Diskussion:Reelle Zahl

Einleitung

Einleitung (alt „1. Einleitung“)

Ich fände es gut, wenn im ersten Satz etwas stehen würde, was dem Laien sagt, was reelle Zahlen sind, woraus sie bestehen, was sie auszeichnet.. --Joh3.16 00:26, 20. Apr 2004 (CEST)

Weisst du, wie man einem Laien erklaeren kann, was reelle Zahlen sind? Ich weiss es nicht. "Eine reelle Zahl ist ein unendlich langer Dezimalbruch" waere falsch, denn der Dezimalbruch ist nur eine Darstellung der Zahl. (Gab's nicht ein aehnliches Problem bei der Einleitung der rationalen Zahlen?)

Was sie auszeichnet... sie fuellen die Zahlengerade lueckenlos aus.

Was sie sind... eine Vervollstaendigung der rationalen Zahlen, wie's dasteht. --SirJective 11:20, 20. Apr 2004 (CEST)

Was sie sind: "Summe" aus rationalen Zahlen und irrationalen, alle auf dem Zahlenstrahl. Vielleicht Beispiele wie Bruch, Wurzel, π , e; Alle Zahlen, die sich als unendlich langer Dezimalbruch darstellen lassen

Die Erklaerung ueber irrationale Zahlen ist eher unguenstig, denn wie du ja weisst, sind diese ja gerade definiert als "reelle Zahlen, die nicht rational sind". Ich versuche mich mal an einer Einleitung... --SirJective 12:16, 20. Apr 2004 (CEST)

Eine kleine Nachmittagsarbeit waere, Inhalte des englischen Artikels zu uebernehmen, der z.B. auch den axiomatischen Aufbau behandelt. --SirJective 12:43, 20. Apr 2004 (CEST)

dass R die einzige Menge ist, in der jede nach oben beschränkte Teilmenge eine kleinste obere Schranke hat ist ja wohl leicht falsch. Jede endliche Menge mit irgendeiner Ordnung erfüllt das auch. Meiner Meinung nach müßte das heißen, R der einzige vollständige angeordnete Körper ist, ... Da ich mir aber nicht sicher bin, mache ich keine Änderung, sondern stelle es zur Diskusion --Schnitte 15:28, 20. Feb 2005 (CET)

Richtig ist, $\mathbb {R}$ ist zu jedem angeordneten vollständigen Körper isomorph. Die Isomorphie kann man dann von der 1 hochkonstruieren. Gleichheit und Isomorphie sind aber nicht dasselbe. LARS 14:42, 17. Aug 2005 (CEST)

Stimmt leider doch nicht, man betrachte den Körper $\mathbb {R} (a)$, wobei $a$ ein unendlich kleines Element ist. Der ist vollständig, angeordent, aber nicht isomorph zu $\mathbb {R}$. LARS 14:51, 17. Aug 2005 (CEST)

Man braucht archimedisch geordnet, dann wird er meines Wissens eindeutig. --NeoUrfahraner 15:18, 17. Aug 2005 (CEST)

Fazit: Jeder archmedisch angeordnete, vollständige Körper ist isomorph zu dem, was wir unter "reelle Zahlen" verstehen. - So steht's in meiner Urlaubslektüre, und so wird's wohl sein. -- Peter Steinberg 00:11, 7. Sep 2005 (CEST)

Leider weiß ich nicht, was mit $\mathbb {R} (a)$ gemeint ist. Aber meines Wissens folgt aus dem Vollständigkeitsaxiom die Existenz von Suprema bei nichtleeren nach oben beschränkten Mengen. Und mit dieser Existenz kann man zeigen, dass der Körper bereits das Archimedische Axiom erfüllt. Also reichen die Körper-, Anordnungs- und Vollständigkeits-Axiome, um die reellen Zahlen bis auf Isomorphie zu charakterisieren. -- Gast 07:44, 15.01.2006 (CEST)

Der Artikel sollte im Kontext des "Vollständigkeitsaxioms" etwas sorgfältiger mit den verwendeten Begriffen umgehen: Der Begriff "Metrik" setzt üblicherweise die reellen Zahlen voraus. Man sollte vielleicht auch erwähnen, dass mit "Cauchy-Folge" (in einem angeordneten Körper $K$)

• $\forall \varepsilon \in K,\varepsilon >0\colon \exists n_{0}\in \mathbb {N} \colon \forall n,m\geq n_{0}\colon -\varepsilon <a_{n}-a_{m}<\varepsilon$

und nicht etwa

• $\forall N\in \mathbb {N} \colon \exists n_{0}\in \mathbb {N} \colon \forall n,m\geq n_{0}\colon -{\frac {1}{N}}<a_{n}-a_{m}<{\frac {1}{N}}$

gemeint ist.--Gunther 01:06, 7. Sep 2005 (CEST)

Die derzeitige Einleitung zielt auf Intervallschachtelung bzw. Äquivalenzklassen von Cauchy--Folgen ab, beides nicht einfach einzuführen. Einfacher einzuführen, aber evtl. schwerer für die Rechenregeln, sind die Dedekindschen Schnitte: In den rationalen Zahlen gibt es zu jeder Zahl eine "Vorher"-Teilmenge und eine "Nachher"-Teilmenge. An ${\sqrt {2}}$ sieht man, dass eine solche Vorher-Nachher-Einteilung auch möglich ist, ohne dass eine rationale Zahl die Grenze bildet. Insofern haben die rationalen Zahlen Lücken, welche mit den verschiedensten Methoden, insbesondere auch mit Äquivalenzklassen von Vorher-Nachher-Zerlegungen (=Dedekindscher Schnitt), geschlossen werden können. Es gibt keine einfache Darstellung der reellen Zahlen, jede der Konstruktionen benötigt eine abzählbar unendliche Datenstruktur (die gesamte Menge der rationalen Zahlen, Folgen rationaler Zahlen) zur Charakterisierung jeder einzelnen (irrationalen) reellen Zahl.--LutzL 12:49, 30. Sep 2005 (CEST)

Einleitung (alt „6. Einleitung“)

Die Menge der rellen Zahlen als Obermenge der rationalen Zahlen einzuführen ist mehr als unglücklich. Es wird damit zwar nichts falsches gesagt. Aber zu rechtfertigen ist dieser Weg nur in historischer Sicht. Besser folgendes:

1.) R ist ein Körper (da muss man im Zweifel die Axiome hinschreiben)

2.) Der Körper ist total geordnet. D.h.: es gilt $a<b$ oder $a>b$ oder $a=b$ (Trichotomie)

3.) Es gelten die Schnittaxiome (das muss man ala Dedekind erläutern)

4.) Er ist die Menge aller Zahlen die diese Eigenschaften erfüllen (das muss sein, da schon Teilmengen von R die Axiome erfüllen)

Ab hier darf man dann sagen R ist ein Modell der Zahlengerade. Die "historischen" Teilmengen N Q irrational transzendent usw. kann man dann mit den Axiomen herleiten.--Fibo1953 18:09, 19. Okt 2005 (CEST)

Es gibt genau einen (injektiven) Körperhomomorphismus $\mathbb {Q} \to \mathbb {R}$, und das ist so gut wie eine Teilmengenrelation. Wie man $\mathbb {R}$ konstruiert oder ob man sich mit einer Auflistung von Eigenschaften begnügt, ist dabei ziemlich egal. In der Praxis redet jedenfalls niemand vom "Bild der rationalen Zahl 2 unter der Einbettung $\mathbb {Q} \to \mathbb {R}$", sondern man tut so, als seien das alles Teilmengen.--Gunther 12:06, 20. Okt 2005 (CEST)

Und was soll mir das sagen? Kann ich nun die rellen Zahlen damit sinnvoller definieren? Nicht wirklich oder?--Fibo1953

Das war wohl nicht der Punkt, auf den Du hinauswolltest, ja. Wieso ich dachte, dass es Dir um die Teilmengenrelation geht, verstehe ich bei nochmaligem Lesen Deines Beitrages nicht.

Neuer Versuch einer Antwort: Bei einem axiomatischen Zugang musst Du die Existenzfrage klären, das ist der wesentliche Grund für die Konstruktion aus $\mathbb {Q}$ (das wiederum aus $\mathbb {Z}$ und damit aus $\mathbb {N}$ konstruiert werden kann, und die Existenz von $\mathbb {N}$ wird axiomatisch gesichert). Zu Deinem Axiom 4: Teilmengen von $\mathbb {R}$ erfüllen nicht das Schnittaxiom.--Gunther 00:14, 22. Okt 2005 (CEST)

Einverstanden

Genauer gesagt: Schon in $\mathbb {Q}$ gelten die archimedischen Axiome. Nun gibt es aber Zahlen, z.B. Wurzeln, denen man auch ein Existenzrecht einräumen möchte. Nun kann man $\mathbb {Q}$ erweitern indem wie bei z.B. der Konstruktion von $\mathbb {Q}$ ein kartesisches Produkt bildet, nur stösst man damit wieder an Grenzen. Spätestens die transzendenten Zahlen vereiteln ein solches vorgehen. Das ist ja das historische Problem: Nur mit einem radikal neuen Ansatz ist das Problem der Stetigkeit zu lösen. Insofern darf man die Begriffe irrationale oder transzendente Zahlen, die ja genau zeigen wie nebulös der Zahlenbegriff war, erstmal in die historische Mottenkiste packen. Deshalb halte ich es für unglücklich, wenn auch nicht falsch, $\mathbb {R}$ als Erweiterung (Vervollständigung) von $\mathbb {Q}$ zu bezeichnen. Ohne entsprechende Axiome weiss man ja gar nicht ob $\mathbb {R}$ wirklich vollständig ist. deshalb finde ich es sinnvoller $\mathbb {R}$ über Dedekindsche Schnitte einzuführen. Die Methode nach Cantor über Fundamentalfolgen setzt mir zu viel voraus insbesondere das Rechnen mit solchen Folgen ist bei Produkten nicht leicht nachzuvollziehen. Addieren und multiplizieren ist bei Schnitten wesentlich einfacher zu erklären. Ansonsten sind beide Methoden ganz offensichtlich äquivalent und Cantor sollte alo auch beschrieben werden. Eine gute Einführung nach Dedekind findet man z.B. bei Oskar Perron Irrationahlzahlen. Zum Schluss: $\mathbb {N}$ definiert man dann z.B. folgendermassen:

Definition "induktive Menge"

ist r Element (aus $\mathbb {R}$) der Menge dann ist auch r+1 Element. $\mathbb {N}$ ist dann der Durchschnitt aller induktiven Mengen.

Mit dem Schnittaxiomen ist der sonst eigentlich zwingend erforderliche Satz über die Wurzelexistenz eigenlich nur noch Formsache den man aber nicht vergessen sollte. Soviel mal erst. --Fibo1953 13:09, 23. Okt 2005 (CEST)

Ich verstehe nicht, was Cauchyfolgen rationaler Zahlen mit Transzendenz zu tun haben. Wieso man eine Eigenschaft von R als Axiom formulieren muss, ist mir auch nicht klar. N aus R zu definieren ist nett, aber irgendwie muss man ja die Existenz von R beweisen, und üblicherweise (ZFC) hat man eben zuerst N.--Gunther 15:17, 23. Okt 2005 (CEST)

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Nachtrag:

Durch diese Definition von $\mathbb {N}$ wird man der Bedeutung der Peanoaxiome natürlich nicht gerecht. Peano muss man mit dieser Leistung schon gesondert würdigen.--Fibo1953 13:30, 23. Okt 2005 (CEST)

Das sehe ich nicht so, die wesentlichen Gedanken von Peano stecken in dieser Definition, genauso wie im Unendlichkeitsaxiom in ZFC.--Gunther 15:17, 23. Okt 2005 (CEST)

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Trichotomie gilt zweifellos für rationale Zahlen. Wie sich die reellen Zahlen von den rationalen Zahlen unterscheiden hat Vaughan S. Pratt auf den Punkt gebracht: "Das Kontinuum i s t das Tertium". Schon Brouwer hatte es erkannt: "Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten gilt im Unendlichen nicht." Zenon von Elea hat es überzeugend demonstriert: Das Kontinuum entzieht sich der Diskretisierung. Folglich können reelle Zahlen nur fiktiv sein. Was ihnen fehlt ist eine exakte numerische Identität. Diesen wichtigen Einwand von Eberhard Illigens hatte Cantor zwar akzeptieren müssen aber dann autoritär abgetan. Oben wurde die Beschreibung reeller Zahlen als unendlich langer Dezimalbruch deshalb abgelehnt weil der Dezimalbruch nur eine Darstellung der Zahl sei. Der Einwand schüttet das Kind mit dem Bade aus. Es ist ihre unmögliche (weil unendliche) Länge die jede Darstellung einer reellen Zahl in jedem praktikablen numerischen System zu einer unmöglichen (also fiktiven) Zahl macht.

Gibt es wirklich einen injektiven Körperhomomorphismus $\mathbb {Q} \to \mathbb {R}$? Wie soll ein numerisch adressierter Brief da ankommen wo die genaue Position erst durch unendlich viele Stellen der Postleitzahl bestimmt ist? Der injektive Körperhomomorphismus mag zum Hausdorff-Kontinuum passen. Zum echten Kontinuum $\mathbb {R}$ passt er nicht. Das Kontinuum $\mathbb {R}$ ist amorph.

Erschuf Dedekind wirklich "eine neue, eine irrationale Zahl" wie er stolz behauptete? Sein Denkfehler liegt ganz am Anfang, dort wo er die rationalen Zahlen in zwei Mengen A und B aufteilt. Geht denn das überhaupt mit einer endlichen Anzahl von Schritten? Ich bin kein Finitist in dem Sinne dass ich fiktive Zahlen nicht gelten lassen würde. Aber sie, also die reellen Zahlen haben Eigenschaften die von denen der rationalen Zahlen sehr abweichen. --EB

Bild 1 unvollständig!

Dann müsste doch auf das Bild der Zahlengeradem neben den ganzen und irrationalen (pi, e) auch eine rationale Zahl gehören, sagen wir 1/2 oder 4/3!! Oderrrr??--Cami de Son Duc 17:33, 26. Sep. 2010 (CEST)

Größter vorstellbarer Zahlenbereich, jede Messgröße darstellbar

Ich habe den Absatz

Die Menge der reellen Zahlen bildet den größten Zahlbereich, der der menschlichen Erfahrung zugänglich ist: Jeder messbaren Größe kann eine reelle Zahl als Maßzahl zugeordnet werden. Der Zahlbegriff "reelle Zahl" erweitert die Menge der rationalen Zahlen. Der Grund: Unter den rationalen Zahlen ist für manche Längen keine Maßzahl vorhanden (zum Beisp. für die Diagonale eines Quadrates mit der Seitenlänge 1).

in

Die Menge der reellen Zahlen erweitert die Menge der rationalen Zahlen. Der Grund: Unter den rationalen Zahlen ist für manche Längen keine Maßzahl vorhanden (zum Beisp. für die Diagonale eines Quadrates mit der Seitenlänge 1). Einer vielzahl physikalischer Größen wie zum Beispiel Länge, Temperatur und Masse, kann eine reelle Zahl als Maßzahl zugeordnet werden.

umgeändert, da der alte Absatz zwei Fehler enthielt. Zum einen ist die Menge der reellen Zahlen nicht der größte Zahlenbereich der der menschlichen Erfahrung zugänglich ist. Alle physikalischen Gesetze beruhen auf menschlicher Erfahrung und in einer ganzen Reihe kommen komplexe Zahlen vor. Der Satz ist also Mist. Auch wenn man "Erfahrung" durch "Vorstellung" ersetzt, wird er nicht besser. Die Gaußsche Zahlenebene erlaubt eine geometrische Deutung der komplexen Zahlen sammt deren Addition und Multiplikation. Die komplexen Zahlen sind also sehr wohl anschaulich vorstellbar. Zum Anderen kann man nicht jeder messbaren Größe durch eine reelle Zahl beschreiben, da auch vektorielle Größen physikalische Größen sind. Übrigens auch nicht alle skalaren physikalischen Größen sind reell, z.B sind Wechselstromwiederstände und Wahrscheinlichkeitsamplituden komplex. Gruß Stefanwege 19:54, 12. Okt. 2006 (CEST)

Die alte Formulierung war zwar philosophisch etwas ungenau, aber treffend. Ich denke, wenn man stark vorbelastete Begriffe wie „Erfahrung“ und „Vorstellung“ vermeiden könnte, ließe sich aus der alten Fassung mehr machen als aus der neuen. Hintergrund: Die Sache mit den Messgrößen hat (IMHO) Hand und Fuß. Nahezu unstrittig ist unter Physikern, dass man für eine komplexe Observable zwei verschiedene Messungen braucht (meist Betrag und Phase=Argument(math)). Eher strittig ist, ob man wirklich Reelles misst oder (wie die guten alten Griechen) nur Verhältnisse zu Eichdefinitionen (also Rationales).

