Diskussion:Pauli-Matrizen

Fehlende Einheitsmatrix (erl.)

Bei der Formel nach "Sie erfüllen die Algebra..." fehlt m.E. die Einheitsmatrix, und zwar nach dem Kroneckersymbol! Ich kenne das so: Die Einheitsmatrix wird -in diesem Zusammenhang- als "4. Paulimatrix" eingeführt und mit sigma_0 bezeichnet ;)

Warum wird das überhaupt mit alphahalbe definiert und nicht ganz normal mit alpha? 89.247.151.40 20:28, 19. Dez. 2011 (CET)

In der praktischen Anwendung taucht es so auf, deshalb schreibt man es hier auch in dieser Form. (Man müsste es aber an dieser Stelle nicht unbedingt.) Siehe etwa [1] unten. --Grip99 04:59, 24. Dez. 2011 (CET)

Indizes irreführend (erl.)

Bei der Formel nach "Sie erfüllen die Algebra..." steht jetzt ein Kroneckersymbol mit den Indizes "ij", die hier ja die Einträge der Einheitsmatrix bedeuten. Diese Indizes sind aber schon für die Nummerierung der Matrizen selbst vergeben. (javalin, 27.4.2009) (nicht signierter Beitrag von Javalinnn (Diskussion | Beiträge) 19:14, 27. Apr. 2009 (CEST))

Erzeugen und Vernichten: es sollte L_Plus mal ket0 =ket1 (erzeugen),oder L_minus mal ket1=ket0 (vernichten)gelten, hier gilt dies nicht, wie geht das denn? (nicht signierter Beitrag von 84.62.46.224 (Diskussion) 23:43, 19. Jan. 2011 (CET))

Zugeordnete Drehgruppe (erl.)

Ich schlage vor:

${\boldsymbol {\sigma }}:={\begin{pmatrix}{\sigma _{x}}\\{\sigma _{y}}\\{\sigma _{z}}\end{pmatrix}}$

$\mathbf {n} :={\begin{pmatrix}{n_{x}}\\{n_{y}}\\{n_{z}}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}$

$\mathbf {1} :=\sigma _{0}$

und :$\cdot$ ist eine Art Skalarprodukt mit

${\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} :={\begin{pmatrix}{\sigma _{x}n_{x}}\\{\sigma _{y}n_{y}}\\{\sigma _{z}n_{z}}\end{pmatrix}}$

Das ist nicht richtig ! Was aber ist richtig ?
Bitte korrigieren ind dann im Artikel bringen ! --Nomen4Omen (Diskussion) 12:01, 29. Mär. 2012 (CEST)

Wenn $\cdot$ eine Art Skalarprodukt ist, dann ist vermutlich

${\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} :=\sigma _{x}n_{x}+\sigma _{y}n_{y}+\sigma _{z}n_{z},$

also eine Linearkombination der $\sigma _{i}$. --Digamma (Diskussion) 20:41, 29. Mär. 2012 (CEST)

Pauli-Matrizen Generatoren der SU(2)?

Physiker schreiben das zwar oft, aber es stimmt ja eigentlich in der üblichen mathematischen Definition nicht. Eigentlich ist der Zusammenhang so wie in [2] beschrieben, d.h. man muss die Pauli-Matrizen noch mit i multiplizieren, um Generatoren der Lie-Gruppe zu erhalten. Dass die Physiker Generatoren anders als die Mathematiker definieren, liegt nur daran, dass sie lieber mit hermiteschen als mit schiefhermiteschen Matrizen arbeiten.

Im Übrigen kapiert wohl niemand, der es nicht eh schon weiß, den Zusammenhang der Formel für die Exponentialfunktion mit der Generatoreigenschaft, solange im Artikel Spezielle unitäre Gruppe die in [3] beschriebenen expliziten Darstellungen der Matrizen fehlen.

Meinungen dazu? --Grip99 02:16, 31. Mär. 2012 (CEST)

Quaternionen

@Meier99: "Die beiden Darstellungen gehen durch antizyklische Indexpermutation auseinander hervor, was auch den Vorzeichenwechsel der imaginären Einheit erklärt." Ist das irgendwas, was man gleich sieht oder aus einem bekannten Satz herleiten kann? So verwirrt das eher (jedenfalls mich, und wahrscheinlich auch die meisten Leser). Antizyklisch permutiert werden ja auch nicht die (vier) Indizes, sondern nur die von 1 bis 3. Dass das bloße antizyklische Vertauschen dieser 3 Matrizen etwas an der Isomorphie kaputt macht, was man reparieren muss, ist ja klar, weil bei den Quaternionen ijk=-1, aber kji=1 gilt. --Grip99 00:22, 2. Apr. 2012 (CEST)

