Diskussion:Abelsche Gruppe

Der Link bei Z-linear unabhängig ist geschummelt... Ansonsten geht natuerlich dim(G tensor Q).--Gunther 23:20, 25. Feb 2005 (CET)

Welche weiteren Beispiele gibt es für Sätze, die sich von abelschen Gruppen auf Moduln über Hauptidealringen verallgemeinern lassen?--Gunther 19:33, 26. Feb 2005 (CET)

Einen rechten Haufen! Jeder Satz über solche Moduln ergibt durch Wahl von Z als Hauptidealring etwas über abelsche Grp., das ein solches Beispiel darstellt. Die Theorie solcher Moduln ist z.B. in Bourbaki recht umfangreich! ich glaube ein ganzes Kapitel in der Algebra--UKe-CH 14:04, 6. Nov. 2009 (CET)

Eigentlich soll ja nur das Lemma fett sein. Außerdem sollte man wohl eh eher Wikipedias TeX-Syntax verwenden. --ChristianErtl 15:45, 10. Sep 2005 (CEST)

Kommutative Gruppe

Ich kannte die abelsche Gruppe nur unter dem Namen kommutative Gruppe. Sollte man das vielleicht ergänzen, da der Begriff "kommutative Gruppe" häufig verwendet wird? -Georg 17. Jun 2008 23:00

Großschreibung

"abelsche" oder "Abelsche" Gruppe ? Ich denke, da es sich um eine Person handelt, müßte es groß geschrieben werden ... !?

Nein, da "abelsch" eine Eigenschaft ist. Das schrieb man schon vor der Rechtschreibreform klein. --Digamma (Diskussion) 17:28, 9. Jan. 2016 (CET)

meine Korrektur im Abschnitt "Strukturtheorie"

Da stand der Satz: Sie sind nämlich direkte Summen endlich vieler zyklischer Gruppen, und diese sind bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt. Die Behauptung im 2. Teil des Satzes ist falsch: nicht einmal die Anzahl der zykl. Grp. ist eindeutig: eine Zykl. Gruppe der Ordnung 6 ist direkte Summe ihrer (zyklischen) Untergruppen der Ordnungen 2 und 3. Ich habe diese Behauptung durch eine korrekte ersetzt: man muss die Wahl der Darstellung als direkte Summe einschränken, damit man eine eindeutige Darstellung bekommt - ergänzend muss gesagt werden, dass das immer geht.--UKe-CH 13:23, 6. Nov. 2009 (CET)

Zusätzliche Attribute

Wenn man projektive und flache abelsche Gruppen erwähnt, sollte unbedingt auch auf den dualen Begriff, die injektiven das heißt de teilbaren Gruppen hingewiesen werden. Über sie gibt es auch eine genaue Strukurtheorie. Sie spielen dann auch in der Modultheorie eine große Rolle. --Hesmucet 22:18, 8. Apr. 2011 (CEST)

Beispiele

'Die reellen Zahlen bilden eine abelsche Gruppe mit der Addition; ohne die Null bilden sie eine abelsche Gruppe mit der Multiplikation.'

Verstehe ich als mathematischer Laie nicht. Ist nicht a x 0 = 0 x a (und damit die Definition erfuellt)? (nicht signierter Beitrag von 201.43.38.126 (Diskussion) 16:03, 10. Aug. 2011 (CEST))

Eins der Gruppen-Axiome lautet, dass es zu jedem Element ein Inverses bzgl. der Operation geben soll. Wenn die Op. nun Multiplikation ist, hat 0 kein Inverses. --Daniel5Ko 17:12, 10. Aug. 2011 (CEST)

• Bestätigt: Ich verstehe als mathematischer Halblaie weder den Satz, noch die Erklärung. Obwohl ich das gerne würde, der Gap Abelsche Gruppe_reelle Zahlen ist so noch zu groß (da fehlen zwei, drei Gedanken für mich). Wenn man ein - im Text zudem nicht genanntes - Axiom braucht, um das Beispiel zu verstehen (s. Antwort), ist es zu kompliziert ausgedrückt, scheint mir. Ein auch alltagssprachlich, bzw. näher an der 'Grundschulmathematik' befindliches Beispiel bzw. eine kurze Erläuterung des vorliegenden Beispiels (von den reellen Zahlen aus etwa), würde mir helfen. So muss ich schon etwas von Gruppentheorie wissen, um die Abelsche Gruppe zu verstehen. Das wirkt für mich 'zu' voraussetzungsreich bzw. in der Fachsprache (nur) zirkulär.--93.210.155.237 11:33, 21. Jul. 2013 (CEST)