Geschmacksvotum: Die neue Einleitung ist weit weniger elegant und der prominenten Stellung des Lemmas nicht angemessen. --KleinKlio 22:03, 12. Okt. 2006 (CEST)

Dem kann ich nur zustimmen. Ferner halte ich den ersten Einleitungssatz für komplett kontraproduktiv. Das erste, was es über reelle Zahlen zu sagen gibt ist nicht, dass sie eine Erweiterung der rationalen Zahlen darstellen. --P. Birken 22:28, 12. Okt. 2006 (CEST)

Ich finde auch daß die neue Einleitung ein bißchen zu technisch ist, bin aber auch der Meinung daß die alte Einleitung schlichtweg falsch ist: Man kann sehr wohl ein Feeling für die komplexen Zahlen haben, und andererseits sind sämtliche Messungen die der Mensch machen kann nicht reel sondern lediglich rational, da von endlicher Genauigkeit (und wie auch schon der Name sagt). Dies ist sogar prinzipiell so (Planck-Länge etc.), sodaß man sogar unwiderlegbar die Natur als diskret annehmen kann. — MFH 21:42, 13. Okt. 2006 (CEST)

Ich denke, das ist in etwas so gemeint: Du kannst Dir unmittelbar vorstellen, was ${\sqrt {2}}\,\mathrm {s}$, ${\sqrt {2}}\,\mathrm {m}$ oder ${\sqrt {2}}\,\mathrm {kg}$ oder auch ${\sqrt {2}}\,\mathrm {PS}$ sind, nicht aber, was $(2+\mathrm {i} )\,\mathrm {m}$ sein könnten. Negative Zahlen sind da auch schon ein Problem, aber Irrationalität per se nicht.--Gunther 22:02, 13. Okt. 2006 (CEST)

Zwischeneinwurf: Vielleicht sollte man genau deswegen Zeit, Länge, Masse und Leistung in den Artikel schreiben (was richtig ist) und nicht jede physikalische Größe (was falsch ist). Gruß Stefanwege 16:38, 17. Okt. 2006 (CEST)

Danke, Gunther, das sagt ziemlich genau, was ich bei der Formulierung gemeint habe, und ich denke nach wie vor, es kommt so, wie's da steht, auch ganz gut rüber.
@MFH: Reelle Zahlen sind keine Frage der Messgenauigkeit. Die Pythagoräer haben mit dem Finger in den Sand gezeichnet und dabei herausgefunden, dass der menschlichen Vorstellung was fehlt, wenn sie sich auf rationale Zahlen beschränkt. Und wie jemand die Existenz einer Planck-Länge nachweisen will, ohne reelle Zahlen zu benutzen, möchte ich erst mal sehn. (Wie der wohl die notwendige Analysis aufbaut...?)
Leute mit einem „feeling“ für komplexe Zahlen beneide ich. Mit scheint aber: Es ist sehr viel schlechter kommunizierbar als das „feeling“, dass jede Diagonale eine Länge hat.
Nicht ganz verständlich ist mir Gunthers Problem mit den negativen Zahlen: Wo sie mit der menschlichen Erfahrung Kontakt kriegen, nämlich bei allen relativen Angaben wie (Celsius-)Temperatur, Meereshöhe oder auch Potenzial, gibt es kein Problem mit der Vorstellung. (Das gehört aber nicht hierher.) -- Peter Steinberg 22:47, 13. Okt. 2006 (CEST)

Die jetzige Fassung finde ich gut. Der belastete Begriff "Erfahrung" im ersten Satz wird durch den zweiten Satz implizit präzisiert. Da ich anscheinend mit meiner Äußerung über "Verhältnisse zu Eichdefinitionen" hier ein neues Fass aufgemacht habe, äußere ich mich nochmal zu Stefanwege (immer noch stark verkürzt):

In der Physik hat man vor einer (idealen) Messung einen Wert, den die Theorie für diese Messung voraussagt. Das Ergebnis der Messung ist ein Messwert mit Fehlergrenzen, also eigentlich weder eine rationale noch eine reelle Zahl sondern ein (hoffentlich beschränktes) Intervall innerhalb der reellen Zahlen. Wenn man eine gute Theorie der Messapparatur hat, kann man sogar sagen, das Ergebnis ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf R (etwas weniger anspruchsvoll: oft gibt es theoretische Gründe, anzunehmen, dass die „abgelesene“ Maßzahl nicht genau in der Mitte des Vertrauensintervalls liegt.) Durch Wiederholung der Messung (eventuell mit anderen, genaueren Messgeräten) wiederholt man praktisch endlich viele Schritte einer Intervallschachtelung, wie sie der Mathematiker zur Definition der reellen Zahlen verwenden kann. In diesem Sinne kann man sagen: Eine Messung/Messreihe ergibt nicht, aber zielt auf eine reelle Zahl.

Die Voraussage der Theorie ist aber genau eine reelle Zahl, zum Beispiel sqrt(2)m für die Diagonale im Quadrat mit der Seitenlänge 1m, Beim heutigen Stand der Eichdefinitionen (die sich zum Beispiel nicht auf plancksche Längen beziehen) ist es ein unwahrscheinlicher (p=0, also praktisch unmöglicher) Zufall, wenn die theoretische Voraussage eine rationale Zahl (im Maßsystem) vorhersagt. Dass praktisch doch oft mit rationalen Zahlen operiert wird, liegt einerseits daran, dass man die physikalischen Konstanten auch nur bis auf ein Vertauensintervall kennt (es sei denn, sie dienen ausnahmsweise zur Definition einer Einheit, wie die Vakuumlichtgeschwindigkeit für das Meter, dann sind sie aus praktischen Gründen per def. rational "gewählt") und andererseits daran, dass man bei einer Messreihe nur eine gewisse Genauigkeit anstrebt, also genügt für die Diagonale die Voraussage „etwa 1,414 m“.

Vollkommen anders bei komplexen Größen oder Vektoren im Raum (Kraftvektor...). Hier braucht man für jeden Freiheitsgrad (über R!) der Zielgröße eine eigenständige Messung/Messreihe der oben beschriebenen Art, oft sogar mit ganz unterschiedlichen Messvorrichtungen. Daher ist es weitgehend Konsens, dass z.B. der Wechselstromwiderstand keine Messgröße ist, sondern aus zwei Messgrößen (ohmscher und Blindwiderstand oder Betrag und Phase ...) besteht.

Gehört alles nicht in diesen Grundlagenartikel, aber die Einleitung ist IMHO im Sinn von "physikalische Erfahrung" treffend. --KleinKlio 16:46, 15. Okt. 2006 (CEST)

Die hier angegebene Definition beißt sich jedenfalls mit dem Artikel Physikalische Größe auf den indirekt verlinkt wird. Außerdem ist auch der Spin von Elektronen eine Messgröße und diese kann nur diskrete Werte annehmen (eine Zuordnung zu den reellen Zahlen ist also eher künstlich) Und nun der wichtigste Kritikpunkt: In der von mir durchgesehen Literatur stehen die beiden umstrittenen Aussagen nirgens drin. Könnte einer von denen die meinen die Aussagen sollten im Artikel bleiben vielleicht mal eine Quelle angeben? Gruß Stefanwege 16:38, 17. Okt. 2006 (CEST)

In Physikalische Größe steht einleitend: „Eine physikalische Größe ist eine quantitativ bestimmbare Eigenschaft eines physikalischen Objektes. Sie ist entweder direkt messbar oder kann aus Messgrößen berechnet werden. ...“ In Messgröße, auf das hier verlinkt wird, steht: „Eine Messgröße ist eine Eigenschaft eines physikalischen Systems: Eine physikalische Größe, die mit Hilfe eines Messgerätes bestimmt werden kann. ...“ (Hervorhebung von mir: ein Messgerät genügt eben nicht zur Messung eines Vektors oder einer komplexen Größe.) Dass der Artikel Messgröße später dem Artikel Physikalische Größe widerspricht (Gleichzeitigkeit ist keine quantitative Eigenschaft) trägt zu unserer Diskussion hier nichts bei. Ich denke, im Kern stützen beide Artikel den Einleitungssatz. (im Sinn von „Messgröße“, nicht physikalische Größe. Komplexe Größen können natürlich aus Messgrößen berechnet werden.) Beim Spin gilt das gleiche, wie bei der planckschen Länge: Wer im SI-System misst, kriegt halt potentiell ungenaue Maßzahlen raus, die in der Fehlerdiskussion behandelt werden müssen, wie ich es oben beschrieben habe. Wenn man nur Spins „vergleicht“ (parallel oder antiparallel), reden wir nicht mehr von einer quantitativen Messung, sondern von einer qualitativen Erhebung, das Ergebnis ist dann auch keine Messgröße mehr. --KleinKlio 23:05, 17. Okt. 2006 (CEST)

Hier mal eine Quelle dafür, dass vektorielle Größen sowohl Mess- als auch physikalische Größen sind: [1] Die verlinke Quelle gibt wiederum die deutsche Industrienorm(DIN) als Quelle an. Gruß Stefanwege 16:31, 18. Okt. 2006 (CEST)

Besser?--KleinKlio 17:51, 18. Okt. 2006 (CEST)

Ja, so ist es besser. Bleibt noch das Problem mit der "menschlichen Erfahrung". In den Büchern die ich habe werden die reellen Zahlen tatsächlich (unelegant?) nur als Erweiterung der rationalen Zahlen eingeführt. Du als Lehrer hast ja aber Bücher für den Schulunterricht die vielleicht etwas anschaulicher rangehen. So wie er jetzt dasteht kann der Satz jedenfalls nicht bleiben. Gruß Stefanwege 18:20, 18. Okt. 2006 (CEST)

Nun ja, leider sind Schulbücher zu dem Thema wirklich „Mist“, zumindest unbrauchbar für unsere Zwecke. Ein Schulbuch, das eine metamathematische Reflexion über reelle Zahlen anstellt, ist in der Sache zwangsläufig kurz, meist wird ein bestimmter historischer roter Faden mit 500-Jahres Sprüngen angerissen, ohne wirkliche Quellenangaben, die sich verwerten ließen. Der Begriff „Erfahrung“ ist stark vorbelastet, das macht den (IMHO immer noch sehr eleganten) ersten Satz angreifbar. Will mal versuchen, ob ich etwas brauchbares (wörtliches Zitat) aus dem philosophischen Raum finde, von Feynman gibts irgendwo sowas. Dann könnte man das neutral zitieren. Sollte natürlich nicht ein anderswo prominent gewordenener Mathefremder wie Hegel sein. Kant versteht zwar was davon, aber sein Begriff von Mathe ist wohl von der Geschichte überholt. Große Mathematiker, von denen ich Bewertungen zu dem Thema kenne, sind radikal betriebsblind (z. B. Kronecker: „Die ganzen Zahlen hat Gott gemacht...“).

Kurz und gut: Wir stoßen da an den philosophischen Raum der Erkenntnistheorien. Da gibt es halt keinen Konsens, daher: Knackiges Zitat wäre gut. --KleinKlio 18:44, 18. Okt. 2006 (CEST)

Ein mathematisch-pragmatischer Arbeitsvorschlag (bis wir was „Feineres“ haben):

>>Die Menge der reellen Zahlen bildet den größten Zahlbereich, in dem sich Größen vergleichen lassen.

Dieser Satz ist zwar lendenlahm (und vielleicht eine Beleidigung für Fans der hyperreellen und surrealen Zahlen), aber nicht wirklich falsch.

Oder wir lassen den Satz vorläufig weg.--KleinKlio 18:59, 18. Okt. 2006 (CEST)

Besser weglassen, wegen der von Dir angesprochenen Probleme mit den hyperreellen/surrealen Zahlen. Was wir dann aber am besten als ersten Satz nehmen ist mir auch nicht ganz klar. Mir persönlich würde die Zahlengerade am besten gefallen. Gruß Stefanwege 19:56, 18. Okt. 2006 (CEST)

Weglassen geht aus stilistischen Gründen nicht. Habe mal was einigermaßen Unverfängliches eingefügt. Aber die Behandlung der Zahlengerade ist auch nicht grad vom "Feinsten". Wenn alle hier mit der Einleitung vorläufig leben können, würde ich gerne erst mal "dickere Hunde" jagen gehn. --KleinKlio

Mit der aktuellen Version kann ich leben. Viel Spaß beim Jagen. Holido Stefanwege 09:07, 20. Okt. 2006 (CEST)

Redirect

Ich halte den redirect von "reell" auf "reelle Zahl" für unglücklich, weil es z.B. in der Physik auch "reelle Teilchen" als Gegensatz zu virtuellen Teilchen gibt und eine Begriffsklärung reell nützlich wäre. Gruß --80.237.206.93 15:54, 13. Apr 2005 (CEST)

Gibt es einen Artikel zu "reelle Teilchen"? --NeoUrfahraner 16:03, 13. Apr 2005 (CEST)

Es sollte einfach mal ein Artikel zu reell her. --Jazzman^Post_Student? 09:31, 26. Okt. 2010 (CEST)

Das klingt für mich eher nach BKS. Hat denn das "reell" in "reelles Teilchen" etwas mit "reell" in "reeller Zahl" zu tun? -- Digamma 14:57, 26. Okt. 2010 (CEST)

Hui, so sprachphilosophisch hier ;-) Tja, irgendetwas haben die beiden Verwendungen gemeinsam, sonst würde man wohl nicht das gleiche Wort verwenden. In reell könnte man mit der Lexikondefinition beginnen und dann eine Übersicht über die verschiedenen Verwendungen geben, um die Bedeutung des Wortes möglichst gut zu illustrieren. Dazu könnte man noch eine Geschichte der Begriffsverwendung und Wortherkunft aufführen. --Jazzman^Post_Student? 19:17, 31. Okt. 2010 (CET)

Vom Wort her ist "reell" dasselbe wie "real", oder? Nur dass das eine über das Französische entlehnt wurde, das andere aus dem Lateinischen. Eine Worterklärung müsste dann beide abdecken. Meiner Ansicht nach reicht eine BKS. Wikipedia ist kein Wörterbuch, sondern eine Enzyklopädie. -- Digamma 10:18, 2. Nov. 2010 (CET)

Bei Wiktionary wird der Unterschied erläutert. Klar, wenn das ganze in einem bloßen Wörterbucheintrag endet, ist es überflüssig. Aber im Prinzip gibt es zu dem Begriff(-spaar) eine ganze Menge zu schreiben. --Jazzman^Post_Student? 22:08, 2. Nov. 2010 (CET)

Nach der Erläuterung dort bedeutet das "reell" in physikalischen Begriffen wie "reelles Teilchen" oder "reelles Bild" eher "real", als das was dort unter "reell" beschrieben wird. Aber zurück zu Deinem Ansinnen: Schreib doch einfach mal eine Seite "reell" und schau, was passiert. Mit einer existierenden Seite als Grundlage kann man besser diskutieren. -- Digamma 19:40, 3. Nov. 2010 (CET)

Kommentare 10. Juli 2005

• "weil sie nicht rational ist, aber man sich ihr beliebig annähern kann" klingt ziemlich merkwürdig. Was wäre denn, wenn man sich ihr nicht annähern könnte? Das Heron-Verfahren hat in der Einleitung auch nichts verloren
• auch rationale Zahlen sind algebraisch
• da hat mal wieder irgendein Konstruktivist "gilt als überabzählbar" reingeschmuggelt ;-)
• "Wie man leicht nachprüft" ist für uns egal, wir schreiben kein Lehrbuch
• die Vervollständigung ist vermutlich nur nachvollziehbar, wenn man sie schon kennt
• "total geordnet" impliziert keine Verträglichkeit mit Addition und Multiplikation
• Es wäre hilfreich, Intervallschachtelung und Supremumsprinzip nicht nur als Axiom zu erwähnen

--Gunther 10:25, 10. Jul 2005 (CEST)

{{unverständlich}}

Der Abschnitt <<Der Begriff der "reellen Zahlen" im Konstruktivismus>> ist unverständlich formuliert. Schon die Grammatik stimmt nicht (etwa im 2. Satz) und lässt im Dunkeln, was gemeint ist. Außerdem werden die Begriffe "berechenbar" und "unberechenbar" in einer Weise benutzt, die Mathematiker und mathematisch interessierte Laien ratlos macht. -- Peter Steinberg 23:18, 19. Sep 2005 (CEST)

Ist leider immer noch aktuell. Im Vergleich zum englischen Artikel, der wesentlich konkreter wird, ist dieser hier wie ein einziges Geschwurbel. -- User: Perhelion 09:54, 22. Mär. 2019 (CET)

E.B.