Isomorphie zu den Quaternionen

1. Der Buchstabe i ist hier (und im ganzen Artikel) vielleicht etwas überlastet, da er sowohl als imaginäre wie als quaternionische Einheit (und manchmal noch als Laufindex) verwendet wird.
2. Die Pauli-Matrizen sind erstmal komplex-wertige $2\times 2$-Matrizen $\in \mathbb {C} ^{2\times 2}$. Nach meinem Verständnis ist dieser Ring 2mal2=4-dimensional über $\mathbb {C}$ und 8-dimensional über $\mathbb {R}$. Als Vierergruppe müssten sie mehrfach linear abhängig sein voneinander, wenn sie nur eine 2-dimensionale Algebra über $\mathbb {C}$ aufspannen sollten. Bin ich da so auf dem Holzweg? --Nomen4Omen (Diskussion) 15:59, 3. Apr. 2012 (CEST)

1. Quaternionen kommen ja nur in dem Abschnitt vor, wo i,j,k nicht als Index vorkommen. Ansonsten Zustimmung, es wäre besser, i als Index zu vermeiden. j,k,l geht aber auch nicht durchgehend, denn dann kollidiert es mit der Drehimpulsquantenzahl.

2. Auf welche Formulierung im Artikel bezieht sich Deine Kritik? --Grip99 23:46, 3. Apr. 2012 (CEST)

Ich habe Probleme mit der 4 in "Die von der Einheitsmatrix und den Pauli-Matrizen erzeugte 4-dimensionale Algebra über $\mathbb {R}$ ist isomorph zu den Quaternionen". --Nomen4Omen (Diskussion) 08:36, 4. Apr. 2012 (CEST)

@Nomen4Omen: Die Pauli-Matrizen spannen den 3-dimensionalen $\mathbb {R}$-Vektorraum der spurfreien hermiteschen 2×2-Matrizen auf. Dieser Vektorraum ist kein $\mathbb {C}$-Vektorraum. Nimmt man die Einheitsmatrix dazu, so erhält man den 4-dimensionalen $\mathbb {R}$-Vektorraum der hermiteschen 2×2-Matrizen. Auch dies ist kein $\mathbb {C}$-Vektorraum. Man erkennt das z.B. daran, dass auf der Diagonalen nur reelle Einträge stehen. --Digamma (Diskussion) 21:44, 4. Apr. 2012 (CEST)

Vielen Dank. Ich hab mir fast so was gedacht. Bleibt die Frage, ob und wie man das in die Enzyklopädie reinbringt. -- Nomen4Omen (Diskussion) 21:59, 4. Apr. 2012 (CEST)

Nachtrag: Ich hab noch ein bisschen recherchiert. Mit der "4-dimensionalen Algebra" ist glaubich nicht der Vektorraum gemeint, sondern die 4-dimensionale Lie-Algebra, was ein bisschen komplizierter ist. Dann kann's auch mit der Isomorphie in Ordnung gehen, die beim platten Vektorraum nicht klappen würde, denn die Pauli-Matrizen sind hermitesch und die Quaternionen i,j,k schiefhermitesch. Das "Lie-" füge ich besser mal gleich ein. -- Nomen4Omen (Diskussion) 11:05, 5. Apr. 2012 (CEST)

Nachtrag2: Der Fehler war ein anderer. Bei den Pauli-Matrizen war vor dem Aufspannen der Faktor i vergessen gewesen (die Engländer hatten's mal wieder richtig). Ohne i wäre der aufgespannte Raum viel größer. Und $i_{\mathbb {C} }={\begin{pmatrix}i_{\mathbb {C} }&0\\0&i_{\mathbb {C} }\end{pmatrix}}$ ist zwar aus den Pauli-Matrizen erzeugbar, nicht aber aus den Quaternionen, da es eine Determinante –1 hat. -- Nomen4Omen (Diskussion) 20:46, 6. Apr. 2012 (CEST)

Es stimmt zwar, dass i fehlte, aber an der Dimension 4 des Raums änderte das nichts. --Grip99 00:48, 7. Apr. 2012 (CEST)

Es ist nicht so wichtig, aber ich denke, dass, wenn man den Faktor i weglässt, aber die Pauli-Matrizen nicht nur linear, sondern auch multiplikativ erzeugen lässt, man den vollen Matrixring $\mathbb {C} ^{2\times 2}$ erhält (s. unten Digammas Beitrag), der über R die Dimension 8 hat. -- Nomen4Omen (Diskussion) 08:32, 7. Apr. 2012 (CEST)

