Diskussion:Internationale Mathematik-Olympiade

Austragungsorte (erl.)

Bei den Austragungsorten sollte man vielleicht nicht Länder und Städte mischen. Ich habe aber nicht die Infos um das zu ändern

@83.222.36.195: Kannst du für die Änderungen bei den Austragungsorten (Medina-Mexico - gibt es das überhaupt? und Luxemburg 2016?) eine Quelle angeben oder diese zumindest bestätigen? Wenn nicht mache ich sie wieder rückgängig -- Robert 18:04, 29. Nov 2004 (CET)

Nordkorea

Laut englischer Wikipedia wurde Nordkorea 1991 wegen cheating disqualifiziert. Weiß jemand näheres zu den Gründen 2010? --Πολύτροπος 01:21, 14. Jul. 2010 (CEST)

Nicht ganz das, was in Wikipedia als Quelle akzeptiert wird: [1]. Anscheinend hatten alle Nordkoreaner bei Aufgabe 3 die Musterlösung. Ich hoffe, dass in Gronaus Bericht Genaueres steht. --Schnark 09:32, 14. Jul. 2010 (CEST)

Auch nicht WP:Q-kompatibel, aber nachvollziehbar dargestellt: [2] --Schnark 10:14, 19. Jul. 2010 (CEST)

Teilnehmer (erl.)

Im Abschnitt Preise steht, dass Christian Reiher seien Goldmedaillen 1999 bis 2003 gewonnen hat, aber dass er von 2003 bis 2010 der erfolgreichste Teilnehmer war. Das heißt doch, dass er (als erfolgreichster) in diesen Jahren jeweils auch gewonnen hat und daher weitere Goldmedaillen erhielt. Und wie kann er bei einem Wettbewerb für Schüler 12 Jahre lang teilnehemen? --TheRunnerUp 15:01, 30. Jun. 2016 (CEST)

Gemeint ist, daß es bis 2010 niemanden gab, der Reihers Rekordbilanz erreichen konnte. Daher war er während dieser Zeit der (bislang) erfolgreichster Teilnehmer, bis ihn 2011 Lisa Sauermann mit ihrer vierten Goldmedaille ablöste. --Franz 15:39, 30. Jun. 2016 (CEST)

Ich würde diese Tabellenspalte mit der Bemerkung zum jeweils "erfolgreichsten Teilnehmer" gerne löschen, da sie keine wirkliche Mehr-Information darstellt und es auch keine Wettbewerbskategorie des "erfolgreichsten Teilnehmers" gibt. Es ist ausreichend, die jeweils erfolgreichsten Teilnehmer aufzuführen. --Bernd Bergmann (Diskussion) 17:00, 24. Mai 2020 (CEST)

Da kein Widerspruch kam, habe ich das jetzt so umgesetzt. --Bernd Bergmann (Diskussion) 23:39, 3. Jun. 2020 (CEST)

Schwere Aufgabe von 1988 (erl.)

Da die Aufgabe mit dem Quotienten (a²+b²)/(ab+1) von mehreren Spezialisten in Zahlentheorie in 6 Stunden nicht gelöst werden konnte, wollte ich es selbst mal probieren.

O.B.d.A können wir a<=b annehmen. Durch systematisches Durchprobieren von Paaren (a,b) kleiner ganzer Zahlen sieht man, dass (0,0), (0,1) und sogar (0,b) für beliebige natürliche Zahlen b eine Lösung ist. Das kann man auch leicht allgemein zeigen: (0²+b²)/(0+1) = b², und das ist tatsächlich eine Quadratzahl.

Beim Durchprobieren kleiner ganzer Zahlen stößt man auch auf die Lösung (2,8). Der Quotient lautet dann 68/17=4. Da 8=2³, kann man die Vermutung aufstellen, dass (a,a³) Lösungen liefert. Einsetzen ergibt: (a²+a⁶)/(a⁴+a⁰). Da in Zähler und Nenner die Differenz der beiden Exponenten 4 ist, ist der Nenner als Faktor im Zähler enthalten, und es ergibt sich als Quotient a², was Quadratzahl ist. Also z.B. (3,27) und (4,64) sind mögliche Paare. (0,0) erfüllt übrigens auch dieses Bildungsgesetz, (0,b) mit b>0 aber nicht.