Reelle Zahlen sind von praktisch gleichgroßen rationalen Zahlen insofern wesensverschieden als ihre Zifferndarstellung erst mit aktual unendlich vielen Stellen vollständig wäre. Beispielsweise ist die Quadratur des Kreises zwar im Symbol pi repräsentiert aber nicht ausführbar. Auch die Aufgabe eine natürliche Zahl durch unendlich viele Nachkommanullen als reelle Zahl zu repräsentieren ist nicht wirklich lösbar. Die reellen Zahlen sind also fiktive Kontinuumszahlen. Nicht nur ihre Menge sondern auch schon die Ziffernfolge jeder einzelnen reellen Zahl kann nicht abzählbar sein, weil mit einer nicht aktual unendlichen Anzahl von Ziffern in einem b-adischen System eine rationale Zahl vorliegen würde.

(LL) Welcher Abzählbarkeitsbegriff wird hier verwendet? Mittels einer unendlichen Folge von Ziffern kann jede reelle Zahl als konvergente Reihe angegeben werden. Also abzählbar repräsentierbar.

(EB) Die potentiell unendlichen natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) sind bijektiv abbildbar und somit abzählbar. Cantor hat jedoch seine Mengen als aktual unendliche (alle Elemente einschließende) und somit fiktive Zusammenfassung zu einem Ganzen definiert. Die Logik erfordert es, entgegen üblicher Anschauung IN als aktual unendlich zu betrachten und folglich als n i c h t abzählbar zu erkennen.

(LL) Das Argument verstehe ich noch halbwegs, es ist Teil der Reebschen Heranführung an die Nicht-Standard-Analysis, indem er fragt, ob die Menge der natürlichen Zahlen nur aus (1, 2, 3, ...) besteht. Diese Frage ist nicht entscheidbar, und es ergeben sich interessante Möglichkeiten, wenn man sie verneint. Allerdings verstehe ich nicht, was Ihrer Meinung nach abzählbar in einem formalen Sinne bedeutet. Sie schienen auf eine wörtliche, also unmathematische, Interpretation abzuzielen.

(EB) Ich stimme mit dem Strassburger Georges Reeb (1920-1992) darin überein, dass es einen Unterschied zwischen den Zahlen 1,2,3,... und der Menge IN gibt. Cantor folgend sieht die übliche Mathematik diesen feinen aber wie ich meine entscheidenen Unterschied nicht. Von Robinsons Nicht-Standard-Analysis halte ich ansonsten nicht viel, weil es nach meiner Vorstellung keinen größeren Bereich als IR gibt. Statt einer Entscheidung für die Vorstellung dass das Unendliche entweder potentiell sei (Aristoteles) oder aber aktual (Cantor) empfehle ich beides als gegensätzliche Aspekte der gleichen Qualität n-->n+1, oo=oo+a zu akzeptieren. Die potentielle, das Zählen endlos ausführende Sicht schließt unabhängig von verbaler interpretation Bijektion bzw. Abzählbarkeit ein. Mit Cantors Mengenbegriff bzw. bei Abzählbarkeitsbeweisen durch Widerspruch kehrt sich die Blickrichtung um: Die aktual unendlichen Mengen werden von ihrer fiktiven Gesamtheit her betrachtet und sind nicht abzählbar.

(LL) Mit Robinson hab ich auch so meine Probleme, obwohl Laugwitz dessen Ansatz recht übersichtlich darstellt. Nach E. Nelson wird jedoch keine neue Übermenge geschaffen, sondern innerhalb der bestehenden reellen Zahlen eine neue Eigenschaft definiert. Wenn ich das richtig verstehe, lehnen Sie den axiomatischen Aufbau der Mathematik ab. Wobei mich interessieren würde, wie Sie das Induktionsprinzip definieren. Wie schon angesprochen, ist das dann aber keine Mainstream-, also industiell betriebene Mathematik, sondern ein Amateur-Standpunkt. Ich gebe jedoch zu bedenken, dass auch der Mainstream einen konstruktivistischen Ansatz kennt, der nennt sich "Theorie der Berechenbarkeit" oder einfach "Komplexitätstheorie".

(EB) Ich bin generell skeptisch gegenüber Willkür, auch in der Mathematik und nicht nur gegenüber dem AC.

(EB) Wenn man rationale Zahlen in die irrationalen bzw. reellen Zahlen einbettet, so verlieren sie ihre Eigenschaft als Einzelzahl von naheliegenden Zahlen unterscheidbar zu sein. Insofern ist die verbreitete Klassifikation reeller Zahlen als Oberbegriff für rationale und irrationale Zahlen irreführend.

(LL) Welcher Einbettungsbegriff wird verwendet?

(EB) Nicht die sogenannte kanonische Einbettung.

(LL) In welchem Sinne sind dann rationale Zahlen voneinander unterscheidbar? OK, das Archimedische Axiom ist nicht konstruktiv, aber um dies herauszustellen, kann man auch die normale kanonische Einbettung verwenden.

(EB) Für nicht eingebettete rationale Zahlen gilt das Trennungsaxiom, für alle reellen Zahlen einschließlich der eingebetteten gilt es nicht mehr.

(LL) Ist es aber nach allem gesagten in Ihrem Sprachgebrauch überhaupt möglich, von reellen Zahlen zu sprechen? Selbst wenn man die Menge der reellen Zahlen außen vor läßt, ist doch schon jede einzelne reelle Zahl ein überabzählbares Konstrukt, gerade als Äquivalenzklasse von rationalen Cauchy-Folgen. Nebenbei, entweder weiss ich nicht, was das Trrennungsaxiom ist, oder ich verstehe das angedeutete Argument immer noch nicht.

(EB) Ich habe nichts neu erfunden sondern versuche lediglich zu erklären warum Cantors zweites Diagonalargument nur mit reellen Zahlen zum gewünschten Widerspruch führt, nicht aber mit rationalen. Meine Folgerung lautet: Es ist möglich zwei grundverschiedene Eigenschaften zu unterscheiden.

A) Endliche Mengen, natürliche und rationale Zahlen sind diskret und demgemäß mittels Bijektion abzählbar. Hier wird das Unendliche stets unvollendet, stets nur potentiell betrachtet.

B) Fiktive Mengen bzw. Zahlen, nur mit aktual unendlich vielen Gliedern bzw. in aktual unendlich vielen Schritten bzw. aufgabenhaft repräsentiert. Zweifellos gehören die irrationalen Zahlen dazu. Eingebettete rationale Zahlen passen deshalb hinein, weil die Einbettung in eine Fiktion auch sie fiktiv werden lässt.

Es treffen also mehrere Gründe dafür zusammen die fiktiven Zahlen (B) als reelle Zahlen zu identifizieren.

(LL) Niemand hat je behauptet, dass die rationalen Zahlen überabzählbar sind. Da gibt es einfach nichts zu erklären. Und auch mit der Schnitt- oder sonsteiner Konstruktion sind die reellen Zahlen "fiktiver" als die rationalen Zahlen. Das sollte jeder Mathe-Student nach dem Grundstudium bestätigen können. "Diskret" hat übrigens in der Topologie eine Bedeutung, die auf die rationalen Zahlen nicht zutrifft.

(EB) Ich wiederhole: Ich habe nichts neu erfunden sondern ... (siehe oben)

Und ich ergänze: Alle Versuche die reellen Zahlen als Oberbegriff rationaler und irrationaler zahlen mittels Äquivalenzvermutung o. ä. zu definieren kommen nicht an diesem fundamentalen Unterschied vorbei. Die eigentlich sehr einfache plausible Erklärung des Begriffs reelle Zahl kann so nicht überzeugend gelingen.

(EB) Für reelle Zahlen sind Unterscheidungen wie zwischen < und <= bzw. zwischen offenen und geschlossenen Intervallen sinnlos. Mit der reellen Zahlen entfällt das Problem, die Null entweder IR+ oder IR- zuzuordnen oder getrennt zu behandeln. IR+ hat eine eigene Null. Reelle Zahlen sind die Grundlage der Analysis auch wenn man mit ihnen nicht unmittelbar rechnen kann. Mit reellen Zahlen löst sich der Widerspruch zwischen Ruhe und beginnender Bewegung auf.

(LL) Das ist nun wirklich Schwachsinn. Natürlich macht es einen Unterschied, ob man die Grenzpunkte zu einem Intervall dazurechnet oder nicht. Korrekter wäre, dass man einer Approximation einer reellen Zahl nicht ansieht, ob sie von Null verschieden ist bzw. welches Vorzeichen sie hat, d.h. ob eine Null als Ergebnis eines Näherungsverfahrens wirklich eine Null ist. Der letzte Satz soll wohl auf Zenons Paradoxa anspielen. Das könnte man aber auch der Verständlichkeit halber hinschreiben.

(EB) Nein. Es ist wohl akzeptiert, wird aber nicht gelehrt dass im Kontinuum IR das "tertium non datur" nicht gilt.

Das Kontinuum i s t das Tertium. Für Anwendungen speziell in der Physik und um allerlei Paradoxa zu überwinden muss man die Vorstellung aufgeben in IR irgendeinen Punkt anders als aufgabenhaft oder fiktiv repräsentieren zu können. Im Kontinuum ist weder die Null noch eine andere Zahl greifbar.

(LL) Ich verstehe dieses Argument nicht. Inwiefern wird die zweiwertige Logik aufgegeben? Die gesamte Theorie der reellen Zahlen wird doch in zweiwertiger Logik formuliert. Und auch natürliche Zahlen sind "Fiktionen", man kann real nicht beliebig viele Steine aufeinanderhäufen.

(EB) Keine einzige natürliche Zahl ist fiktiv. Keine reelle Zahl ist als Einzelzahl numerisch vollständig und disjunkt repräsentierbar.

(LL) Jede Zahl ist fiktiv. Man kann Zahlensymbole auf Papier schreiben, oder Zustände eines elektronischen Schaltkreises als Zahl interpretieren. Jede Repräsentation ist von einer Interpretation abhängig, die Zahl selbst ist eine Idee, ein Objekt der Metaphysik der aktuellen Gesellschaft. Oder nach Kant dem A priori des Wissens zuzurechnen, also den Dingen, die uns als kleinen Kindern andressiert wurden.

(EB) Es ist unvernüftig den Begriff fiktive Zahl böswillig zu entwerten. Genauso könnte man gegen die imaginären Zahlen polemisieren. Bereits Leibniz nannte die Infinitesimalen wohlbegründete Fiktionen.

(LL) Es gibt überhaupt keinen allgemein benutzten Begriff einer "fiktiven Zahl", man kann also nichts entwerten. Und da man nicht hinaus in die Natur gehen kann, um die Zahl 2 oder die Zahl π zu studieren, verbleibe ich dabei, jegliche Zahl "fikitv" oder "metaphysisch" oder "Idee" zu nennen.

(EB) Georg Cantor nahm sich sogar heraus, das nicht Abzählbare auf der Basis seiner Leugnung des qualitativen Unendlichkeitsbegriffs überabzählbar zu nennen obwohl das 2. Diagonalargument dies gar nicht rechtfertigt, wenn man Cantors stillschweigende Annahmen kritisch betrachtet. Es fiel den Mathematikern auch nicht auf, dass das Axiom des Archimedes und die Unvermehrbarkeit des Unendlichen (oo+a=oo) Cantors naiv qualitativen Unendlichkeitsbegriff widersprechen. Als übliche Bezeichnungen für das nicht Abzählbare kenne ich (Nicht-Hausdorff- sondern echtes) "Kontinuum" oder auch "reelle Zahlen", wobei ich mir den Hinweis gestatte, dass die rationalen Zahlen nicht gleichzeitig abzählbare rationale und nicht abzählbare weil fiktive reelle Zahlen sein können. Es ist also nötig zwischen rationalen Zahlen einerseits und fiktiven, durch Einbettung ins Kontinuum fundamental veränderten rationalen Zahlen andererseits strikt zu unterscheiden.

(EB) C. Meray (1869) und G. Cantor (1871) definierten reelle Zahlen treffend als fiktive Grenzwerte konvergenter Folgen. Alternative Definitionen wie Intervallschachtelungen und Dedekind-Schnitte sind ungünstiger.

(LL) In moderne Sprache übertragen heißt das nichts weiter, als dass zu jeder Klasse von Cauchy-Folge ein idealer Grenzwert "erschaffen" wird. Heute nennt man das "Vervollständigung topologischer Räume". Intervallschachtelung ist im Prinzip nichts anderes. Dedekindschnitte sind zu beidem äquivalent. Zu jeder Cauchy-Folge $(a_{n})\subset \mathbb {Q}$ wird die Obermenge $B:=\{x\in \mathbb {Q} :\exists N\in \mathbb {N} \forall n\geq N:x\geq a_{n}\}$.

(EB) Dedekinds Schnitte basieren auf der Illusion man könne (um allzu platten Missverständnissen vorzubeugen schränke ich mal eigentlich unnötig ein) eine irrationale Zahl numerisch so "erschaffen" dass sie sich als entweder kleiner, gleichgroß, oder größer im Vergleich zu einer Nachbarzahl klassifizieren lässt. Dedekind hatte erstens das Wesen irrationaler Zahlen nicht ganz verstanden und zweitens eine unheilvolle Phase von Willkür in der Mathematik eingeleitet. Ich bin Platoinst, bin dafür Mathematik zu entdecken, nicht beliebig zu erfinden. Intervallschachtelungen liefern erst mit der Intervallbreite null eine reelle Zahl. Mit Äquivalenzklassen ist man in (Q, nicht in IR. IR ist nicht isomorph sondern amorph. Dazwischen ist das was Cantor einen Abgrund nannte, die unüberbrückbare Grenze zwischen diskreten Zahlen und dem Kontinuum in dem Zahlen nur noch nicht mehr abzählbar als Aufgabe bzw. Fiktion existieren und man sie irreführend reelle Zahlen nennt.

(LL) Nein. Egal wie man zu Dedekind und Zeitgenossen stehen mag, sie haben erstmals das Problem gelöst, was eine reelle Zahl ist. Bolzano war zwar auch dicht dran, konnte sich aber nicht durchsetzen. Und sorry, um das Problem des Ordnungsabschlusses zu lösen, ist es die eleganteste Methode, eine reelle Zahl als Vorher-Nachher-Zerlegung der rationalen Zahlen zu definieren. Was ist daran willkürlich? Und man braucht diese Fiktion des Kontinuums, um die Fiktion eines in der Zeit kontinuierlichen Prozesses in der Physik begründen zu können. Natürlich ergibt sich daraus das rein praktische Problem, wie mit reellen Zahlen zu rechnen sei. Aber theoretisch ist das kein Problem. Nebenbei, Mathematik ist eine einzige Erfindung, es wird nichts entdeckt.

= Das ist Ansichtssache.--Gunther 12:31, 11. Okt 2005 (CEST)

(EB) Ich halte die Auffassung von Leibniz (wohlbegründete Fiktionen mit einem Fundamentum in re) für richtig und erwiesenermaßen fruchtbar, während Bolzano, Dedekind, Cantor etc. die Mathematik in einer Zeit epochaler naturwissenschaftlicher Entwicklungen, welche auch von Fourier und Gauss profitierten in eine noch immer nicht überwundene Erstarrung und Beschäftigung mit selbstgemachten Paradoxien führten. Ich zitiere Ebbinghaus in Ebbinghaus et al. "Zahlen": "... Analysis zu betreiben, ohne zu wissen, was reelle Zahlen eigentlich sind."

(LL) Gewisse Dinge nachzubeten, ohne deren Grundlage zu hinterfragen, gehört nunmal zu unserer postmodernen Gesellschaft dazu. Und wie gesagt, gewisse Dinge müssen einfach antrainiert werden, um dieser Gesellschaft überlebensfähig zu sein. Die Arithmetik beispielsweise, um beim Bäcker Brötchen kaufen zu können oder sonstwie sein Taschengeld verwalten und einsetzen zu können. Etwas anspruchsvoller: Wer hat schon Berechnungen analog zu Kepler, Newton oder Gauß nachvollzogen, um zu verstehen, in welchem Sinne es richtig ist, dass die Erde sich um die Sonne dreht? -- Trotzdem gibt es eine gültige und nachprüfbare Theorie der reellen Zahlen, auch wenn Abiturienten meinen, mit dem unendlichen Dezimalbruch sei schon alles gesagt. Es mag schönere Arten geben, Mathematik zu betreiben, für den derzeitigen Umfang von Zahlentheorie bis Differentialgeometrie gibt es keine einfachere, in 5-x Jahren einigermaßen vollständig vermittelbare.