• Zur Orientierung: Beispiel für ein (etwas 'besser' gelingendes) Beispiel: Verständlich ist für mich z.B.( :) ) das Beispiel mit Bezug auf die Abelsche Gruppe in Prädikatenlogik_erster_Stufe#Ein_motivierendes_Beispiel (Ausnahme ist das Reflexivitätsaxiom dort). Allerdings nur bis zu "(R,+,-,=<) oder (Z,+,-,=<)", wenn plötzlich mehr als ein Operator vorkommt und warum es geordnet heißt, aber immerhin.

• Ich hätte gerne ein - möglichst wieder ausgedrückt in 'Grundschulmathematik' (vielleicht noch, in der man Mengenlehre kennen gelernt hat) - verständliches Beispiel für "schreibt man ihre Verknüpfung meist additiv", mindestens in formaler Schreibweise. So ist der Gap dieser Aussage zu (Z,+) im nächsten Abschnitt, das gefühlt damit zu tun hat (in zwei, drei Denkschritten?) für mich zu groß. Oder es gibt wenigstens 'Sinnerschließende' Links. Die abelsche Gruppe wirkt so grundlegend, und mit dem Kommutativgesetz auch für Laien anschlussfähig an Schulerfahrungen, dass ich an der Stelle die Bitte um Konkretisierung bzw. "make it (more) explicit" (more von mir, nach R.B. Brandom, der übrigens u.a. auch Mathe studierte) 'zulässig' finde. Das Beispiel ist so schlicht keines im grundsätzlichen Sinne der epagogé (Aristoteles, G. Buck, "Lernen und Erfahrung"), weil es (hermeneutisch) den allgemeinen Sinnhorizont (bei mir) nicht aufruft oder mitliefert, der zum Verständnis notwendig ist und den umgekehrt das Beispiel expliziert, wenn es 'gelingt' - d.h. 'echtes' Beispiel ist. Aber ich schweife ab :) --93.210.155.237 11:33, 21. Jul. 2013 (CEST)
• Ich stimme meinem Vorredner zu. Jeder der die Grundschule beendet hat, kennt schon abelsche Gruppen. Nicht immer ist es deshalb so leicht an Allgemeinwissen anzuschließen. Es sollte deshalb geschehen. Der Begriff Gruppe ist lange nicht so bekannt. Daher darf man sich nicht auf Gruppe berufen, wenn man kommutative Gruppen erklärt. Nicht mit Unbekanntem Bekanntes erklären, sondern umgekehrt. Erst nachdem die Grundbegriffe erklärt (mit Anschluss an Grundwissen) erklärt wurden darf auf weiterführendes hingewiesen werden. Ich werde dies in naher Zukunft ändern. Das heißt der Artikel wird in vielen Punkten von mir anders geschrieben werden. --Hesmucet (Diskussion) 17:00, 11. Mär. 2017 (CET)
• Ich habe einpaar Beispiele hinzugefügt, die man nach der Hauptschule verstehen kann. Die vorhandenen Beispiele habe ich stehen gelassen. Sie werden aber etwas später an anderer Stelle eingefügt werden. Dazu muss aber zunächst der Hintergrund erläutert werden.--Hesmucet (Diskussion) 09:07, 13. Mär. 2017 (CET)