Jetzt muss man noch zeigen, dass es keine weiteren Paare (a,b) gibt, für die der o.g. Quotient ganzzahlig ist…--Ricercatore (Diskussion) 23:03, 23. Mai 2020 (CEST)

Alles richtig, aber damit bist du der Lösung der Aufgabe keinen (vielleicht würden manche nur meinen: kaum einen) Schritt näher gekommen. Denn du hast – allgemein gesprochen – bekannt gegeben, dass (mit einer zweistelligen Aussageform T(x,y)) der Satz „Es gibt Zahlen a und b, für welche T(a,b) gilt“ eine wahre Aussage ist, obwohl „Für alle Zahlen a und b gilt T(a,b)“ zu zeigen ist.
Das ist etwa so, als ob du – wenn ich dich recht verstehe – glaubtest, mit der Bemerkung „Letzten Montag habe ich einen weißen Schwan gesehen, den Montag davor habe ich auch einen weißen Schwan gesehen, und alle jemals an einem Mittwoch von meiner Frau gesehenen Schwäne waren weiß; außerdem kann ich beweisen, dass in jedem Teich mit einer Mindesttiefe von einem Meter alle Schwäne weiß sind“ die viel weitergehende Behauptung „Alle Schwäne sind weiß“ so weit stützen zu können, dass es (hier) erwähnenswert wäre.
Bedenke einfach, dass man das „noch“ in deinem letzten Satz ersatzlos streichen könnte, ohne den logischen Gehalt deiner Aussage zu verändern (wenn man den Flüchtigkeitsfehler beseitigt, dass das Ende dieses deines letzten Satzes „ganzzahlig ist…“ statt wie nötig „im Falle seiner Ganzzahligkeit ein Quadrat ist…“ lautet). Ich bräuchte Dir nur einen Tümpel von einem halben Meter Tiefe vorzusetzen, auf dem freitags vor drei Wochen ein schwarzer Schwan schwamm … (es würde auch weit weniger ausreichen!).
91.119.235.127 01:54, 24. Mai 2020 (CEST)

Ja, der "noch" offene Teil scheint recht schwer zu sein. Aber ich denke, dass Beispiele zu finden und in dem Fall sogar ein Bildungsgestz für eine unendliche Folge von Lösungen, immer ein Schritt nach vorn ist. Das hilft, den Beweis auszuarbeiten. Es ist ein induktiver Ansatz. Ein deduktiver wäre freilich eleganter.
Ich meinte tatsächlich "keine weiteren Paare (a,b) gibt, für die der o.g. Quotient ganzzahlig ist", denn wenn er das nicht ist, brauchen wir nicht zu zeigen, dass er eine Quadratzahl ist.
Aber meine Hoffnung war trügerisch. Es gibt noch weitere Lösungen, wie ich gerade durch ein kleines Computer-Programm herausgefunden habe. Z.B. (8,30), (27,240) (30,112) und (112,418). Daraus kann man die Vermutung ableiten, dass wenn ein bestimmtes b>a möglich ist, es auch als (ein anderes) a auftreten kann. Allerdings haben die Schüler bei der IMO natürlich keinen PC zur Verfügung. Also ich versuche mich weiter an dem Beweis... --Ricercatore (Diskussion) 13:34, 24. Mai 2020 (CEST)

1. „Der noch offene Teil“ ist ganz einfach identisch mit der gegebenen Aufgabenstellung.

2. Wenn du tatsächlich „ganzzahlig ist…“ gemeint hast, dann hättest du „Jetzt würde es reichen zu zeigen, dass“ statt „Jetzt muss man noch zeigen, dass“ schreiben müssen!