(EB) Ich bete Dummheiten nicht nach. Kronecker nannte Cantor vor seinen Studenten "Verderber der Jugend", Poincaré hoffte: "Zukünftige Generationen werden die Mengenlehre als eine Krankheit betrachten von der man sich erholt hat." Wenn wir die Kardinalzahlen als Unsinn weglassen bricht in der Mathematik nichts von Wert zusammen. Das Studium wird kürzer und für intelligente Studenten erträglicher. Es gab bzw. gibt freilich auch Studenten die den ML liebten bzw. heute die ML lieben.

(LL) Ich behauptete nicht, dass Sie etwas nachbeten, sondern der Durchschnittsabiturient. Kronecker war persönlich, nunja, milde gesagt, sehr direkt, wie es zu seiner Zeit noch üblich war. Man war unter sich, in einer recht kleinen Elite. Wenn also nichts von Wert zusammenbricht, dann können Sie bestimmt die Quantenelektrodynamik, nur so als Beispiel, ohne Rückgriff auf die Menge der reellen Zahlen, oder gar, Gott verbiete, auf Hilbert-Räume formulieren.

(EB) Ich schlug nicht vor die reellen Zahlen wegzulassen sondern die Alefs ab Alef2. Alef0 bedeutet Unendlichkeit, Alef1 Nichtabzählbarkeit. Man kommt ohne Alefs aus. Was bricht zusammen? Illusionen vielleicht. Hat man sich daran gewöhnt, erst dann könnte man ja auch einiges rund um QED und Hilbert-Räume auf den Prüfstand stellen.

(LL) Was ist das "Wesen" irrationaler Zahlen? Geht das nicht schon haarscharf an Geistertheorien heran?

(EB) Durchaus nicht. Irrationale und andere reelle Zahlen haben gegenüber rationalen ganz einfache Unterscheidungsmerkmale: Sie sind sämtlich fiktiv in dem Sinne nur aufgabenhaft vollständig darstellbar zu sein. Sie bilden das echte (Nicht-Haussdorf-) Kontinuum.

(LL) Und was ist nun genau der Wesensunterschied einer rationalen und rell-algebraischen Zahl? Beide haben endliche Darstellungen. Transzendente Zahlen sind was anderes, diese werden erst für topologische Zwecke benötigt, die aber in Ihrer Sprache überhaupt nicht darstellbar sein sollten, denn "interessante" topologische Räume sind aktual unendlich.

(EB) Nur die Menge (Anzahl) der algebraisch irrationalen Zahlen ist abzählbar. Jede einzelne reelle Zahl, auch eine algebraisch irrationale, ist nur fiktiv mittels aktual unendlich vieler Elemente numerisch repräsentiert. Transzendente Zahlen sind mir nur als irrational bzw. reell bekannt. Die fehlende bzw. fiktive numerische Repräsentation ist nicht zu leugnen. Indem ich sie anerkenne schränke ich den Gebrauch dieser Zahlen nicht ein. Es ergeben sich lediglich allerlei vernünftige Vereinfachungen.

(LL) Ab dieser Stelle verläuft unsere Diskussion im Sande. Sie wissen nichts von reell-algebraischen Zahlen und dass man mit deren endlicher Repräsentation genau wie mit rationalen Zahlen rechnen kann. Zugegeben, der Aufwand steigt, aber das war nicht das Thema, lediglich, dass er endlich bleibt. Sie wissen zuwenig von der modernen Mathematik, um sie wirksam kritisieren oder gar durch eine mengenlehrefreie Alternative ersetzen zu können. Ich fürchte, Sie könnten diese Kritik nicht einmal als Aufgabe allgemeinverständlich formulieren.

(EB) Ich kannte zwar schon algebraische Irrationalzahlen, fand aber zu reell-algebraische Zahl nur sehr wenig. Meine Kritik sollte so konstruktiv wie möglich sein. Ich habe soeben wieder mal eine spontane unvollständige und ungeordnete Zusammenfassung versucht:

Cantors quantitativer Unendlichkeitsbegriff ist durch nichts fundiert. Das 2. Diagonalargument verdient eine akzeptable Interpretation. Nichtabzählbarkeit ist keinesfalls gleich Überabzählbarkeit. Mengenexistenzaussagen passen nicht zur Unendlichkeit. Das archimedische Axiom und die Unvermehrbarkeit von oo gelten weiter. Die Zahlen 1,2,3,... sind potentiell unendlich und somit abzählbar. Cantors unendliche Mengen sind als fiktive Ganzheiten nicht abzählbar. Reelle Zahlen bedürfen einer klaren Unterscheidung von den rationalen. Reelle Zahlen sind rationale mit q=oo bzw. Lösungen unlösbarer Aufgaben. Innerhalb der reellen Zahlen ist jede Einzelzahl irrelevant. Der Gegensatz zwischen Ruhe und beginnender Bewegung ist behebbar. IR lässt sich symmetrisch teilen. IR+ hat seine eigene Null. Buridans Esel kann nicht verhungern. Zenon zeigte: Zahl und Kontinuum ergänzen sich als Gegensätze. |sign(0)|=1 ist nicht nur aus intuitionistischer Sicht richtig. Das TND bzw. Trichotomie gilt für das Kontinuum IR nicht.

(EB) In anderer Bedeutung sind reelle Zahlen das Gegenstück zu imaginären Zahlen und bilden zusammen mit diesen die komplexen Zahlen. Auch imaginäre Zahlen können rational oder reell im Sinne von irrational sein.

(LL) Nicht relevant.

(EB) Als Abgrenzung schon. Mir kam es speziell auf die Unterscheidung - entweder rational oder reell - an. Wer formal korrekt einwendet der Gegensatz zu "rational" sei "irrational" möge sich fragen wie Cantor in seinem zweiten Diagonalargument sicherstellte, dass er reelle Zahlen benutzt und nicht etwa rationale.

Insgesamt muss ich befürchten dass die Durchschnittsmathematiker nicht so schnell begreifen werden, dass sie die Chance einer Fundamentalkorrektur verpassen, wenn sie nicht lernen wieder so fruchtbar und kritisch zu denken wie es beispielsweise Leibniz vermochte.

(LL) Wenn es rein um den Wortsinn geht, so ist das mit den "vernünftigen" und "unvernünftigen", "wirklichen" und "eingebildeten" Zahlen schon ein Kreuz. Diese Bezeichnungen sind, wie so vieles, ein Stück abgelagerter Wissenschaftsgeschichte. Daran etwas zu ändern, könnte zwar einfacher sein, als das deutsche (Steuer-)Rechtssystem zu entrümpeln, aber wohl nur unwesentlich. Man müsste künstliche Begriffe erfinden, und diese dann auch noch durchsetzten. Soweit ging, meines Wissens, nicht einmal die Bourbaki-Gruppe.

(EB) Beim Beweis der Nichtabzählbarkeit geht es um den Unterschied zwischen rationalen Zahlen und der Menge reeller Zahlen. |sign(0)| = 1 ist nur ein Erinnerungszeichen für Reformbedarf.

(LL) Was genau ist an dem Beweis der Nichtabzählbarkeit, richtig ausgeführt, d.h. nicht in der Dezimalentwicklung, problematisch? Können Sie in Ihrer Sprache dieses Problem überhaupt formulieren? Müssen Sie nicht, um Aussagen über äquivalente Cauchy-Folgen zu treffen, den Bereich des Konstruktivismus verlassen? Sie sprechen ja bewußt von rationalen Zahlen, aber der Menge der reellen Zahlen. Wie wollen Sie Eigenschaften eines Objekts untersuchen, dessen -- wenn auch metaphysische -- Existenz Sie nicht anerkennen?

(EB) Ich lasse mir deshalb keinen konstuktivistischen Standpunkt unterstellen, weil auch die Konstruktivisten Cantors Irrtümer übernahmen.

Problematisch ist am Beweis der Nichtabzählbarkeit die absichtlich quantitative Interpretation durch Cantor als "überabzählbar".

(LL) Nein, Sie kennen unter Ihren Prämissen garnichts, was auf Nichtabzählbarkeit untersucht werden könnte. Sie kennen nur rationale Zahlnen, endliche Teilmengen davon, und Funktionen, welche als Polynom konstruierbar sind. Sie sind also auf dem Stand der Mathematik um 1800 und wollen dort verbleiben. Das können Sie gerne machen, jedoch können Sie dann bei Themen, welche durch die Anwendungen der Mathematik, insb. in Physik und Ingenieurswissenschaften, vorangetrieben wurden, nicht mehr mitreden.

(EB) Ich komme von den Anwendungen her, verschmähe Integraltransformationen (speziell die der komplexen FT in der Physik der Realität verblüffenderweise völlig äquivalente Cosinustransformation inIR+) nicht, fand aber eindeutig auf mangelnem Verständnis der hermitischen Symmetrie bei komplexer FT beruhende Auffälligkeiten von Aussagen exponierter Physiker.

EB 19:30, 2. Nov 2005 (CET) EB EB

04.10.05

--LutzL

10.10.05 EB

18:37, 4. Okt 2005 (CEST)

--LutzL 12:27, 11. Okt 2005 (CEST)

--LutzL 18:24, 17. Okt 2005 (CEST)

(LL)--LutzL 13:50, 21. Okt 2005 (CEST) typos--LutzL 14:44, 21. Okt 2005 (CEST)

Überarbeitung 21.10.2005

Ich mache mal hier oben weiter! Die Einleitung/das Lemma habe ich überarbeitet, ebenso den ersten Absatz Einteilung der reellen Zahlen. Den Konstruktivismus-Abschnitt habe ich konsequenterweise erstmal vollständig gelöscht. Artikel nach wie vor überarbeitungsbedürftig!!! Alfred Grudszus 12:34, 21. Okt 2005 (CEST)

Habe die Struktur der Diskussionsseite wiederhergestellt und den vorstehenden Beitrag in einen eigenen Abschnitt verschoben.--Gunther 12:39, 21. Okt 2005 (CEST)

Lieber 'Kollege' Gunther,
du würdest mich fast schon froh und glücklich machen, wenn du deine Aktivitäten auf das vernünftige, notwendige und sinnvolle beschränken würdest. Das betrifft sowohl

• den Artikel selbst: ohne den Hinweis auf die nicht-Ganzzahligkeit ist der Satz einfach "zu falsch";
• diese Dis-Seite: wieso es übersichtlicher ist, zwei Absätze mit dem Titel "Einleitung" zu haben, ist mir schlichtweg vollkommen schleierhaft!!

Gruß Alfred Grudszus 12:45, 21. Okt 2005 (CEST)

1. Die Formulierung "die nicht ganz-zahligen Ausprägungen der Winkelfunktionen Sinus und Tangens" ist mir nicht verständlich.

2. Auch ich bin nicht glücklich darüber, dass es zwei Abschnitte "Einleitung" gibt, aber in beiden befinden sich jeweils am Ende relativ offene Diskussionen, deshalb sollten sie separat bleiben. Neue Diskussionsbeiträge gehören generell nach unten.--Gunther 12:49, 21. Okt 2005 (CEST)

Werter Gunther,
der Satz (jetzt: „die nicht-ganzzahligen Werte der Winkelfunktionen Sinus und Tangens“ ist sogar streng genommen falsch, denn auch die ganzzahligen Werte von Wurzeln sind natürlich reelle Zahlen. Aber das ist genau der Punkt: Du bist offenbar Mathematiker und für die ist alles das unverständlich, was für normale Menschen verständlich ist. Ich wette mit dir, daß in meiner Formulierung jeder sofort versteht, was gemeint ist. Und darauf, nur darauf kommt es hier an. Wer mehr will, muß in ein Mathematikbuch schauen.

Ich wäre dir wirklich zu außerordentlichem Dank verpflichtet, wenn du die in der Folge jetzt mal auf die Abschnitte konzentrieren könntest, die ich wegen meiner unzureichenden mathematischen Vorbildung erstmal nciht angefasst habe. Keine Sorge: es muß nach deiner Bearbeitung nur halbswegs verständlich sein - den Rest erledige ich dann schon... Alfred Grudszus 12:57, 21. Okt 2005 (CEST)

Bisher habe ich ja nur hinterhergeräumt... Und nein, ich verstehe immer noch nicht, was Du mit den "nicht-ganzzahligen Werten" sagen willst: $\sin {\frac {\pi }{6}}={\frac {1}{2}}$ ist nicht ganzzahlig, aber auch nicht irrational.--Gunther 13:06, 21. Okt 2005 (CEST)

Entschuldige bitte, aber ich war davon ausgegangen, daß dir der Unterschied von Definitionsbereich und Wertemenge einer Funktion bekannt ist... mit nicht-ganzzahligen Werten meinte ich z.B. den Wert "1/2 mal Wurzel drei" für den sin von 60°" im Gegensatz zu "1" als sin von 90°. Aber wie gesagt: der Laie versteht mich... Alfred Grudszus 13:56, 21. Okt 2005 (CEST)

Lies bitte genauer. Ebenso wie "1/2 mal Wurzel drei" ist eben auch "1/2" ein nicht-ganzzahliger Wert der Sinusfunktion, und er ist nicht irrational.--Gunther 14:00, 21. Okt 2005 (CEST)

Bitte dringend: Admin einschreiten!!!

Allmählich wird das Verhalten von diesem Benutzer:Gunther wirklich lästig. Wenn in der von ihm wiederhergestellten Version des Artikels steht:

„Die Menge der irrationalen Zahlen lässt sich zerlegen in die Menge der reell-algebraischen Zahlen [...] und“

dann ist diese Aussage in der Tat nicht nur vom gesunden Menschenverstand, sondern auch vom Standpunkt der Mengenlehre identisch mit meiner Formulierung:

„Die Menge der irrationalen Zahlen besitzt wiederum eine Untermenge, die Menge der reell-algebraischen Zahlen...“

soviel verstehe nämlich selbst ich „dummer Nicht-Mathematiker“ von Mathematik. Ob nun die oben zuerst zitierte Aussage richtig ist, das allerdings kann ich nicht beurteilen, da müssen dann die Mathematiker ran.

Insgesamt geht mein Bemühen eigentlich nur dahin – und ich denke, die meisten werden das längst erkannt haben – den Artikel in eine für Nicht-Mathematiker verständliche Form zu bringen. Wenn das bedeutet, daß Mathematiker ihn dann nicht mehr verstehen, muß das hingenommen werden – für die gibt es schließlich Fachliteratur (die sie dann ja wohl wieder verstehen...).

Ich werde den Artikel jetzt 1 Stunde lang nicht mehr bearbeiten. Ist bis dahin keine Einigung erzielt worden, bringe ich ihn wieder in die Form, die ich für richtig halte.

Alfred Grudszus 13:30, 21. Okt 2005 (CEST)

Das ist in etwa so wie: Die Menge der Zahlen von 1 bis 10 lässt sich unterteilen in gerade und ungerade Zahlen. Deshalb ist noch lange nicht jede gerade oder ungerade Zahl eine Zahl von 1 bis 10. Da ich das aber auch nicht glücklich finde, habe ich das schon vor Deinem vorstehenden Beitrag etwas klarer formuliert.--Gunther 13:37, 21. Okt 2005 (CEST)

Ich wollte es ja eigentlich nicht "ans Licht der Öffentlichkeit zerren", aber wenn du dich gerne von einem Nicht-Mathematiker vorführen läßt, bitteschön:

Deine obige Formulierung unterscheidet sich in einem ganz wesentlichen Punkt von der ursprünglichen Artikelformulierung, kurz: in dein Beispiel übertragen müsste es dann heißen:

Die Menge der Zahlen von 1 bis 10 lässt sich unterteilen in die Menge der geraden und ...

und das wäre genauso falsch gewesen, wie deine ursprüngliche Artikel-Formulierung. Übrigens: das war mir vollkommen klar, ich wollte mir aber mal anschauen, wie du damit umgehst. Und deine Reaktion war wie die von 90% aller deutschen Arbeitnehmer: vertuschen! Ich hätte das ja sogar mitgemacht – aber du hast es ja nicht anders gewollt... Alfred Grudszus 13:45, 21. Okt 2005 (CEST)

Wie gesagt, ich fand die Formulierung auch nicht glücklich, aber durch den nachgeschobenen Satz: "Dabei ist jede rationale Zahl auch algebraisch", konnte man wenigstens raten, was gemeint ist. Deine Formulierung war eindeutig, aber falsch.--Gunther 13:51, 21. Okt 2005 (CEST)

Entschuldige bitte, das hat man mir nicht mitgeteilt, daß die Wikipedia jetzt zur Rateecke umfunktioniert wurde. Werde mich drauf einstellen... Alfred Grudszus 13:59, 21. Okt 2005 (CEST)

Ich habe lediglich Deinen Edit zurückgesetzt, der aus einer meinetwegen unklaren oder widersprüchlichen Formulierung eine klar falsche gemacht hat.--Gunther 14:05, 21. Okt 2005 (CEST)

Allmählich bist du dabei, dich zu verrennen: Nach dem derzeitigen Kenntnisstand und vorausgesetzt, daß die von dir jetzt eingestellte Formulierung richtig ist, handelte es sich um eine "klar falsche" Formulierung, die ich durch eine logisch äquivalente (lassen wir jetzt einfach mal das "Nicht-Mathematiker"-Understatement weg, das glaubt mir ja sowie - außer dir vielleicht - kein Mensch) ersetzt habe. Alfred Grudszus 14:29, 21. Okt 2005 (CEST)

Aus dem Nachsatz "jede rationale Zahl [ist] auch algebraisch" ergibt sich, dass die Interpretation, dass die Menge der algebraischen Zahlen eine Teilmenge der irrationalen Zahlen ist, nicht die richtige sein kann. Es muss also wie im obigen Beispiel (der Zahlen von 1 bis 10) gemeint sein: "Die Menge der irrationalen Zahlen lässt sich zerlegen in die Menge der reell-algebraischen irrationalen Zahlen [...] und die Menge der transzendenten irrationalen reellen Zahlen."

