   kompakt ist. In diesem Fall ist die konstante Funktion 1 das Einselement. Die C*-Algebra   hat kein Einselement.
  • Sei   eine lokalkompakte Gruppe. Dann hat die Faltungsalgebra L1(G) genau dann ein Einselement, wenn   diskret ist. In diesem Fall ist   für alle  , das Einselement (wobei   das neutrale Element der Gruppe ist). Die im Rahmen der Fourier-Transformation untersuchte Algebra   hat kein Einselement.
  • Die C*-Algebra der kompakten Operatoren, die Spurklasse und die Hilbert-Schmidt-Klasse über einem Hilbertraum   haben genau dann ein Einselement, wenn die Dimension von   endlich ist. In diesem Fall ist die identische Abbildung   das Einselement. In den für Anwendungen wichtigen Fällen   oder   liegen keine Einselemente vor.
  • Die Folgenräume  , sind mit der komponentenweise Multiplikation Banachalgebren ohne Einselement.

Definitionen

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Eine links-Approximation der Eins (bzw. rechts-Approximation der Eins) einer Banachalgebra   ist ein Netz   mit   (bzw.  ) für alle  .

Eine (beidseitige) Approximation der Eins ist ein Netz, das gleichzeitig links- und rechts-Approximation der Eins ist.

Eigenschaften des Netzes, wie z. B. Abzählbarkeit oder Beschränktheit, werden auch den Approximationen der Eins zugeschrieben.

Hat   ein Einselement  , so ist das einelementige Netz   eine Approximation der Eins. Banachalgebren mit Approximation der Eins verallgemeinern also Banachalgebren mit Einselement.

Beschränkte Approximationen der Eins

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Hat   eine beschränkte links-Approximation der Eins   und eine beschränkte rechts-Approximation der Eins  , so kann man durch eine einfache Rechnung zeigen, dass   eine beidseitige beschränkte Approximation der Eins ist.

Ein Banachraum  , der ein  -Linksmodul ist, heißt ein Banach- -Linksmodul, wenn es eine Konstante   gibt mit   für alle   und  . Ein wichtiger Spezialfall ist   mit dem Banachalgebren-Produkt als Moduloperation.

Ist   ein Banach- -Linksmodul, und hat   eine beschränkte Approximation der Eins   mit   für alle  , so kann man jedes   über   faktorisieren, das heißt, es gibt ein   und ein   mit  , in Formeln  .

Der Spezialfall   verdient besondere Erwähnung: Ist   eine Banachalgebra mit beschränkter Approximation der Eins, so gilt  , genauer: jedes Element aus   lässt sich als Produkt zweier Elemente schreiben.

Beispiele

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Nullmultiplikation

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Ein von 0 verschiedener Banachraum wird zu einer Banachalgebra, wenn man das Produkt von je zwei Elementen als 0 erklärt. Eine solche Banachalgebra kann keine Approximation der Eins enthalten.

C*-Algebren

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  • Jede C*-Algebra hat eine durch 1 beschränkte Approximation der Eins.

Mit Hilfe des stetigen Funktionalkalküls kann man zeigen, dass   bezüglich der Ordnung   (siehe Positiver Operator) auf der Menge der selbstadjungierten Elemente eine nach oben gerichtete Menge ist und daher selbst ein Netz darstellt. Dieses Netz ist eine Approximation der Eins.

In vielen Fällen kann man aber einfachere Netze (im separablen Fall sogar Folgen) angeben. Im oben genannten Beispiel   sei

 
Die Folge der Funktionen   bildet eine Approximation der Eins für  .

 .

Dann ist die Folge   eine Approximation der Eins in  .

Gruppenalgebren

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Die Folge der Funktionen   bildet eine Approximation der Eins für  .
  • Ist   eine lokalkompakte Gruppe, so hat   eine durch 1 beschränkte Approximation der Eins.

Sei   ein Links-Haarmaß auf  . Ist   eine Umgebungsbasis des neutralen Elements von  , so gibt es zu jedem   eine stetige Funktion   mit kompaktem, in   gelegenen Träger,   für alle   und  . Da   als Umgebungsbasis durch die Inklusion gerichtet ist, ist   ein Netz, von dem man zeigen kann, dass es eine Approximation der Eins für   ist.

Im Spezialfall   mit dem Lebesgue-Maß als Haar-Maß kann man als Umgebungsbasis die Folge der Mengen   nehmen. Setzt man   wie folgt

 

so ist die Folge   eine Approximation der Eins für  . Man kann auch beliebig oft differenzierbare Funktionen   finden, die eine Approximation der Eins bilden, das spielt eine Rolle in der Theorie der Fourier-Transformation und der Distributionentheorie (Approximation der Delta-Distribution).

Operatorenalgebren

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Es sei   die gerichtete Menge der endlichdimensionalen Teilräume eines unendlichdimensionalen Hilbertraums  ,   sei die Orthogonalprojektion auf  . Dann ist   eine Approximation der Eins für die C*-Algebra   der kompakten Operatoren auf  , sogar eine beschränkte Approximation der Eins, denn Orthogonalprojektionen haben die Operatornorm 1.

Dieses Netz ist auch eine Approximation der Eins in den Schatten-Klassen  , insbesondere also in der Spurklasse und in der Hilbert-Schmidt-Klasse, allerdings nicht beschränkt, denn für die Spurnorm gilt  , für die Hilbert-Schmidt-Norm gilt  , allgemein gilt für die Norm der Schattenklasse  . Man kann zeigen, dass es in den Schatten-Klassen keine beschränkten Approximationen der Eins gibt. Für die Hilbert-Schmidt-Klasse folgt das aus dem oben genannten Satz über Banach-Linksmoduln, denn  .