3. Viel Spaß noch bei deinen weiteren Versuchen, diese schöne Aufgabe zu lösen!

91.119.235.127 19:29, 24. Mai 2020 (CEST)

Inzwischen habe ich mehrere Bildungsgesetze für Paare (a,b) gefunden, für die der Quotient (a²+b²)/(ab+1) ganzzahlig ist. Man kann sie folgendermaßen zusammenfassen. Es gibt eine Folge P_i(n) von Polynomen (i=1,2,…; n=1,2,…) derart, dass a=P_i(n) und b=P_i+1(n) Zahlenpaare bilden, für die der o.g. Quotient gleich n² ist, und damit eine Quadratzahl. Die ersten Polynome lauten:
P₁(n) = n
P₂(n) = n³
P₃(n) = n⁵ - n
P₄(n) = n⁷ – 2n³
P₅(n) = n⁹ – 3n⁵ + n
Durch Einsetzen in den Quotienten kann man verifizieren, dass er gleich n² ist. Damit ergeben sich z.B. folgende Paare:
Mit P₁ und P₂ die zuerst gefundenen Paare (2,8), (3,27), (4,64), … Mit P₂ und P₃: (8,30), (27, 240), (64,1020), … Mit P₃ und P₄: (30,112), (240,2133), (1020,16256),… Mit P₄ und P₅: (112,418), (2133,18957), (16256,259076),…
Das ist immer noch lange nicht der in der Aufgabe geforderte Beweis, aber es ist ein Erkenntnisgewinn, genau so, wie Bildungsgesetze für Pythagoreische Zahlentripel einen Erkenntnisgewinn darstellen. Ich werde aber jetzt nicht jeden weiteren Fortschritt hier publizieren (außer ich kann den kompletten Beweis führen), denn dafür ist die Diskussionsseite sicher nicht gedacht.--Ricercatore (Diskussion) 22:43, 26. Mai 2020 (CEST)

Eine elegante Lösung der Aufgabe basiert auf der Vieta-Sprung-Technik. Man findet sie speziell für diese Aufgabe sogar in Wikipedia, nämlich in dem englischen Eintrag en:Vieta jumping, dem französischen Eintrag fr:Saut de Viète sowie auf Russisch und einer anderen Sprache.
Und hier noch die Konstruktionsvorschrift für die von mir o.g. Polynome, die ich zunächst durch Probieren gefunden hatte (noch nicht in den genannten Wikipedia-Einträgen enthalten). Man kann sie mittels der Lösungsformel für quadratische Gleichungen und Polynomdivision ableiten. Aber eleganter geht es mittels der Vieta-Sprung-Technik. Für ein gegebenes Paar (a,b), das die in der Aufgabe genannte Gleichung mit einem positiv ganzzahligen Quotienten k erfüllt, schreibt man diese als quadratische Gleichung für a:
a² – kba + b² – k = 0. Die Lösungsformel liefert zwei positive Lösungen. Die kleinere davon ist gerade das gegebene a, die andere nennen wir x. Nach dem Satz von Vieta gilt:

a+x = kb. Folglich ist auch x ganzzahlig. Das Paar (b,x) erfüllt nun ebenfalls die Ausgangsgleichung mit demselben k. Nach dem Beweis (siehe en:Vieta jumping) ist k eine Quadratzahl n². Damit ist en passant meine obige Vermutung bewiesen, dass ein geeigneter b-Wert in einem anderen Paar den a-Wert darstellen kann. (Man kann es auch mittels der Lösungsformel für quadratische Gleichungen beweisen.)
Offenbar ist (0,b) eine Lösung der Ausgangsgleichung mit b=n (n ist eine beliebige positive natürliche Zahl). Damit sind P₀(n) = 0 und P₁(n) = n. Mit dem Satz von Vieta erhalten wir

x = n²b – a = n²*n – 0 = n³ = P₂(n)
Nehmen wir dieses x als neues b und das alte b als neues a, erhalten wir als neues x:

x = n² n³ – n = n⁵ – n = P₃(n)
Das kann man weiter fortsetzen und erhält die o.g. Polynome sowie:
P₆(n) = n¹¹ – 4n⁷ + 3n³
usw.--Ricercatore (Diskussion) 23:06, 3. Jun. 2020 (CEST)