Und ja, ich finde das auch nicht glücklich, aber als "klar falsch" würde ich es nicht ansehen.--Gunther 14:48, 21. Okt 2005 (CEST)

Es hat schon etwas Absurdes, dass ich hier eine Formulierung verteidige, die ich schon vor drei Monaten kritisiert habe :-) --Gunther 14:55, 21. Okt 2005 (CEST)

Lieber Alfred, Gunther ist ein Administrator dieses Projektes. Die Formulierung "ganzzahlige Werte" verstehe ich, sogar als Mathematiker, so, dass da eine Funktion ganzzahlige Werte hat. Du meintest sicher etwas anderes. Die Einleitung ist sicher noch verbesserungswürdig, insbesondere den Verweis auf die Zahlengerade empfinde ich als Zirkelschluss, aber es gibt einen Unterschied zwischen "zerfällt in Teilmengen A und B" und "enthält die Teilmengen A und B". Über Stilfragen läßt sich ja streiten, aber zur Zeit befindest Du Dich in einer Minderheitsposition. Grüße--LutzL 14:33, 21. Okt 2005 (CEST)

Streichung letzter Absatz von 'Einteilung...

Dieser Abschnitt ist jedenfalls falsch. M.E. müsste es heißen:

„Ihr Komplement in R ist die Menge der transzendenten Zahlen...“

Da ich aber nicht berufsmäßig Mathematik betreibe, möchte ich es nicht ändern.

Wer den Absatz geändert neu reinbringen möchte, sollte bedenken, daß der Inhalt für Nicht-Mathematiker bzw. solche, die nicht berufsmäßig die Mathematik betreiben, ziemlich uninteressant sein dürfte.

Unbedingt müsste der Sachverhalt kurz erklärt werden, der Link reicht da nicht.
Gruß Alfred Grudszus 20:24, 21. Okt 2005 (CEST)

Komplement (Mengenlehre) ist verlinkt, und dort ist nachzulesen: Wenn die Obermenge U fest steht, wird das "Komplement von A in U" auch kurz als das "Komplement von A" bezeichnet. Mir fällt keine andere plausible Obermenge ein. Algebraische und transzendente Zahlen sind so speziell, dass sie für jemand, der mit dem Begriff "Komplement" nicht vertraut ist, ohnehin uninteressant, wenn nicht unverständlich sind.--Gunther 20:28, 21. Okt 2005 (CEST)

Obiges gilt lediglich dann, wenn die Obermenge zweifelsfrei feststeht. So ist es falsch und ist deshalb zu löschen. Schreib es richtig wieder rein und der Fall ist erledigt! Alfred Grudszus 20:43, 21. Okt 2005 (CEST)

Konzentrier dich mal lieber auf eine verständliche Formulierung von "Mächtigkeit", statt mir – wie schriebst du so schön? – "hinterherräumen" zu wollen! Alfred Grudszus 20:31, 21. Okt 2005 (CEST)

Wie ich schon schrieb: Welche andere Obermenge kommt in Frage?--Gunther 20:48, 21. Okt 2005 (CEST)

Zum allerletzten Mal...

... du entscheidest hier nicht, was sinnvoll ist und was nicht! Im Baustein-Text steht ausdrücklich "Artikel oder Abschnitt", insofern scheint schonmal mindestens der, der diesen Text verfasst hat, mit mir einer Meinung zu sein. Abgesehen davon ist klar wie Kloßbrühe, daß es ein wesentlich hilfreicherer Hinweis ist, wenn der Baustein da steht, wo es unverständlich ist.
Was den Sinus betrifft: Speer die Augen auf!! das sind Beispiele, keine Definition!
Es reicht!! Alfred Grudszus 20:55, 21. Okt 2005 (CEST)

Die Erwähnung von Sinus und Tangens suggeriert fälschlicherweise, dass sie für das "Beispiel" irgendwie relevant wären. Nicht besonders geschickt ist auch der Aufbau: "Hier hast Du ein paar Zahlen, aber die irrationalen musst Du Dir schon selbst raussuchen."--Gunther 21:02, 21. Okt 2005 (CEST)

Was genau in den Bausteinen steht, ändert sich ständig. Sie sprechen aber von einer "konkreten Begründung auf der Diskussionsseite", von der ich bislang nichts entdecken kann.--Gunther 21:16, 21. Okt 2005 (CEST)

Abschnitt Konstruktion von R aus Q raus

Im folgenden Abschnitt "Axiomatische Einführung..." stand:

„Die Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen ist etwas mühselig.

Das geht auch gar nicht so ohne weiteres. Hält man sich an "klassische" Konstruktionen via kartesisches Produkt etc. ist das sogar unmöglich

--Fibo1953 22:28, 21. Okt 2005 (CEST)

Eine weitere Möglichkeit, die reellen Zahlen zu erfassen, ist sie axiomatisch einzuführen.“ Also reicht der Abschnitt. Und da der "Konstruktion..."-Abschnitt unverständlich ist, ist er insoweit entbehrlich. Alfred Grudszus 21:43, 21. Okt 2005 (CEST)

1. Du hast nicht konkret begründet, was an dem Konstruktionsabschnitt unverständlich ist. 2. Der Abschnitt ist nicht überflüssig, weil sich aus dem axiomatischen Zugang die Existenz nicht ergibt, d.h. es wäre möglich, dass es gar keine Zahlenmenge mit diesen Eigenschaften gibt.--Gunther 21:46, 21. Okt 2005 (CEST)

Das ist eben der Unterschied zwischen Mathematikern und "Nicht-Mathematikern". Jeder, der intensiver mit der Mathematik als Hilfswissenschaft arbeitet, weiß, daß er sich mit dem Unterschied von reellen und rationalen Zahlen irgendwann mal auseinandersetzen muß. Der Mathematiker fragt erstmal, ob es sie theoretisch überhaupt "geben darf". Alfred Grudszus 21:49, 21. Okt 2005 (CEST)

Und noch mal: Überarbeite den Abschnitt "Mächtigkeiten" - sonst fliegt der auch raus. Alfred Grudszus 21:51, 21. Okt 2005 (CEST)

Moment mal. Was hier rausfliegt, entscheidest bestimmt nicht Du alleine. Der Artikel heißt nun einmal nicht "reelle Zahlen, für Nichtmathematiker erklärt". Von daher muss aufgepasst werden, dass das Thema nicht trivialisiert wird. Sowohl den entfernten Absatz als auch den über Mächtigkeiten halte ich für wichtig und verständlich - sofern man etwas mit den dort verlinkten Begriffen anfangen kann. Soweit ich das sehe, bist Du hier ziemlich alleine mit Deiner Meinung. Jedenfalls bin ich (kein Mathematiker) der Meinung, dass der Artikel in der Version vom 14.10. um Längen besser war als er jetzt ist. --Tinz 21:58, 21. Okt 2005 (CEST)

Werter Kollege Tinz,

1. Davon, daß einer alleine entscheidet, ist hier nirgendwo die Rede, also gib' dir bitte nicht selbst eine Vorlage, um sie anschließend zu desavouieren!
2. Alle Artikel in der Wikipedia heißen im Zweifel "XYZ - Für Nicht-Fachleute erklärt"! Normalerweise geht man dann auch davon aus daß sie dann auch für die Fachleute verständlich sind. Bei Mathematikern (vielleicht auch nur bei einem bestimmten Teil der Mathematiker) ist das möglicherweise nicht so. Stehen beide Ziele in Konkurrenz, müssen die Fachleute zurückstehen.
3. Du schreibst: "... den [Absatz] über Mächtigkeiten halte ich für wichtig und verständlich - sofern man etwas mit den dort verlinkten Begriffen anfangen kann." Und genau da liegt ja das Problem. In irgendeiner Wikipedia-Anleitung (habe sie jetzt nicht zur Hand, aber die Empfehlung erklärt sich aus sich selbst) steht, daß man nicht nur verlinken, sondern den Verlinkten Begriff auch im Ausgangsartikel kurz erklären sollte. Das kostet natürlich Arbeit, die einige scheuen (oder dazu einfach nicht in der Lage sind, wenn ich mir die Formulierungskünste von Freund Gunther bspw. anschaue...).
4. Ich habe das einfach mal am Beispiel des ersten Absatzes des Abschnitts "Mächtigkeit" gemacht, kannst ja mal drauf schauen.
5. Ich werde das aber jetzt nicht mit dem ganzen Artikel tun. Es kostet mich nämlich mindestens die dreifache Zeit wie unseren Mathematikern, weil ich alles nochmal nachlesen muß. Das ist nämlich eine Weile her, daß ich es gelernt habe (aber ich habe es gelernt, das nur zu deinem "Trivialitäts-Verdacht").
6. Alles weitere läuft analog zur Diskussion zur Löschung von Artikeln: Wenn ein Artikel zu schlecht ist (und das ist er u.a. dann, wenn er total unverständlich ist), dann ist abzuwägen, was besser ist, kein Artikel oder ein schlechter. Und genau wie da die Wahl in besonders krassen Fällen auf "besser kein Artikel" fällt, ist das auch bei Abschnitten der Fall.

Gruß Alfred Grudszus 22:59, 21. Okt 2005 (CEST)

Die Fachartikel sollen allgemeinverständlich anfangen, und nach unten hin fortgeschrittenere Aspekte beleuchten. In diesem Sinne ist die Konstruktion von R aus Q sicherlich nicht zu unverständlich. Außerdem ist das doch sogar Schulstoff. Weiter unter könnte man sogar noch fachspezifischer werden und dem Löwenheim-Skolem-Theorem einen incoming link schenken, wie es unsere KOllegen in en:Real number gemacht haben. --Pjacobi 23:04, 21. Okt 2005 (CEST)

Hallo Pjacobi,
das ist alles zunächst mal Konsens, aber:

• Es ist nicht eindimensional aufzufassen, d.h. auch die einzelnen Abschnitte sollen, wenn sie sich auf ein Unterthema beziehen, das auch eigenständig von Bedeutung ist (wie Mächtigkeit) einige einleitende, allgemeinverständliche Sätze enthalten. Dann können sie - das ist vollkommen unbestritten - wieder "fachlicher" werden.
• Wenn wir hier drei Alternativen angeboten werden, sollte die am meisten allgemeinverständliche oben stehen. Das ist hier natürlich schwer zu entscheiden.
• Die Kunst des Artikelschreibens besteht eben nicht darin, Fachleute, "fachkundige Laien" wie mich und "Otto-Normal-Verbraucher" gleich zu bedienen. Im Zweifelsfall aber - das habe ich bereits obenausgeführt - haben die Fachleute zurückzustehen.

Alles in allem bin ich gespannt, wie du jetzt auf den Vandalismus von Gunther reagieren wirst.
Gruß Alfred Grudszus 23:14, 21. Okt 2005 (CEST)

@AG: Dein Punkt 4 ist schiefgegangen: "wenn es in ihr Elemente gibt, die nicht der anderen Menge zugeordnet werden können" ist in dieser Form nicht verständlich, und der Zusatz "die Zuordnung der Elemente der beiden Mengen ist nicht bijektiv" verwirrt eher noch mehr, weil er den Eindruck erweckt, es werde nur eine Zuordnung in Betracht gezogen. "Im Falle der reellen Zahlen sind dies genau die Elemente, die als irrationale Zahlen bezeichnet werden." ist komplett falsch. Wie gesagt: schreib' nichts, von dessen Richtigkeit Du nicht überzeugt bist.--Gunther 23:06, 21. Okt 2005 (CEST)

@alle: Ich kann gut verstehen, daß G. sich an dem Prinzip "die heeren Gesetze der Mathematik kann man nicht in zwei Sätze fassen" festhalten muß, aber hier hat er schon zu beweisen, was er behauptet und sich nicht hinter "komplett falsch" verstecken. Ich meine meine Behauptung, daß die Elemente der Menge der reellen Zahlen, die keinem Element der rationalen Zahlen zugeordnet werden können, genau die irrationalen Zahlen sind. Ich sage: das ist komplett richtig und macht es damit für den Laien anschaulich. => Löschung = Vandalismus! Was den Satz mit der Bijektivität angeht, da hat er recht, den lösch ich. Alfred Grudszus 23:20, 21. Okt 2005 (CEST)

Die Aussage ist komplett sinnlos. Es geht bei Überabzählbarkeit nicht um eine einzelne Abbildung, sondern darum, dass bei jeder Abbildung irgendwelche Zahlen "übrigbleiben", aber nicht immer dieselben. Es gibt auch keine Zahlen, die bei jeder Abbildung übrigbleiben, weil man zu jeder Zahl x die konstante Abbildung $\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\mapsto x$ wählen kann.--Gunther 23:27, 21. Okt 2005 (CEST)

Sperrung des Artikels

Hallo Leute, ich habe soeben den Artikel in der letzten Version gesperrt. Der Grund dürfte klar sein. Biotte einigt euch hier sachlich und in Ruhe auf Formulierungen und den Umfang, der dem Laien und dem Mathematiker gerecht wird. Gruß --Finanzer 23:32, 21. Okt 2005 (CEST)

Du solltest noch eine Version zurücksetzen, die Richtigkeit meiner Version wird ja von AG nicht bezweifelt, er findet sie nur unverständlich.--Gunther 23:34, 21. Okt 2005 (CEST)

Das ist keine gute LÖsung. Über wahre, falsche (und gelegentlich unentscheidbare) Aussagen in der Mathematik ist schwer zu diskutieren und und eine Kompromiss zu finden. In der von Dir gesperrten Version steht jetzt u.a.:

Dieser Begrifflichkeit zufolge ist eine Menge dann mächtiger als eine andere Menge, wenn es in ihr Elemente gibt, die nicht der anderen Menge zugeordnet werden können. Sie hat dann in diesem Sinne mehr Elemente. Im Falle der reellen Zahlen sind dies genau die Elemente, die als irrationale Zahlen bezeichnet werden.

Das ist eine falsche Aussage.