Die Einleitung

ist nicht OMA-tauglich! Drei mal gelesen und so schlau (bzw. dumm) als wie zuvor! Bitte "auf Abiturniveau" formulieren! Die fachwissenschaftliche Definition mag dann in einem eigenen Abschnitt ("Definition") erscheinen. Der "normale" Wikipedia-Leser, der nach einem solchen Lemma sucht, muss erst mal in allgemeinverständlichem (fremdwortfreien) Deutsch erfahren, um was es geht und wenn er das gelesen hat, sich entscheiden, ob er weiterliest. Das ist genau das, was Wikipedia primär leisten sollte. Aber jetzt "klappt er das Buch verärgert zu" und hat sein Ziel, sich zu informieren, nicht erreicht. Gruß -- Dr.cueppers - Disk. 11:37, 9. Jan. 2016 (CET)

Was meinst du genau? Wer nicht weiß, was eine Gruppe ist, muss natürlich dem Link folgen. "Kommutativ" sollte auf Abitursniveau bekannt sein. --Digamma (Diskussion) 12:09, 9. Jan. 2016 (CET)

Was meine ich genau? Alles! Von der gesamte Einleitung verstehe ich (trotz Abitur und Promotion in Chemie) nur "Bahnhof". Und für den Rest des Artikel gilt dasselbe, weil ich schon die Einleitung nicht verstanden habe. Wozu ist das ganze überhaupt gut, was kann man damit anfangen? Wo spielt das eine Rolle? Kann man das nicht in "ganz normalem Deutsch" erklären? Auch wenn man dafür bei Adam und Eva anfangen müsste. Wenn schon der allseits geläufige Begriff "Gruppe" hier eine spezielle Bedeutung haben sollte (??), ist er in der Anleitung fehl am Platze, sonst wird er nur in seiner allseits geläufigen Bedeutung verstanden. (Wenn ein Uni-Prof. eine Vorlesung über die Abelsche Gruppe mit dieser Einleitung beginnen würde, hätte er den gleichen Misserfolg!). Gruß -- Dr.cueppers - Disk. 17:08, 9. Jan. 2016 (CET)

Hm... Der Uni-Professor würde auf jeden Fall voraussetzen, dass die Zuhörer sich schon soweit mit Algebra beschäftigt haben, dass sie wissen, was eine "Gruppe" ist. Im Mathe-Studium lernt man das in den ersten Wochen. Eine abelsche Gruppe ist eine Gruppe mit bestimmten Eigenschaften. Man könnte vielleicht deutlicher machen, dass mit "Gruppe" ein Fachbegriff der Algebra gemeint ist, aber ich denke nicht, dass es Aufgabe der Einleitung sein kann oder soll, erst einmal auszubreiten, was eine Gruppe ist. Die Einleitung kann nicht bei Adam und Eva anfangen, das ist nicht ihre Aufgabe.

Ich verstehe dein Anliegen grundsätzlich und unterstütze es. Aber ich sehe im Moment nicht, wie man es besser machen könnte. Deshalb auch die Nachfrage. Hast du mal versucht, weiterzulesen? Vielleicht ist der algebraische Begriff der abelschen Gruppe einfach zu kompliziert. Wie bist du denn überhaupt darauf gekommen, den Artikel zu lesen? --Digamma (Diskussion) 17:26, 9. Jan. 2016 (CET)

Wie bin ich darauf gekommen: Ein anderer (Benutzer:Zinnmann) hatte diesen Artikel zitiert wegen der für ihn unlesbaren Einleitung (WP:FZW#Idee). Nebenfrage: Hat die Abelsche Gruppe irgendeine praktische Bedeutung und wenn ja welche? Gruß -- Dr.cueppers - Disk. 17:44, 9. Jan. 2016 (CET)

Ich habe die Einleitung mal etwas erweitert. Hilft das?

Bedeutung: Die Addition in den Zahlbereichen "ganze Zahlen", "rationale Zahlen", "reelle Zahlen" und "komplexe Zahlen" bildet jeweils eine abelsche Gruppe. Dasselbe gilt für die Addition von Vektoren. Die Multiplikation von "rationalen", "reellen" und "komplexen Zahlen" bildet eine abelsche Gruppe, wenn man die 0 weglässt. Die Verknüpfung von geometrischen Abbildungen wie Parallelverschiebungen und Drehungen bildet eine nicht-abelsche Gruppe. Beschränkt man sich auf die Verschiebungen, erhält man aber ein abelsche Gruppe. Kristallographische Gruppen sind nicht-abelsche Gruppen, die Untergruppe der Verschiebungen ist aber abelsch. --Digamma (Diskussion) 18:09, 9. Jan. 2016 (CET)