Die Gruppe SU(2)

Ich habe den ganzen Abschnitt rausgenommen. Er gehört m.E. (soweit nicht redundant zum Bestehenden) nicht in diesen Artikel und verwirrt mehr, als dass er hilft. --Grip99 23:47, 3. Apr. 2012 (CEST)

(Lie-)Algebra

Wenn ich das richtig sehe, dann ist der von den Pauli-Matrizen aufgespannte (reelle!) Unterraum des Raums der komplexen 2×2-Matrizen weder abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation noch unter der Bildung des Kommutators, denn weder

$\sigma _{1}\,\sigma _{2}=\mathrm {i} \sigma _{3}$

noch

$[\sigma _{1},\sigma _{2}]=\sigma _{1}\,\sigma _{2}-\sigma _{2}\,\sigma _{1}=2\mathrm {i} \sigma _{3},$

liegt in dem aufgespannten Unterraum (Multiplikation mit i führt aus dem Vektorraum hinaus und macht aus hermiteschen Matrizen schiefhermitesche).

Eine Lie-Algebra erhält man erst, wenn man von $\sigma _{a}$ zu $\mathrm {i} \sigma _{a}$ übergeht, also zur ${\mathfrak {s}}u(2)$. --Digamma (Diskussion) 14:06, 6. Apr. 2012 (CEST)

Du hast Recht, ich hatte das i verschlampt, und keiner der anderen hatte es gemerkt. Peinlich aber auch für uns als WP, denn es stand (weiter oben) schon jahrelang falsch im Artikel. --Grip99 00:48, 7. Apr. 2012 (CEST)

Faktor 1/2 in der Exponentialdarstellung im Abschnitt Zusammenhang mit der Drehgruppe

Der Faktor 1/2 ist exakt begründbar. Nur mit dem zusätzlichen Faktor 1/2 ergibt sich die für Rotationen charakteristische Kommutatorelation ohne Zusatzfaktoren (http://de.wiki.x.io/wiki/Drehimpulsoperator) und somit eine Isomorphie zur Gruppe SO(3).

Aber das ändert ja nichts an der Richtigkeit der Gleichung in unserem Artikel hier. Man könnte genausogut auf beiden Seiten alpha durch pi, 17 oder 42 dividieren, die Gleichung behielte immer ihre Gültigkeit für alle alpha. --Grip99 02:42, 3. Jun. 2012 (CEST)

Eigenvektoren

Folgender Satz benötigt mMn Erläuterung oder sollte entfernt werden: Hier zeigt sich, dass die Eigenzustände der Spinoperatoren S_1 und S_2 Superpositionen der Eigenzustände von S_3 sind.--Petermahlzahn (Diskussion) 22:58, 11. Nov. 2013 (CET)

Da die Eigenzustände von S3 eine Basis bilden ist das mathematisch trivial, erwähnen kann man es natürlich dennoch.--Claude J (Diskussion) 09:34, 12. Nov. 2013 (CET)

hermitesch

Es wird dargestellt, dass die Pauli Matrizen eine Basis des Vektorraums der komplexen 2x2 Matrizen sind (also mit komplexen Koeffizienten), in der Einleitung wird aber auf den VR der hermiteschen 2x2 Matrizen Bezug genommen, der hat 4 reelle Elemente. Die Behandlung braucht man dann nicht neu zu schreiben, nur sollte man dazuschreiben, dass man nach Berücksichtigung der Hermitizität nur noch 4 reelle Parameter hat (die beiden off-Diagonalelemente sind komplex konjugiert und die Diagonalelemente reell).--Claude J (Diskussion) 11:58, 10. Okt. 2014 (CEST)

Danke und Entschuldigung, die Feinheit war mir nicht bewusst!--jbn (Diskussion) 15:00, 10. Okt. 2014 (CEST)

Ich würde die Tatsache, dass die Pauli-Matrizen zusammen mit der Einheitsmatrix eine Basis des komplexen Vektorraums der komplexen 2×2-Matrizen bilden, nicht übermäßig betonen. Das scheint mir nicht so besonders zu sein. Wichtiger und bemerkenswerter dürfte sein, dass sie eine Basis des reellen Vektorraum der hermiteschen Matrizen bilden. Das hat Claude J inzwischen ergänzt, es sollte aber deutlicher hervorgehoben werden. --Digamma (Diskussion) 23:01, 10. Okt. 2014 (CEST)