Nur Männer Spitzen-Mathematiker

Bin eben beim Herumlesen, ausgehend von "Marilyn vos Savant" und "fotografischem Gedächtnis", über einen SPIEGEL-Artikel gestolpert. "Rechenkünste der Frauen. Warum nur Männer Spitzen-Mathematiker sind". Dort u. a.:

"Unter den besten fünf Prozent der Studenten befänden sich fast anderthalb mal mehr Männer als Frauen - beim obersten Prozent seien es sogar mehr als doppelt so viele. Beide Werte entsprächen ziemlich genau den theoretischen Vorhersagen, die auf zwei unterschiedlich spitzen Normalverteilungen beruhten. // Auch die Teilnehmerstatistiken der Internationalen Mathematikolympiaden (IMO) untermauern den Anschein der männlichen Dominanz an der Spitze - und zwar auf beeindruckende Weise. Pro Jahr darf jedes Land sechs Teilnehmer im Höchstalter von 19 Jahren stellen. Zur IMO schaffen es nur die absoluten Ausnahmetalente. "Das ist das Einer-von-einer-Million-Level", sagen die Forscherinnen. Junge Frauen finden sich nur selten in den Teams, Serbien und Russland erreichen mit einem Anteil von 21 Prozent noch die höchsten Quoten ... ."

Ich finde, das Thema sollte hier nicht ausgelassen werden. --2003:C6:DF10:E56F:310C:8F78:EB2:7705 00:46, 24. Mär. 2023 (CET)

Bin mir nicht sicher, was genau uns das sagen/belegen soll.

Bei allen Mathematik-Einzel-Wettbewerben ist es so, dass die Schülerinnen sich (leider) weniger beteiligen als die Schüler, selbst bei gleichen/besseren Leistungen/Können.

Das ist schon in der 1. Runde der MO zu erkennen, natürlich dann auch bei der IMO, zu der ja nur Schülerinnen und Schüler zugelassen werden, welche die ersten 4 Runden der Bundesolympiade oder den Bundeswettbewerb Mathematik absolviert haben.

Bei Gruppenwettbewerben ist dies etwas weniger zu erkennen, aber auch hier treten die begabten Schülerinnen eher seltener an als die Schüler. --TWS (Diskussion) 07:05, 24. Mär. 2023 (CET)

Weil ich's grade lese: "Eine Begründung findet sich immer!", hat mein alter Chef gerne gesagt. Wenn etwas nicht sein kann, weil es nicht sein darf. -- Ende der Hinweise von meiner Seite. --2003:C6:DF10:E56F:CCB0:C3A0:7CAE:3C66 11:05, 24. Mär. 2023 (CET)

Wie im Abschnitt „Preise“ dargelegt, gibt es durchaus Frauen an der absoluten Spitze. Die Hauptursache für die ungleichen Verhältnisse ist allerdings gut bekannt. So steht in Psychologische Unterschiede zwischen Männern und Frauen#Intelligenz: „Die Varianz der Ergebnisse scheint jedoch für Männer größer zu sein als für Frauen, sodass an beiden Enden des Spektrums der IQ-Ausprägungen eher Männer zu finden sind als Frauen.“ Das wirkt sich nun nicht allein auf die IMO aus, sondern auf viele Arten von Wettbewerben, Wissenschaftskarrieren und extremen berufliche Positionen, zum Beispiel Professoren, Nobelpreisträger, Wirtschaftsvorstände, Schach-Großmeister. Es hat also nicht unbedingt etwas speziell mit Mathematik zu tun und auch nicht mit der IMO. Ich finde die Tatsache deshalb in einem allgemeineren Artikel besser aufgehoben als hier. Aber prinzipiell kannst du die Geschlechterstatistik des Wettbewerbs hier schon erwähnen, vielleicht sogar mit einem Verweis auf mögliche Ursachen. --Geek3 (Diskussion) 11:18, 24. Mär. 2023 (CET)