Der vorstehende Text (hinter "Bedeutung") ist genau das oder etwas, was ich in der Einleitung vermisse! Gruß -- Dr.cueppers - Disk. 20:24, 9. Jan. 2016 (CET)

@Dr.cueppers: Das ist aber eine allgemeine Betrachtung, die in Gruppe (Mathematik) gehört bzw. darin beschrieben ist. Um ein Beispiel aus der Chemie zu bringen: Man wird doch auch nicht alle Eigenschaften von Metallen bei jedem einzelnen Metall aufführen wollen (oder: können) Gruß --Reinhard Kraasch (Diskussion) 16:17, 12. Jan. 2016 (CET)

Begründung warum die Definition im Hauptartikel ersetzt wurde.

Ich habe die Definition ersetzt durch eine Definition, die keinen Bezug auf den Begriff Gruppe nimmt. Es gibt wahrscheinlich viele Leute, die wissen wollen was eine kommutative Gruppe ist, sich aber nicht durch die Theorie der Gruppen arbeiten wollen. Außerdem hat die Theorie der kommutativen Gruppen recht wenig mit der Theorie der Gruppen zu tun. Viel enger ist der Zusammenhang mit der Theorie der Moduln. Als nächstes werde ich eine Einleitung schreiben, die etwas allgemeinverständlicher ist.--Hesmucet (Diskussion) 18:21, 12. Mär. 2017 (CET)

Naja. Also, darüber kann man streiten. Tatsache bleibt, dass eine kommutative Gruppe eben eine Gruppe ist, die kommutativ ist, d.h. in der das Kommutativgesetz gilt. Um von daher zum Verständnis der kommutativen Gruppe zu kommen, muss man sich nicht durch die Gruppentheorie arbeiten. Den Gruppenbegriff an Hand von ein paar einfachen Beispielen (die es doch gibt) zu erfassen, genügt. Ich gebe zu, dass der umgekehrte Weg (obwohl sprachlich paradox) didaktisch auch sinnvoll ist: Erst mal über „kommutative Gruppen“ reden, und dann nachschauen, ob was Sinnvolles übrig bleibt, wenn man die Kommutativität weglässt. Die Frage ist, ob dieser didaktische Weg sich auch für eine Enzyklopädie eignet. Übrigens beinträchtigt ein bisschen Redundanz die Verständlichkeit selten. Warum nicht erst sagen, dass abelsche Gruppen Gruppen sind, in denen zusätzlich das Kommutativgesetz gilt, und dann Deine Einleitung, etwa so, wie sie dasteht? Die gefällt mir ja.

Kleinigkeit nebenbei: Drehungen um einen Punkt passen hier nur, wenn man sie auf die Ebene einschränkt.-- Binse (Diskussion) 01:44, 19. Apr. 2017 (CEST)

Tatsache ist, dass eine Gruppe ein Monoid ist und Tatsache ist dass ein Monoid eine Kategorie mit einem Objekt, ein Monoid Magma ist und Tatsache ist dass ... Es ist zwar inzwischen oft üblich beim möglichst allgemeinen anzufangen. Ich halte dass aber für abschreckend. Es hilft einem, der wissen will was kommutative Gruppen sind, wenig. Er muss dann ständig "zurückblättern". Ich bin der Meinung der Weg sollte, wenn irgendwie vertretbar, vom Konkreten zum Allgemeinen und wieder zurück gehen. Ich weiß diese Entscheidung ist oft schwer. Manchmal liegt das Allgemeine näher als das Konkrete. Aber im Fall kommutative Gruppe glaube ich nicht. Noch ein weiteres: In den Einleitungen von Wikipedia Artikeln werden ständig Links auf irgend welche andere Begriffe gesetzt. Dies ist meine ich eine Unart. Wenn man böse ist könnte man sagen. Der Schreiber will mit dem glänzen, was er alles weiß. Die Erklärung sollte, wenn möglich aus sich heraus verständlich sein.