Pjacobi 23:36, 21. Okt 2005 (CEST)

Nochmal die Frage: Was ist daran falsch? (Und wenn es falsch ist, sind auch die Aussagen im Artikel Mächtigkeit zu diesen Punkten falsch!) Alfred Grudszus 23:42, 21. Okt 2005 (CEST)

Siehe mein Beitrag von 23:27.--Gunther 23:46, 21. Okt 2005 (CEST)

man kann z.B. den natuerlichen zahlen die zahlen ${\sqrt {(}}2)\cdot n$ zuordnen oder den rationalen zahlen p/q jeweils ihr Pi-faches. Insofern ist die Aussage, die irrationalen Zahlen seien genau die, die bei einer Zuordnung uebrig blieben, voelliger unsinn. e

hier muss ich wahrlich gunther und pjacobi recht geben. die saetze von AG zur maechtigkeit sind einfach unhaltbar, sachlich einfach falsch. man kann ja gern versuchen, zur maechtigkeit etwas zu sagen, aber es sollte nicht falsch sein. e

Ich habe einfach die letzte genommen. Ihr wisst es ist immer die falsche Version. Bei genauerem Lesen, muss ich allderdings Pjacobi recht geben die Hinzufügung ist sachlich falsch, da hier offensichtlich die Begriffe der Abzählbarkeit mit Mächtigkeit in einen Topf geworfen wurden, was wenn mcih mein Gedächtnis nicht täuscht nur am Rande miteinander zu tun hat. Ich werde deshalb auf die vorhergehende Version zurücksetzen. Gruß --Finanzer 23:41, 21. Okt 2005 (CEST)

Wenn dich dein Gedächtnis nicht täuscht und Mächtigkeit und Abzählbarkeit "nur am Rande miteinander zu tun haben",warum war und ist es in der Version von Gunther auch unmittelbar in Zusammenhang gebracht worden? Alfred Grudszus 00:06, 22. Okt 2005 (CEST)

Zitat aus Mächtigkeit: "Man nennt eine Menge, die gleichmächtig zur unendlichen Menge $\mathbb {N}$ der natürlichen Zahlen ist, eine abzählbare Menge." Für den Unterschied abzählbar/überabzählbar ist allerdings der Apparat der Mächtigkeit mit Kardinalzahlen usw. entbehrlich (z.B. wird man weitgehend ohne das Auswahlaxiom auskommen), insofern ist der Bezug nicht so stark. Für die Kontinuumshypothese kommt man um den Begriff der Mächtigkeit wohl nicht herum, weil es um eine Differenzierung im Bereich der überabzählbaren Mengen geht.--Gunther 00:24, 22. Okt 2005 (CEST)

Dann erarbeite doch bitte eine entsprechende Formulierung - indem Falle müsste das eine längere sein, die zumindest deutlich macht, wo es dann im ursprünglichen Text weitergeht und setze sie als eigenen Abschnitt hier herein! Alfred Grudszus 00:29, 22. Okt 2005 (CEST)

finanzers gedaechtnis taeuscht ihn. trotzdem sind deine (alfred) bemerkungen dazu, dass die irrationalen zahlen die seien, die bei einer zuordnung uebrigblieben, nicht haltbar (s.o.). versuchs doch nochmal mit ner anderen formulierung, am besten nachdem du nun erstmal ne nacht drueber geschlafen hast, und setz sie erstmal hier in die diskussion. e

Ich werde jetzt tatsächlich erstmal "drüber schlafen", allerdings nicht, ohne Euch ein Fazit auf den Weg zu geben:

Es zeigt sich jetzt nach und nach, welch ein Schrott hier in dem Artikel gestanden hat. Mit anderen Worten: Der war nicht nur unverständlich, sondern auch noch - aus Mathematikersicht - höchst unvollständig und teilweise richtig falsch. Und das ist natürlich ein Todesurteil: Man mag sich ja streiten, ob Allgemeinverständlichkeit oder absolute Korrektheit wichtiger ist - aber wenn beides nicht gegeben ist..., na, dann gute Nacht! Alfred Grudszus 00:36, 22. Okt 2005 (CEST)

auf besonderen wunsch bin ich (e) nun in wikipedia angemeldet als Eckh. wieso der artikel aus mathematikersicht hoechst unvollstaendig und teilweise falsch gewesen sein soll, ist fuer mich jetzt uebrigens nicht nachvollziehbar. -- Eckh 00:51, 22. Okt 2005 (CEST)

Wenn Du es wirklich wissen willst: Beiträge 13:30 und folgende.--Gunther 00:54, 22. Okt 2005 (CEST)

Stich ins Wespennest

Je mehr ich mich mit den mathematischen Artikeln beschäftige, stelle ich fest, daß die meisten dieser Artikel grottenschlecht sind. Ich denke mal ich werde mich da nicht reinziehen lassen.

Bei einem Teil der Autoren liegt es wohl daran, daß sie nicht nur inkompetent, sondern auch noch faul sind. Die Benutzung dieses Wortes erfordert eine Erklärung – ist es doch so, daß sie durchaus viel schreiben. Die Faulheit liegt darin, daß sie sich keine Mühe machen, ihr Fach dem Laien, ja, noch nicht einmal dem „fachkundigen Laien“ nahezubringen und sich teilweise damit begnügen, gestanzte Formulierungen aus Mathematikbüchern statt Erklärungen in ihren Texten zu verarbeiten, ersteres dann auch noch lückhaft.

Hier müßten Profis ans Werk. Doch das widerspricht dem Prinzip der Wikipedia.

Kritisiert man dieses Prinzip, werden einem allenfalls Beispiele wie das Nupedia-Projekt vorgehalten, das den Weg des anderen Extrems ging und in seiner selbst geschaffenen Kontroll-Bürokratie erstickte.

Ansätze wie z.B. die „stabilen Versionen“ haben auch keinen nachhaltigen Erfolg – verweist man darauf, muß man mit einem schnoddrigen „Na und?“ der Basisdemokratieverliebten rechnen.

Dabei übersehen die, die hinter Wikipedia stehen (in beiderlei Wortsinn!), daß mit der Wikipedia ja durchaus bereits etwas ganz klar definierbares geschaffen wurde: Eine Quelle für Jedermann, sich mit einem hohen Maße an Zuverlässigkeit zu informieren – andererseits: keine wissenschaftiche Sekundärquelle.

Statt aber nun die folgerichtige Konsequenz zu ziehen und das ganze in erster Linie als ein Produkt der journalistischen Sphäre im weitesten Sinne zu begreifen, wird in bonierter Prinzipienreiterei an dem Gedanken festgehalten, wesentliche Teile des Enzyklopädie-Charakters aufrechtzuerhalten. Und das führt dann zu solch abstrusen Ambitionen, bspw. mathematische Definitionen auf fachlich unantastbarem Niveau darstellen zu wollen, für deren Entwicklung andere Jahrhunderte gebraucht haben.

Die Gretchenfrage wird sein: Sind die Autoren bereit, folgendes Prinzip zu befolgen:

Die Artikel sollen fachlich korrekt sein und die Kerngedanken der Theorie gebündelt, aber fachlich zutreffend darstellen.

Die Artikel sollen dem Laien aufzeigen, welche zentralen Überlegungen zur Entwicklung der Theorie führten – dabei soll die Praxisrelevanz möglichst mit dem gleichen Gewicht dargestellt werden wie die Bedeutung für ein widerspruchsfreies System der Theorie.

Die Artikel sollen die Kerngedanken – wenn möglich – anschaulich darstellen. Wichtigste Ziel–Lesergruppe sind die Nicht-Fachleute.

Fazit: Im Konfliktfall geht Allgemeinverständlichkeit vor unbedingter fachlicher Korrektheit und Vollständigkeit!

Ich werde nicht bereit sein, an Artikeln aus dem Bereich Mathematik mit Autoren zusammenzuarbeiten, die diese Prinzipien nicht bejahen.

Gruß Alfred Grudszus 12:58, 22. Okt 2005 (CEST)

Wie schon gesagt: Allgemeines Gejammer und Mit-Dreck-um-sich-Werfen hilft niemandem. Mach' die Kritik konkret, und man kann vielleicht etwas ändern.--Gunther 12:31, 22. Okt 2005 (CEST)

Wie kann es sein, daß jemand um 12:31 einen Beitrag beantwortet, der erst um 12:58 geschrieben wurde? Alfred Grudszus 13:04, 22. Okt 2005 (CEST)

Das rührt daher, dass Du Deinen Beitrag nachträglich geändert hast. Gunther hat auf Deinen ursprünglichen Beitrag [2] von 12:22 geantwortet [3].

Danach hattest Du zwischenzeitlich Gunthers Beitrag gelöscht, weswegen ich schon revertiert hatte.

Pjacobi 13:10, 22. Okt 2005 (CEST)

Danke.--Gunther 13:18, 22. Okt 2005 (CEST)

Das hast du (pjacobi) toll gemacht – dadurch haben wir jetzt schonmal wieder zwei Versionen mehr in der history. Was du tw. nicht wissen konntest, tw. durch deine Gunther-Brille nicht wissen willst, ist folgendes:

• Ich mußte während der Bearbeitung meines Beitrages den Browser wechseln und deshalb einmal speichern. Ich habe den Beitrag dann als unfertig gekennzeichnet – Freund Gunther aber meinte, sofort aus der Hüfte schießen zu müssen.
• Als ich den Beitrag weiterbearbeitet habe, gab es dann einen Bearbeitungskonflikt mit Gunther, den er wegen der Kürze seines Beitrages „gewonnen“ hat.
• Beim Wiedereinfügen meines Beitrages habe ich dann versehentlich Gunthers Beitrag überschrieben. Insgesamt war der ca. 30 sec. gelöscht.

Die Frage ist jetzt nur: Warum war es dir so wichtig, hier schleunigst einzugreifen? Mh?? Alfred Grudszus 13:21, 22. Okt 2005 (CEST)

Dem Fazit kann ich definitiv nicht zustimmen. Was nützt Allgemeinverständlichkeit, wenn der Laie dann eine anschauliche Vorstellung hat, diese aber falsch ist?

Meiner Meinung nach siehst Du die "Ziel-Lesergruppe" zu eng. Meine Idealvorstellung ist, dass ein Artikel jedem Leser etwas bieten sollte.

Beispiel: Man kann nicht erwarten, dass ein absoluter Laie den Abschnitt zu Mächtigkeiten wirklich versteht, aber das muss er auch nicht, für den "normalen" Umgang mit reellen Zahlen ist das belanglos. (Dass der Abschnitt an so prominenter Stelle steht, ist natürlich falsch und liegt daran, dass er aus dem vorhergehenden ausgegliedert wurde.) Andererseits gehört die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen zu den Themen, für die sich Laienmathematiker interessieren, auch die Kontinuumshypothese hat eine gewisse Berühmtheit erlangt. Ohne diese Punkte wäre der Artikel unvollständig.--Gunther 13:14, 22. Okt 2005 (CEST)

@Alfred: Es ist sehr willkommen, wenn du uns sagst wo der Artikel nicht allgemeinverständlich ist. Wir werden dann versuchen es zu verbessern. Das du dich als Laie aber anmaßt das letzte Wort über den Artikel haben zu wollen finde ich sehr schlecht. Gruß Stefanwege 14:56, 15. Sep 2006 (CEST) PS: Fazit: Im Konfliktfall geht fachlicher Korrektheit vor Allgemeinverständlichkeit! Stefanwege 14:56, 15. Sep 2006 (CEST)

Mächtigkeiten

Ich habe mal ein Stück, zur Kritik; aus dem Artikel hier hin kopiert:

Der Begriff der Mächtigkeit erlaubt einen Größenvergleich unendlicher Mengen.

Wenn schon muss es heissen: "für alle Mengen" das gilt ja nicht nur im Unendlichen.

Während die Mengen der natürlichen, ganzen oder rationalen Zahlen abzählbar sind, also im wesentlichen gleich groß, ist die Menge der reellen Zahlen überabzählbar, wie Cantor bewies; zum Beweis siehe Cantors zweites Diagonalargument. Kurz gesagt bedeutet die Überabzählbarkeit, dass jede Liste $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ reeller Zahlen unvollständig ist.

Die Liste ist nicht unvollständig. Das gilt nur wenn man mit Hilfe der Menge $\mathbb {N}$ eine solche Liste bilden will. Man muss schon präzise formulieren.

--Fibo1953 13:53, 23. Okt 2005 (CEST)

natürlich kann man auch die Größe endlicher Mengen über die Mächtigkeit vergleichen, aber ein solcher Vergleich ist eine Trivialität (zähl die Elemente durch, und du weisst, welche Menge mehr Elemente hat). Daher ist das Besondere schon, dass man mit dem Begriff der Mächtigkeit unendliche Mengen vergleichen kann, insofern finde ich den Ausdruck völlig korrekt. (Die Behauptung, dass man mit Mächtigkeiten unendliche Mengen vergleichen kann, schließt nicht aus, dass man auch anderes damit vergleichen kann.) Vorschlag zur Verschönerung: "erlaubt einen Größenvergleich AUCH für unendliche Mengen".

"jede Liste $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$": So wie das geschrieben ist, wurden die Elemente von IN für jedermann offensichtlich als Indexmenge benutzt. Und wenn man das tut, ist jede solche Liste unvollständig. Ich weiss nicht, was daran zu kritisieren ist, mache aber auch hier einen Verschönerungsvorschlag: "dass keine (mit natürlichen Zahlen indizierte) Liste $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ reeller Zahlen alle reellen Zahlen enthalten kann"

Wie gesagt, beide Verschönerungsvorschläge halte ich nur für Verschönerungsvorschläge und nicht für sachlich erforderlich. -- Eckh 15:02, 23. Okt 2005 (CEST)

Mein zweiter Kritikpunkt ist mehr als ein Schönheitsfehler. Es stimmt eben nicht das jede Liste unvollständig ist. Das würde bedeuten das $\mathbb {R}$ keine Kardinalzahl besitzt. Es muss schon heissen: Listen der Mächtigkeit $\mathbb {N}$ können nicht vollständig sein.

--Fibo1953 15:11, 23. Okt 2005 (CEST)

Der Satz kann gar nicht mathematisch präzise sein, denn "Liste" ist kein mathematischer Fachbegriff; wie das "kurz gesagt" andeuten soll, will der Satz auch gar nicht präzise sein. Er soll dem Laien eine überschaubare Kurzfassung geben. Bläht man sie mit Details wie "mit natürlichen Zahlen indiziert" oder Fachbegriffen wie "Folge" auf, verfehlt er seinen Zweck. Für den Laien ist das aber auch nicht nötig, er kennt keine unendlichen Ordinalzahlen. (Und ehrlich gesagt erwarte ich von jemandem, der unendliche Ordinalzahlen kennt, dass er weiß, was genau gemeint ist.)--Gunther 16:02, 23. Okt 2005 (CEST)

Vorschlag

Ich bin hier mehr oder weniger per Zufall hin geraten und habe den Eindruck, dass die Diskussion inzwischen mehr einen furchtbaren als einen fruchtbaren Verlauf nimmt.

Tatsache ist, dass das Thema "Reelle Zahlen" sehr fundamental für die Mathematik und damit einerseits wichtig aber eben andererseits auch schwierig ist.

Sogar größere Geister der Mathematik haben sich darüber gestritten, erstens auf welchem Wege überhaupt und wie die Menge der reellen Zahlen einzuführen und zweitens wie diese Einführung darzustellen sei. Ich zitiere beispielsweise Friedhelm Erwe aus seiner "Differential- und Integralrechnung":

"Es gibt zwei grundsätzlich verschiedene Möglichkeiten einer exakten Grundlegung der reellen Zahlen: der konstruktive Aufbau und die axiomatische Einführung. Beim konstruktiven Vorgehen werden, ausgehend von den natürlichen Zahlen, der Reihe nach die ganzen, die rationalen und schließlich die reellen Zahlen definiert und jeweils die Rechenoperationen mit ihren Regeln ... besprochen. Dies konstruktive Vorgehen hat zweifellos viel für sich ... Der Nachteil ist aber der große Umfang, den ein derartiges Unternehmen, wenn es lückenlos sein soll, erfordert, ganz zu schweigen von der Langatmigkeit (um nicht zu sagen: Langweiligkeit) solcher Ausführungen. Das ist ein Grund für uns, in diesem Buch den axiomatischen Aufbau vorzuziehen ..."

Kurz gesagt: verschiedene Zugänge sind möglich. Ich selber habe versucht, sozusagen "auf Landaus Spuren" die Cantorkonstruktion der Menge der reellen Zahlen Schritt für Schritt darzustellen: Zahlenmengen (trotz der grundsätzlichen Kritik von Erwe an solch einem Vorhaben; es hat viele Mathematiker gegeben, die eine derartige Einführung von R alles andere als langweilig empfanden).

Mein Vorschlag: Auf Grundlage der englischsprachigen Version des Themas werde ich versuchen, einen völlig neuen Wikipediatext zu verfassen (nach einem Motto, das oben irgendwo genannt wurde: "erst einfach, dann vielleicht etwas ins Detail gehend". Wie sagte Einstein: Man soll versuchen, alles so einfach wie möglich darzustellen, aber nicht einfacher.

Falls jemand bereits an so einer Arbeit sitzen sollte, dann ziehe ich mich sofort zurück, denn ich hab auch andere interessante Dinge zu tun. Falls nicht, dann sollte man nicht erwarten, dass ich mit dem Text gleich übermorgen fertig bin. Das braucht eine gewisse Zeit. Wenn dann der aktuelle Text samt Diskussion solange noch stehen bleiben sollte, ist das kein Unglück, denn der geneigte Leser merkt zumindest, dass das Thema nicht leicht zu haben ist.

Einverstanden? Henked

Der axiomatische Zugang birgt zwei theoretische Probleme: Existenz und Eindeutigkeit. Ohne Konstruktion, also ohne Existenzbeweis ist die Theorie möglicherweise leer. Ohne Eindeutigkeit gibt es möglicherweise beweisbare Aussagen, die nicht aus den Axiomen folgen. Das sollte man auf jeden Fall deutlich machen.

Das ganz praktische Problem ist, dass der Laie mit den Axiomen nichts anfangen kann; er kann eine Gleichung $x+2=5$ nur als $x=5-2=3$ auflösen, es kann niemand von ihm verlangen, dass er erkennt, dass er da "in Wirklichkeit" die Nebenrechnung $(x+2)+(-2)=x+(2+(-2))=x+0=x$ gemacht und dabei alle möglichen Axiome angewandt hat.