σ₀

In der Einleitung heißen nur die Matrizen $\sigma _{1}$, $\sigma _{2}$ und $\sigma _{3}$ Paulimatrizen. In der Definition wird jedoch $\sigma _{0}$ auch aufgeführt. Was ist richtig? --Digamma (Diskussion) 22:56, 10. Okt. 2014 (CEST)

Ursprünglich nur die drei, aber da sie mit Einheitsmatrix eine Basis bilden wird die häufig dazugenommen, besonders in relativistischem Zusammenhang. Da baute ja Dirac seine Dirac-Matrizen daraus auf, was auch noch zu erwähnen bliebe. Allgemein können Cliffordalgebren über den reellen Zahlen aus Tensorprodukten von Pauli-Matrizen aufgebaut werden.--Claude J (Diskussion) 08:46, 11. Okt. 2014 (CEST)

Danke für die Antwort. So wie es jetzt im Artikel steht, widersprechen sich jedoch Einleitung und Definition. --Digamma (Diskussion) 11:29, 11. Okt. 2014 (CEST)

Vielen Dank für die Überarbeitung. --Digamma (Diskussion) 15:08, 11. Okt. 2014 (CEST)

Verallgemeinerung

Man könnte en:Generalizations of Pauli matrices erwähnen.--Claude J (Diskussion) 12:26, 11. Dez. 2014 (CET)

Fehler? Dimension des Raums der komplexen hermiteschen 2×2-Matrizen ist 3-dimensional?

Aus der Einleitung: "...eine Basis des 4-dimensionalen reellen Vektorraums aller komplexen hermiteschen 2×2-Matrizen"

Irre ich mich oder ist der Raum aller komplexen hermiteschen 2×2-Matrizen nicht dreidimensional? (nicht signierter Beitrag von 2003:45:5D33:C088:25:916C:4A3C:1C21 (Diskussion | Beiträge) 19:09, 3. Jul 2016 (CEST))

Nein, der Raum ist 4-dimensional. Das wird im Artikel auch erläutert. Allgemein hat der reelle Vektorraum der hermiteschen n × n -Matrizen die Dimension n², siehe Hermitesche Matrix. --Digamma (Diskussion) 21:20, 3. Jul. 2016 (CEST)

welch letzteres $\mathbb {C} ^{2\times 2}$ zu einem Hilbertraum macht

Ich glaube, dass mit "welch letzteres" einfach das Frobenius-Skalarprodukt gemeint war, und nicht die Tatsache, dass die Pauli-Matrizen eine Orthonormalbasis bilden. --Digamma (Diskussion) 20:59, 7. Okt. 2020 (CEST)

Meine Unterstützung! Aber vllt lässt sich das Missverständnis durch Entkopplung lösen, bspw.: "Vermöge des letzteren ist übrigens $\mathbb {C} ^{2\times 2}$ ein Hilbertraum." ?? –Nomen4Omen (Diskussion) 21:18, 7. Okt. 2020 (CEST)

Ah, ok. Dann muss erstens (syntaktisch) klargestellt werden, dass sich das nur auf das Skalarprodukt bezieht und zweitens die Frage geklärt werden, inwiefern es im Zusammenhang mit den Pauli-Matrizen überhaupt relevant ist, dass der $\mathbb {C} ^{2\times 2}$ durch die Definition des Frobenius-Skalarprodukts auf ihm ein Hilbertraum ist. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 01:57, 8. Okt. 2020 (CEST)

Mir ist nicht wichtig, dass der Halbsatz drin bleibt. Ich wollte nur das Missverständnis ausräumen. Ich sehe auch nicht, warum es wichtig sein soll, dass der Matrizenraum durch das Skalarprodukt zum Hilbertraum wird. Endlichdimensionale Skalarprodukt-Räume sind ja immer vollständig und damit automatisch Hilberträume. Möglicherweise ist die Aussage aber für die Quantenphysik von Bedeutung. --Digamma (Diskussion) 20:11, 8. Okt. 2020 (CEST)

Aus Quantenmechanik-Sicht sage ich mal: Zustände leben im Hilbertraum, nicht Operatoren (also die können natürlich auch in einem Hilbertraum leben, aber das ist egal). --Blaues-Monsterle (Diskussion) 22:06, 8. Okt. 2020 (CEST)

verstümmelter Satz

Gleich nach der Überschrift "3.2 Die Quaternionen als Unterring von C4" beginnt ein Satz, bei dem offensichtlich der Anfang verloren gegangen ist. --Baiogrammaticus (Diskussion) 16:26, 16. Dez. 2022 (CET)

Ist behoben. War ein Editunfall AD 2014. --Bleckneuhaus (Diskussion) 16:38, 16. Dez. 2022 (CET)