Wenn es nicht möglich ist, so sollten die unbedingt notwendigen Voraussetzungen genannt werden. Mit den wenigen Voraussetzungen, die ich in dem Kasten genannt habe, ist es verständlich, was eine abelsche Gruppe ist. Ich brauch mich mit Gruppen nicht zu beschäftigen. Insbesondere, da die Methoden ganz andere sind. Das mit den Drehungen korrigiere ich. Danke!--Hesmucet (Diskussion) 09:15, 19. Apr. 2017 (CEST)

Zum Abschnitt: Der Funktor $\operatorname {Hom} (A,-)$

Da gefallen mir ein paar Dinge nicht.

• Erstens komme ich nicht klar mit der Definition dieses Funktors. Die sollte etwas expliziter sein. Es wird gesagt, dass $\operatorname {Hom} (A,-)$ eine Abbildung ${\cal {{A}\to {\cal {A}}}}$ ist, aber genaueres, also $a\mapsto ?$ für $a\in A$ erschließt sich mir nicht aus der gegebenen Beschreibung. Vielleicht steht es ja da, ich verstehs nur nicht?

Ich habe die Zuordnungen, die zum Funktor aufgeschlüsselt. Ich hoffe jetzt ist es klarer.--Hesmucet (Diskussion) 11:34, 17. Apr. 2017 (CEST)

• Zweitens weiß ich als Uneingeweihter nicht, ob der Strich ein Minuszeichen, Gedankenstrich oder Darstellung des Leerzeichens ein soll. In letzterem Fall wäre vielleicht ein Punkt oder eine tatsächliche Leerstelle deutlicher.

In der mir vorliegenden Literatur (Pareigis, Kasch, Wisbauer, wird der Strich verwendet. Ich glaube auch, dass dies ziemlich nahe liegend ist. Anstelle der Leerstelle schreibt man das Argument, die Gruppe bei der Objektzuordnung und den Homomorphismus bei der Zuordnung der Morphismen. --Hesmucet (Diskussion) 11:34, 17. Apr. 2017 (CEST)

• Drittens: Was soll das überhaupt? Außer der Definition wird über diesen Funktor ja gar nichts mitgeteilt!

Es wird keine Definition, sondern eine Tatsache mitgeteilt. Nämlich zum Beispiel: Ist $f\colon B\to C$ ein Homomorphismus, so ist die Zuordnung $\operatorname {Hom} (A,f)\colon \operatorname {Hom} (A,B)\ni \alpha \mapsto f\circ \alpha \in \operatorname {Hom} (A,C)$ ein Homomorphismus.

• Viertens: Was hat $\operatorname {End} (A)$ in dem Abschnitt zu suchen?

Es ist $\operatorname {Hom} (A,A)=End(A)$. Die Ringeigenschaften, die hier genannte werden, ergeben sich also unmittelbar aus obigen Funktoreigenschaften. Dass $End(A)$ ein Ring ist hat Bedeutung für viele Bereiche. Viele wichtige Ringe sind Teilringe eines Endomorphismenringes. Dies ist auch eine Antwort auf "Was soll das?". --Hesmucet (Diskussion) 11:34, 17. Apr. 2017 (CEST)

• Fünftens: Der Link Funktor kommt viel zu spät. Er gehört m.E. in den Titel. Auch wenn das Wort sonst nicht vorkommt, der ganze Abschnitt handelt doch von Funktoren.

Ich sehe das nicht so. Einmal sollten in einer Überschrift keine Links stehen. Außerdem ist der Link nur ein Hinweis für diejenigen, die sich näher mit dem Begriff Funktor befassen wollen. Das zum Verständnis notwendige steht im Text. Es ist ein Beispiel eines Allgemeinbegriffes behandelt. Dafür brauche ich den allgemeinen Begriff nicht voraussetzen. Ich kann über die Zahl 2 reden ohne den Begriff Primzahl besonders zu thematisieren. Der Link ist also systematisch gesehen überflüssig. Er liefert nur einen Ausblick. --Hesmucet (Diskussion) 11:34, 17. Apr. 2017 (CEST)