Ein wirklich laienkompatibler Zugang dürften Dezimalzahlen sein, so hässlich sie auch sein mögen. Allerdings sind die Rechenoperationen nicht gerade trivial (der karge Satz im en-Artikel lässt mich vermuten, dass sich der Autor nie überlegt hat, wie die Multiplikation funktioniert), und $0{,}{\bar {9}}=1$ bereitet Schwierigkeiten, wie jeder weiß, der schon einmal einen Blick in sci.math oder de.sci.mathematik geworfen hat.

Den en-Artikel zu übersetzen erscheint mir keine Patentlösung. Der deutsche Artikel leidet mMn vor allem daran, dass es keinen Abschnitt zu Eigenschaften und Bedeutung der reellen Zahlen gibt, da könnte man viel aus en: übernehmen. Weitere Anregungen dazu: Cauchy-Vollständigkeit ist kompliziert zu verstehen, als Annäherung könnte man ja auch das Supremumsprinzip und die verwandte Aussage "monotone beschränkte Folgen sind konvergent" erklären. Der Zwischenwertsatz erscheint mir auch noch ganz hilfreich (wenn sich zwei Funktionsgraphen "eigentlich schneiden müssten", dann tun sie es auch).--Gunther 00:28, 24. Okt 2005 (CEST)

Ich bin verblüfft. Ich hab noch keine einzige Zeile geschrieben und dennoch sehe ich mich kritischen Bemerkungen und einer Vielzahl sicherlich gut gemeinter Ratschläge gegenüber. Mittlerweile habe ich den Eindruck, dass der Große unbekannte Theoretiker selbst den Artikel neu verfassen sollte, denn er weiß am allerbesten, worauf es ankommt und hat sich intensivst mit der Materie auseinandergesetzt. Der fertige Artikel wird, da bin ich mir sicher, sowohl mathematisch exakt und sachlich einwandfrei als auch allgemein verständlich sein, zudem wird kein wesentliches Detail fehlen. Ich ziehe es derweil vor, meinen kurzen Besuch auf dieser Seite zu beenden und wünsche allseits gutes Gelingen. --Henked 21:35, 7. Nov 2005 (CET)

Das ist schade, und ich kann es nicht nachvollziehen. Hätte ich mit Bedenken und Anregungen warten sollen, bis Deine Neufassung fertig ist? So in der Richtung: "Das hätte ich Dir gleich sagen können..."?--Gunther 21:48, 7. Nov 2005 (CET)

Wichtige Vorraussetzung

Eine wichtige Vorraussetzung zum Verständnis des Textes ist Mathematisches Grundwissen, was man in Analysis I-IV studiert, daher halte ich es für ratsam, Links zu diesen Themen einzubauen.

Selbst OberstufenLK - Schüler verstehem diesen Text u.U. nicht. _{00:13, 22. Nov 2005 217.248.220.94 (nachgetragen LL)}

Hi A-non, das stimmt so nicht ganz. Die reellen Zahlen, so wie es hier mal stehen soll, werden in den ersten 6 Wochen der Ana-I-Vorlesung behandelt, die Feinheiten bzgl. algebraischer Zahlen im ersten Semester Algebra. Ich kenne die Rahmenlehrpläne nicht und weiss daher auch nicht, wieweit die Lücken innerhalb der rationalen Zahlen angesprochen werden. Ich kann mir aber schon vorstellen, dass die Axiome eines archimedischen ordnungsabgeschlossenen Körpers nicht unbedingt in jedem Leistungskurs vorkommen.--LutzL 08:33, 22. Nov 2005 (CET)

Vorschlag 2

Gruezi miteinand!

Diese Definition habe ich auf der Seite www.mathe-online.at gefunden:

Fast alle Zahlen, die in der Schulmathematik auftreten, sind reelle Zahlen. Reelle Zahlen sind schlicht und einfach einfach Dezimalzahlen, d.h. sie lassen sich durch eine Abfolge von Ziffern (d.h. Symbolen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9), einen Dezimalpunkt ("Komma" - wir verwenden die Schreibweise als Punkt, es kann aber auch ein Beistrich geschrieben werden; siehe hierzu Zahleneingaben: Dezimalpunkt oder Komma?) und ein Vorzeichen (- oder +, wobei letzteres weggelassen werden kann) darstellen.

für genaue BeobachterInnen Beispiele für reelle Zahlen sind -5 (minus fünf), 54.321 (vierundfünfzig Komma drei zwei eins) und Zahlen, deren Dezimaldarstellung nie abbricht, mag sie nun aus einer immer wiederholten Zifferngruppe bestehen (wie bei -0.33333333... und 34.12121212...; man nennt sie periodisch), andere Regelmäßigkeiten aufweisen (wie z.B. 0.101001000100001...) oder aus einer Ziffernabfolge ohne erkennbare Ordnung bestehen, wie etwa bei der berühmten Zahl Pi (p = 3.14159265...), die für jeden Kreis das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser angibt. Die Menge aller reellen Zahlen wird mit R bezeichnet.

Mengen

In gewisser Hinsicht kann man sich eine reelle Zahl auch geometrisch vorstellen, nämlich als einen Punkt auf einer Geraden. Dabei müssen zwei Punkte dieser Zahlengeraden als 0 und 1 ausgezeichnet sein. Damit kann man die Menge R der reellen Zahlen aufzeichnen. Im folgenden Diagramm sind einige reelle Zahlen (als Strichmarkierungen, damit man sie sieht) eingezeichnet:

Man kann auch an ein (unendlich langes) Maßband denken, dessen Markierung so fein ist, daß sie "beliebig genaue Messungen" gestattet.

Reelle Zahlen stellen sich nun als Abstand vom Nullpunkt (von der Nullmarkierung) dar, wobei der Punkt 1 gerade den Abstand 1 hat. Punkte rechts von 0 werden als positive Zahlen und Punkte links von 0 als negative Zahlen interpretiert. (nicht signierter Beitrag von 212.102.225.178 (Diskussion) 08:54, 2. Feb 2006)

Bei den Dezimalzahlen gibt es ganz praktische Probleme. Die Multiplikation wird man im wesentlichen als schriftliche Multiplikation definieren müssen, und dann entsteht die nicht klar zu beantwortende Frage, wie weit man eigentlich rechnen muss, um eine Dezimalstelle sicher bestimmen zu können (z.B. ist die Ziffer vor dem Komma bei $1{,}4142\ldots \cdot 1{,}4142\ldots$ eine 1 oder eine 2?).--Gunther 13:03, 2. Feb 2006 (CET)

zur Einleitung

Was ist denn so schlecht daran an der Erklärung, das die Menge der Reelen Zahlen sich aus denen der rationalen und der irrationalen zusammensetzt? R = Q + I

Eine Erläuterung wie sie zur Zeit online ist, kann man ja kaum verstehen. Q ist Element von R. Also ist R minus Q, d.h. R ohne die Zahlen von Q, die Menge der Zahlen I.

R Reele Zahlen Q Rationale Zahlen I Irrationale Zahlen (nicht signierter Beitrag von Ollixx77 (Diskussion | Beiträge) 19:50, 14. Feb 2006)

Üblicherweise werden irrationale Zahlen als diejenigen reellen Zahlen definiert, die nicht rational sind. Man kann sie also nicht umgekehrt schon in der Erklärung, was reelle Zahlen sind, verwenden.--Gunther 20:01, 14. Feb 2006 (CET)

Ganz verständlich ist die Einleitung aber trotzdem nicht. Ollixx77 20:11, 14. Feb 2006

Hab mal einen Versuch zur Einleitung gemacht, fürchte aber, er gefällt nicht, denn er ist nicht rein mathematisch. -- Peter Steinberg 01:16, 19. Feb 2006 (CET)

Ich finde die neue Einleitung gelungen. Sie ist anschaulich und damit auch für mathematisch wenig „vorbelastete“ Leser verständlich. --Hardy42 19:41, 22. Feb 2006 (CET)

Habe zur jetzigen Einleitung noch zwei Kritikpunkte: 1) Statt "messbare Größe" sollte lieber "Länge" verwendet werden (Es gibt ja auch andere (physikalische) Größen als Längen, und nicht allen kann man eineindeutig eine Reelle Zahl zuordnen (und das ist ja hier mit kann zugeordnet werden gemeint)). 2)"..zum Beispiel für die Diagonale eines Quadrats) keine Maßzahl.." stimmt so allgemein nicht: Ein Quadrat mit Kantenlänge \sqrt(2) hat eine Diagonale der Länge 2. Ich schlage also vor "zum Beispiel für die Diagonale eines Quadrates mit Kantenlänge 1"--Martin 17:24, 19. Feb 2006 (CET)

Zu 1: Statt „Längen“ schlage ich „skalare Größen“ vor; es gibt noch andere skalare Größen.

Zu 2: Allgemeiner wäre „rationale Kantenlänge“.

--Hardy42 19:41, 22. Feb 2006 (CET)

Mir gefällt die Einleitung, man sollte es an dieser Stelle mit der Präzision nicht übertreiben. Wenn man will, könnte man die Inkommensurabilität auch dadurch ausdrücken, dass in einem Quadrat nicht gleichzeitig die Längen von Seite und Diagonale durch rationale Zahlen beschrieben werden können.--Gunther 20:48, 22. Feb 2006 (CET)

Es freut mich riesig, dass mein Vorschlag doch ein ganz positives Echo findet. Ich finde: Wenn wir verstehbare Artikel schreiben wollen, müssen wir uns von dem Zwang befreien, immer an jeder Stellen alles zu sagen, was wir wissen.

Richtig sollten die Aussagen trotzdem sein. Martins Einwand 2) leuchtet mir deshalb ein. Ich ändere das. Hardy42s Verallgemeinerung dazu finde ich aber ganz überflüssig.

@Martin Punkt 1): Ich weiß nicht, was du für messbare(!) physikalische Größen im Sinne hast, deren Maßzahl nicht reell ist. Vektoren, zweifellos, da hat Hardy42 schon recht. Aber die werden durch mehrere reelle Zahlen gemessen, und jeder, der sich so weit in die Materie hinein begibt, wird das sogleich verstehen. Die Beschränkung auf "Längen" dagegen würde m.E. die Bedeutung der reellen Zahlen runterspielen, denn auch Geschwindigkeitsbeträge, Temperaturen, Stromstärken usw. können ja prinzipiell kontinuierlich viele Werte annehmen. -- Peter Steinberg 01:08, 23. Feb 2006 (CET)

Änderung 11:31, 20. Mär 2006 Richardigel

Eine rationale Zahl kann man stationäre Cauchyfolge ($n->q$) verstehen, das heißt, solche Cauchyfolgen sind [[isomorph] zu den Rationalen Zahlen. In diesem Sinne sind also die reellen Zahlen eine Obermenge der rationalen Zahlen. Im naiven Sinne jedoch unterscheidet sich eine rationale Zahl q von der stationären Folge $n->q$, da sie potentiell beziehungsweise aktual unendlich ist.

Was soll das bedeuten? --NeoUrfahraner 12:50, 20. Mär 2006 (CET)

Ich verstehe auch nicht, was mir das sagen soll. --DaTroll 12:58, 20. Mär 2006 (CET)

Ihr lest offenbar gerade nicht de.sci.mathematik, stimmts? Da tobt gerade ein wilder Streit darüber, ob die reellen Zahlen eine Obermenge der rationalen Zahlen sind, oder nicht. Wenn man die Definitionen von reellen Zahlen und rationalen Zahlen vergleicht, sieht man, dass rationale Zahlen erstmal (per Definition) keine reellen Zahlen sind. Denn rationale Zahlen sind Paare natürlicher Zahlen, reelle Zahlen sind Cauchyfolgen. Man kann allerdings rationale Zahlen als Cauchyfolgen verstehen, dann ist eine rationale Zahl eine reelle Zahl. Der philosophisch offenbar bedeutsame Unterschied (immerhin füllt die Diskussion rund um Eckard Blumschmid in dsm gerade ca. 10000 Artikel) ist, dass rationale Zahlen potentiell unendlich sind, reelle Zahlen aber aktual unendlich sind. Das Wort "beziehungsweise" in meiner Änderung war ausnahmsweise mal richtig benutzt, vgl. Dudenband Nr. 9, falls das unverständlich erschien. Falls meine Folgenschreibweise nicht gefällt, bitte ich, eine intuitivere zu finden. Ich finde diesen Absatz relevant[tm] und interessant[tm] und bitte, ihn verständlicher wieder in den Artikel einzufügen. --Richardigel 19:25, 20. Mär 2006 (CET)

Das, was Du schreibst, soll auch verständlich sein, ohne de.sci.mathematik lesen zu müssen. Und wenn Du de.sci.mathematik liest, solltest Du wissen, was von Eckard Blumschmid zu halten ist. --NeoUrfahraner 19:45, 20. Mär 2006 (CET)

Du schreibst da Trivialitäten. Ich fand den Absatz durchaus verständlich, ich habe ihn da oben nochmal erklärt. Wenn du ihn nicht verstanden hattest, aber nun verstehst, bitte ich, ihn verständlicher einzustellen, oder zu revertieren. Ich weiß auch, was von Eckard Blumschmid zu halten ist. Allerdings hat EB die 10000 Artikel nicht alle allein geschrieben, sondern es gibt durchaus erwähnenswerte, wichtige Tatsachen rund um reelle und rationale Zahlen. Nämlich der Unterschied zwischen aktual und potentiell unendlich in ihnen. --Richardigel 20:23, 20. Mär 2006 (CET)

Wie ihr wisst, liegt mir die potenzielle und aktuale Unendlichkeit sehr am Herzen; aber mit der Einbettung der rationalen Zahlen in die reellen hat sie wenig bis gar nichts zu tun. Die verläuft erst mal im Grundsatz nicht anders als bei anderen Zahlbereichserweiterungen auch: Der neue Zahlbereich enthält neue Objekte (z.B. keine natürlichen Zahlen, sondern Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen), aber eine Teilmenge der neuen Zahlmenge erweist sich als zur Ausgangsmenge isomorph. Das, was Richardigel (Äquivalenzklassen von) "stationären Cauchyfolgen" nennt, ist isomorph zu den rationalen Zahlen, und in diesem Sinne sind die reellen Zahlen Obermenge zu den rationalen. (Ich denk mal drüber nach, wie man das verständlich in dem Artikel unterbringen kann.) - Ob diese Obermenge nun aber eine neue Qualität der Unendlichkeit besitzt, ist eine ganz andere Frage, und über die mag man gerne 10000 Artikel schreiben... -- Peter Steinberg 21:05, 20. Mär 2006 (CET)

Außer mit Herrn Blumschmid gibt es keinen Streit darüber, ob die reellen Zahlen eine Obermenge der rationalen sind oder nicht. Eine Kostruktion der reellen Zahlen bei der das nicht so wäre, würde kein Mathematiker benutzen. Die Konstruktion der reellen Zahlen aus Q als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen liefert natürlich, dass Q in R drin ist. Was im Artikel dargestellt wird, ist ganz einfach der Stand der Analysislehrbücher. --DaTroll 21:53, 20. Mär 2006 (CET)

Ganz so einfach ist das mit der Frage, ob die reellen Zahlen eine Obermenge der rationalen sind, nicht. Strenggenommen sind sie es tatsächlich nicht, die reellen Zahlen sind eben Caucyhfolgen rationaler Zahlen, also zunächst etwas ganz anderes, wie Richardigel richtig gesagt hat. In weiterer Folge muss man dan zeigen, dass es eine Teilmenge der reellen Zahlen gibt, die isomorph zu den rationalen Zahlen ist (das ist nicht selbstverständlich, theoretisch könnte die neue Struktur der reellen Zahlen ganz andere Eigenschaften haben, als die zur Konstruktion herangezogenen rationalen Zahlen). Sobald man aber diese Isomorphie gezeigt hat, ist die Unterscheidung unwesentlich, d.h., dann kann man bedenkenlos die reellen Zahlen als Obermenge der rationalen verwenden. Wie aber schon Peter Steinberg gesagt hat, das verläuft erst mal im Grundsatz nicht anders als bei anderen Zahlbereichserweiterungen und braucht meiner Meinung nach im Artikel nicht unbedingt erwähnt werden. Bei der Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen wird es ja ebenfalls nicht erwähnt. --NeoUrfahraner 07:17, 21. Mär 2006 (CET)

...was ich allerdings als eine Schwäche dieses Artikels ansehe. Wie Zahlbereichserwieterungen vor sich gehen, ist in Wikipedia m.E. noch nicht befriedigend erklärt. Vielleicht wäre ein eigenes Lemma Zahlbereichserweiterung sinnvoll. Richardigels Fragestellungen haben damit nichts zu tun, sind aber offenbar auch noch nicht klar genug behandelt. -- Peter Steinberg 00:20, 23. Mär 2006 (CET)

Dass diese Themen nicht klar genug behandelt sind, liegt meines Erachtens daran, dass Zahlenbereichserweiterungen in der gelehrten Mathematik etwas stiefmütterlich behandelt werden; Edmund Landau beschreibt die Gründe dafür im Vorwort seines Klassiker Grundlagen der Analysis ganz gut. Wenn ich nichts übersehen habe, hat er in dem Buch aber auch darauf vergessen, jeweils zu zeigen, dass die alte Zahlenmenge isomorph in die neu konstruierte einbettbar ist. Wie die Wikipedia das lösen soll, ist eine gute Frage; ein eigenes Lemma Zahlenbereichserweiterung ist da wohl besser, als in jedem Artikel über Zahlen praktisch das selbe mit leichter Variation sagen zu müssen. Bzgl. des Lemmas stellt sich nur die Frage, ob man das auf Zahlen einschränken soll, oder evtl. Quotientenkörper und Vervollständigung eines normierten Raumes mitbehandeln soll. --NeoUrfahraner

Ich habe jetzt den Artikel Zahlbereichserweiterung angelegt; Ergänzungen sind wie immer willkommen. --NeoUrfahraner 21:59, 30. Mär 2006 (CEST)

Quellen

Ich habe die den Forster als die Quelle für das Vollständigkeitsaxiom und archimedische Axiom wiedereingestellt. In der auch für die deutschsprachige Wikipedia geltenden Grungregel m:Verifiability steht Articles should cite these sources whenever possible. Gruß Stefanwege 10:42, 15. Sep 2006 (CEST)

Zwei Punkte dazu:

• Grundsätzlich halte ich auch Referenzen für elementarere Aussagen für sinnvoll; gerade zu den Implikationen zwischen den verschiedenen Eigenschaften gab es hier ja auch schon Diskussionen.
• Ohne bei Forster nachgeschaut zu haben: An dieser Stelle wird hauptsächlich eine Quelle dafür benötigt, dass die verschiedenen Möglichkeiten, die reellen Zahlen zu definieren, äquivalent sind. Dass die entsprechenden Aussagen wahr sind, wenn man sie als Axiom nimmt, braucht jedenfalls keinen Beleg.