Würde es der Absicht des Verfassers vielleicht besser entsprechen, den Abschnitt mit „Die Funktoren $\operatorname {Hom} (A,B)$ etc.“ zu überschreiben? Aber auch dann sollte das mit $\operatorname {Hom} (A,-)$ entsprechend obiger Kritik verbessert werden.-- Binse (Diskussion) 01:00, 17. Apr. 2017 (CEST)

Hom(A,B) ist kein Funktor, sondern eine abelsche Gruppe. Die Zuordnung Hom(A,--), die jeder Gruppe B eine Gruppe Hom(A,B) und jedem Homomorphismus $f\colon B\to C$ den Homomorphismus $Hom(A,f)\colon Hom(A,B)\to Hom(A,C)$ zuordnet, ist ein Funktor. Man könnte den Abschnitt auch: Der kovariante Hom Funktor nennen. Aber ist es dann einleuchtender? Vielleicht sollte man das Wort "Funktor" in der Überschrift weglassen? --Hesmucet (Diskussion) 11:34, 17. Apr. 2017 (CEST)

Danke Hesmucet für Deine ausführlichen Erläuterungen. Da hast Du mich tatsächlich auf dem falschen Fuß erwischt. Ich habe nicht aufgepasst. Aber ein ungutes Gefühl bleibt. Du kennst wahrscheinlich die Widerstände gegen die Kategorientheorie. Erst wenn man ziemlch tief einsteigt, hat man wirklich was davon. Und hier bleibt man doch sehr nahe der Oberfläche. In einem Punkt möchte ich sogar widersprechen: Indem er eine Zuordnung: abelsche Gruppe zu abelsche Gruppe, und daneben eine Zuordnung der zugehörigen Homomorphismen gibt, ist der fragliche Satz tatsächlich eine Definition. Die Aussage allerdings, dass dies ein Funktor sei, ist beweisbedürftig, und da kein Beweis gegeben wird, einfach eine Mitteilung. Was mein persönliches Missbehagen betrifft: Es werden nahezu triviale Aussagen in einem recht aufwendigen Gewand verkauft. Die Komposition zweier Homomorphismen ist wieder ein Homomorphismus. Dafür braucht niemand die Kategorientheorie. Auch, dass die Endomorphismen einer abelschen Gruppe unter Addition und Komposition einen Ring bilden, ist in wenigen Zeilen zu zeigen. Die Funktoren helfen nicht zu diesen Erkenntnissen. Wenn der Abschnitt überhaupt in den Artikel gehört, dann vielleicht, um zu zeigen, wie gewisse einfache Sätze über abelsche Gruppen in der Sprache von Kategorien und Funktoren aussehen. Das sollte dann aber im Titel oder in den ersten Zeilen gesagt werden. Was meinst Du?-- Binse (Diskussion) 02:51, 18. Apr. 2017 (CEST)

Ich geb Dir ein einem Punkt unbedingt recht. Die Gefahr abstrakter Begriffe wird oft unterschätzt. Sie blockiert manchmal das eigene Denken.Insbesondere ist diese Gefahr bei der Kategorientheorie groß. Ich kann mich an meine Studienzeit erinnern. Dieses auf Vorrat lernen abstrakter Begriffe mit Anwendungen, von denen ich keine Ahnung hatte, war qualvoll. Deswegen habe ich auch die kategoriellen Dinge ganz an den Schluss gesetzt und ohne mich auf Kategorientheorie zu beziehen. Ich habe mich bemüht am Anfang einfache und doch interessante Beispiele für abelsche Gruppen zu nennen. Aber wie die Beschäftigung mit dem Konkreten, so ist die Beschäftigung mit Abstraktem notwendig. Natürlich sagt jeder, der die Grundschule besucht hat: Ich kann doch addieren und multiplizieren. Warum soll ich wissen was eine abelsche Gruppe ist. Aber der Begriff deckt die Gemeinsamkeit der beiden Operationen auf und lenkt den Blick auf Situationen gleicher Struktur. "Abelsche Gruppe" ist eine gute Abstraktion. Ich möchte ein Bild verwenden. Beim Bergsteigen sind mehrere Dinge notwendig.

• Der Weg muss unter die Füße gebracht werden.
• Von Zeit zu Zeit gilt es aus- und rückzublicken.
• Manchmal sollte man auf die Karte schauen.

Rückblicke, Ausblicke und Karte studieren haben was mit Abstraktion zu tun. Die Sichtweise wird geändert und erweitert. Aber ich möchte nicht zu philosophisch werden.

Konkret: Ich schreibe gerade am Artikel: "Direkte Summen abelscher Gruppen" und am Artikel "Reine Untergruppen". Dafür brauche ich unbedingt den Hom Funktor. Wahrscheinlich in beiden Argumenten. Ich möchte eine klare Stelle haben, auf die ich mich beziehen kann. Die vorhanden Wikipedia Artikel sind entweder zu abstrakt oder zu schwammig, so dass man nicht damit arbeiten kann. Also hab ich das hier in den Artikel geschrieben.

Übrigens ist es Geschmackssache, was man trivial nennt. Ich kann das Wort nicht leiden. Zum Beispiel ist es keineswegs trivial, dass $\mathbb {Z}$ ein Ring ist. Wir haben uns nur seit früher Kindheit daran gewöhnt. Die Ringeigenschaften von $\mathbb {Z}$ ergeben sich keineswegs trivial durch eine Reihe von Induktionen oder als Folge der universellen Eigenschaft von $\mathbb {Z}$ und der Tatsache, dass die Menge der Endomorphismen einen Ring bilden. Ein historisches Beispiel: Richard Dedekind hat unser Rechnen mit reellen Zahlen und natürlichen Zahlen zum ersten Mal grundgelegt. Viele seiner Kollegen( u. a.Lipschitz ) haben ihm vorgeworfen, dass er sich mit Trivialitäten befasst. Tatsächlich hat er indem er alte Zahlenreiche neu anschaute den Blick auf neue Zahlwelten geöffnet.

Mit freundlichen Grüßen --Hesmucet (Diskussion) 18:01, 18. Apr. 2017 (CEST)

Dazu und zur Erweiterung des Abschnitts wäre manches zu sagen. Ist mir aber heute zu spät. Vielleicht morgen. Nur eben, weil Du wahrscheinlich der Autor bist: Im Diagramm zum Homomorphiesatz passt die Unterschrift nicht in den Kasten. Oder liegt das an meinem Browser? Und: Ich habe mir erlaubt, einen Link auf „kommutative Diagramme“ zu setzen. Tschüss!-- Binse (Diskussion) 02:02, 19. Apr. 2017 (CEST)

Ich bin zwar nicht der Erstverfasser aber habe den vorhanden Artikel völlig umgearbeitet, so dass er neu ist. Das Diagramm habe ich etwas vergrößert. Grüße --Hesmucet (Diskussion) 09:25, 19. Apr. 2017 (CEST)

Strukturtheorie?

Hallo hallo, ich verstehe diese Änderung nicht ganz: wo ‚weiter oben‘ ist diese denn erläutert? Der Begriff kommt im Artikel nun gar nicht mehr vor. Es schien dafür sogar mal einen Lehrstuhl in Deutschland zu geben, siehe Kurd Alsleben - wohin sollte der in der neuen Ordnung linken? Liebe Grüße, --Fallen Sheep (Diskussion) 20:05, 25. Sep. 2018 (CEST)

Die Struktur endlich erzeugter abelscher Gruppen habe ich weiter oben erwähnt. Für die anderen Dinge (aber auch schon für endlich erzeugte) ist unbedingt der Begriff direkte Summen notwendig. Dies kann der Artikel hier schlecht leisten. Es braucht einen eigenen Artikel. Daher wurde er gestrichen. Zuviel "ungefähres" behindert das Verständnis. --Hesmucet (Diskussion) 17:39, 8. Jul. 2021 (CEST)

Geschichte

Es sollte ein Abschnitt über die Geschichte dieses Begriffes eingefügt werden. Leider habe ich in der mir direkt zugänglichen Literatur nichts geeignetes gefunden.

--Hesmucet (Diskussion) 11:19, 9. Jul. 2021 (CEST)