--Gunther 10:57, 15. Sep 2006 (CEST)

Der Beleg dient nur dafür, dass die Axiome korrekt wiedergegeben wurden, nicht dass sie war sind. Stefanwege 14:49, 15. Sep 2006 (CEST)

-auf Wikipedia:Einzelnachweise ist die Sache sehr klar dargestellt: Aussagen, die in jedem Standardlehrbuch stehen, bzw. mit anderen Worten, durch die im Abschnitt Literatur angegebenen Werke abgedeckt sind, beduerfen keiner Einzelnachweise. Da Einzelnachweise den Lesefluss stoeren, sollten sie dann auch in so einem Fall weggelassen werden. --P. Birken 12:48, 15. Sep 2006 (CEST)

Zitat WP:QA "Wo Hauptquellen nicht zur Überprüfung ausreichen, sollen Einzelnachweise angegeben werden. Der Leser kann die Angaben im Artikel mithilfe von Einzelnachweisen leichter überprüfen. Werden durchgehend Einzelnachweise genutzt, fallen auch einzelne unbelegte Aussagen leichter auf. Als Einzelnachweise sind Fußnoten oder Quellenangaben im Text (siehe unten) geeignet." (Hervorhebung von mir) Von Weglasen wegen des Leseflusses steht da nix. Im Gegenteil es wird empfohlen sie auch dann zu benutzen wenn Hauptquellen vorhanden sind, weil sich die Aussagen dann leichter überprüfen lassen. Stefanwege 14:49, 15. Sep 2006 (CEST)

Was ist an "Wo Hauptquellen nicht zur Ueberpruefung ausreichen", unklar formuliert? Es ist uebrigens nicht nur die Lesbarkeit, sondern auch die Editierbarkeit, die durch zusaetzliche Metadaten immer erschwert wird. Sprich: man sollte sich schon bei jedem Einzelnachweis ueberlegen, ob man ihn braucht. Und die Axiome der reellen Zahlen sind eben nichts, was schwierig zu finden waere. --P. Birken 16:24, 15. Sep 2006 (CEST)

Darin ist nichts unverständlich. Nur wie obiges von mit gebrachtes Zitat erläutert, sind die Einzelnachweise dann vielleicht nicht nötig, aber immer noch nützlich. Mit der Editierbarkeit muss ich dir sogar ein Stück recht geben, wenn zwischen jedem Satz drei Quellenangaben stehen, wird es für den einen neuling irgendwann schwer. Vielleicht ist das aber auch gar nicht schlecht, wenn Neulinge davon abgehalten werden in gut belegten Aussagen herumzueditieren. Indem hier vorliegenden Fall ist es aber eh egal da die Quellennachweise direkt hinter für die Laien auch nur schwer lesbaren TeX-Ausdrücken stehen. Gruß Stefanwege 16:40, 15. Sep 2006 (CEST)

PS: Übrigens haben wir hier schon wieder eine schöne lange Dis. um zwei Quellenangaben geführt. ;-)Stefanwege 16:40, 15. Sep 2006 (CEST)

PPS: Intersannter sind da schon die ersten beiden Sätze des Artikels die vermutlich beide Blödsinn sind. Gruß Stefanwege 16:46, 15. Sep 2006 (CEST)

Gut, dann sind wir uns ja einig: nicht jeder Satz muss durch Quellen belegt werden, insbesondere keine, die in jedem Analysis I-Band drinstehen. Ich habe die Referenzen wieder entfernt. Was an den ersten beiden Sätzen "vermutlich Blödsinn" sein soll, weiß ich nicht. --P. Birken 17:28, 17. Sep 2006 (CEST)

Von Einigkeit kann ich da nichts entdecken. Ich hoffe Du liest die Artikel gründlicher als meine Kommentare. ;-) Ich habe die Quellen mal wieder reingenommen. Gruß Stefanwege 20:09, 12. Okt. 2006 (CEST)

PS: Warum die beiden ersten Sätze vermutlich Unsinn waren habe ich weiter oben im Abschnitt Einleitung dieser Dis. dargelegt. Stefanwege 20:13, 12. Okt. 2006 (CEST)

Halte Dich einfach an Wikipedia:Einzelnachweise. Warum Deine konkreten Referenzen darüber hinaus noch überflüssig sind, hat Gunther dir ja schon erklärt. --P. Birken 22:27, 12. Okt. 2006 (CEST)

Antwort an den Gast in der Einleitungsdiskussion (arcihmedisch/vollständig)

Antwort an Gast Benutzer:84.63.61.11: $\mathbb {R} (a)$ ist der Körper aller gebrochenrationalen Funktionen in der Variable a (formal). Man kann das a nun unterschiedlich einsortieren, z. B. 0<a<ε für jedes positive ε, dann ist automatisch 1/a größer als jede natürliche Zahl. Ich sehe allerdings nicht, dass dieser Körper ordnungsvollständig ist. Die pos. reellen Zahlen sind drurch r*a (r>0 beliebig) nach unten beschränkt. Ich sehe da keine größte Schranke.

Noch ein technischer Tipp: Bei alten Diskussionen lieber nicht mitten rein schreiben, sondern lieber unten neu ansetzen und Textbezug nach oben. Und mit --~~~~ unterschreiben, dann klappts auch mit dem Datum! Gruß.--KleinKlio 20:07, 15. Nov. 2006 (CET)

Theorie, Theorie, Theorie, ...

also, mir wäre es lieber, wenn zusätzlich zu den Erklärungen auch Beispiele geliefert würden ... (Theorie, Theorie, Theorie, ...) (nicht signierter Beitrag von 80.109.211.88 (Diskussion) 22:37, Nov 23. 2006)

An welcher Stelle genau? Ich bitte auch zu bedenken, dass „lebensnahe“ Beispiele für reelle Zahlen (wie Eulersche Zahl, Nullstellen von elementaren Funktionen usw. jeweils ihre eigene theoretische Erläuterung brauchen, um der Verständlichkeit der Sache zu dienen. --KleinKlio 23:25, 4. Jan. 2007 (CET)

Grundsätzliche Definition der Reellen Zahlen

Es ist mir als Grundsatz bekannt, dass die Reellen Zahlen gleich der Vereinigungsmenge aus Rationalen und Irrationalen Zahlen sind.

Also: R=QUJ am 2. Jan. 2007 von IP 217.247.240.66

Siehe Diskussion weiter oben bzw. im Archiv. Das Problem an dieser Herangehensweise ist: Was sind dann die irrationalen Zahlen (die rationalen sind ja als Brüche ganzer Zahlen bekannt)? Und in welcher Grundgesamtheit findet die Vereinigung statt?--LutzL 19:28, 4. Jan. 2007 (CET)

Einleitung

In der Einleitung steht: "Einer Vielzahl von Messgrößen ... kann eine reelle Zahl als Maßzahl zugeordnet werden." Ich finde das unglücklich Formuliert, weil messen kann man rationale Zahlen, diese sind zwar in den rellen enthalten aber mit dieser Einleitung bekommt man für die rellen Zahlen eher das Bild der rationalen Zahlen finde ich.

Buch von Deiser?

Hallo zusammen. Oliver Deiser hat - meiner Meinung nach - ein interessantes Buch (vor allem auch mit vielen historischen Aspekten) zum Thema reelle Zahlen geschrieben (habs noch nicht ganz gelesen, macht aber einen soliden Gesamteindruck). Sollte man dieses in die Literaturliste aufnehmen? Vielleicht könnte man auch die im Buch beschriebene moderne Variante der Konstruktion der reellen Zahlen (mit sogenannten Hängen nach A'Campo et al.) auch noch erwähnen. Genauere Infos zum Buch:

• Oliver Deiser: Reelle Zahlen - Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen. Springer-Verlag, 2007, ISBN 3-540-45387-3

Gruss --83.79.100.14 19:53, 12. Apr. 2007 (CEST)

Flüchtigkeitsfehler bei der Einführung der Topologie für die erweiterten reellen Zahlen?

Bei der Definition der Umgebungsbasis werden in $B_{r}(-\infty )$ und $B_{r}(+\infty )$ nur positive, rationale "r", also $r\in \mathbb {Q} ^{+}$, zugelassen und nicht alle positiven, relle Zahlen "r", also $r\in \mathbb {R} ^{+}$. Ist das so richtig? (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 130.83.28.76 (Diskussion • Beiträge) NeoUrfahraner 10:45, 31. Jul. 2007 (CEST))

Der nächste Satz erklärt's. Die rationalen Zahlen reichen, und damit sieht man gleich, dass die Abzählbarkeitsaxiome erfüllt sind. --NeoUrfahraner 10:45, 31. Jul. 2007 (CEST)

Einleitung

In der Einleitung steht:

"Für die Menge der reellen Zahlen wird das Symbol $\mathbb {R}$ (auch $\mathbf {R}$, Unicode ℝ) verwendet. Sie werden unterschieden in:"

Wer oder was ist denn "Sie"? Die "Menge der reellen Zahlen" ist damit wohl nicht gemeint. Macht sowohl inhaltlich als auch grammatikalisch keinen Sinn. --Sabata 01:18, 23. Mär. 2008 (CET)

Inhaltlich schon, oder? --Scherben 15:51, 28. Mär. 2008 (CET)

Ah, das "Sie" bezieht sich auf "reelle Zahlen". Jetzt sehe ich es auch. "Die Menge der reellen Zahlen" ist eigentlich ein Ausdruck, sich mit "Sie" auf "reelle Zahlen" zu beziehen scheint etwas gewagt.--Sabata 16:10, 28. Mär. 2008 (CET)

Deshalb in meiner Version auch "diese", dafür gibt es das Wort. --Scherben 19:14, 30. Mär. 2008 (CEST)

ich wollte nur kurz anmerken, ungeachtet von dem was auf dieser diskussionsseite schon geschrieben worden ist, dass der in der einleitung verwendete begriff "eineindeutig" nicht gleichbedeutend mit den in klammern dahinter geschriebenen begriff "bijektiv" ist. eineindeutig heißt zunächstmal injektiv. treffen die eigenschaften surjektiv und injektiv gleichzeitig auf eine funktion zu, heißt sie bijektiv. (Der vorstehende nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 77.178.255.136 (Diskussion • Beiträge) 11. Nov. 2008, 15:51)

Ganz so einfach ist das nicht, siehe Injektivität#Geschichte. Im Artikel "eineindeutig" rausgenommen. --Sabata 16:07, 11. Nov. 2008 (CET)

Rationale Zahlen als Quotient zweier ganzer Zahlen

In der Erklärung, was Rationale Zahlen seien (relativ weit am Anfang) steht:

Rationale Zahlen - $\mathbb {Q}$ = Bruchzahlen der Form ganze Zahl/natürliche Zahl

Meines Wissens schließt die Menge der Rationalen Zahlen auch die Zahlen ein, die sich ergeben wenn man eine ganze Zahl durch eine negative ganze Zahl teilt. Die Menge der natürlichen Zahlen beinhaltet jedoch nur die positiven ganzen Zahlen (je nach Definition noch 0). Somit fehlen nach dieser Fomulierung die negativen Zahlen als Möglichkeit im Quotienten.

Korrekt müsste es m.E. heißen:

Rationale Zahlen - $\mathbb {Q}$ = Bruchzahlen der Form ganze Zahl/ganze Zahl (ungleich 0)

Nicht wahr?

Ich habe es im Artikel noch nicht geändert, da ich es durch euch verifizieren wollte.

-> Wer sich sicher ist, dass ich Recht habe, der korrigiere die Stelle bitte.

(nicht signierter Beitrag von 85.176.248.237 (Diskussion | Beiträge) 23:42, 2. Dez. 2009 (CET))

Hallo,

grundsätzlich wäre die vorhandene Definition auch ok, da ja z.B. 3/(-4) = (-3)/4, aber im Artikel Rationale Zahl wird auch von einem Verhältnis ganze Zahl / ganze Zahl und nicht ganze Zahl / natürliche Zahl gesprochen. Ich habe deshalb die Beschreibung hier in Einklang mit dem vorhin erwähnten Artikel gebracht. Gruss -- Godfatherofpolka 08:33, 3. Dez. 2009 (CET)

Einleitung

Aus dem Artikel: Eine die rationalen Zahlen umfassende Teilmenge der reellen Zahlen ist die Menge der reell-algebraischen Zahlen, d. h. der reellen Lösungen von Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten

Ich hab oft eine etwas plastische Vorstellung von Zahlenmengen, und bitte hierbei um Klärung. Die reelen Zahlen lassen sich in rationale (Bruchzahlen) und in irrationale (eben die anderen "Nichtbruchzahlen") unterteilen. Algebraische Zahlen lassen sich allgemein durch eine Polynomgleichung darstellen. Irrationale Zahlen sind entweder algebraisch oder transzendent. Das Komplement der transzendenten Zahlen, im Reellen, sind die algebraischen Zahlen.

Liege ich mit sämtlichen Aussagen richtig, stellt sich mir eine Frage. Hinter Irrationale Zahlen steht nämlich Diese lassen sich wiederum in algebraische Zahlen und transzendente Zahlen unterteilen. Dieser Satz ist dann so doch etwas irreführend, erweckt er doch den Eindruck die algebraischen Zahlen wären ein Teil der irrationalen Zahlen. Wenn ich das alles richtig verstanden habe müsst es ungefähr wie folgt lauten: Diese lassen sich wiederum in transzendente Zahlen und nicht transzendente Zahlen unterteilen. Alle reelen nicht transzendenten Zahlen nennt man algebraisch.

Evtl. mit der weiteren Anmerkung Die algebraischen Zahlen umfassen also sowohl sämtliche rationalen Zahlen, als auch die nicht-transzendenten irrationalen Zahlen. (nicht signierter Beitrag von 93.217.121.188 (Diskussion | Beiträge) 00:37, 21. Jan. 2010 (CET)) -- Dunstkreis 00:43, 21. Jan. 2010 (CET)

Erweiterung der reellen Zahlen um transfinite Kardinalzahlen

Hier eine andere Möglichkeit, die reellen Zahlen um unendliche Elemente zu erweitern. Was haltet ihr davon? --84.166.148.175 20:57, 5. Apr. 2010 (CEST)

Dieses Paper entspricht in keiner Art und Weise den Standards von mathematischen Publikationen, es ist inhaltlich nicht ernst zu nehmen. Eine korrekte Erweiterung der reellen Zahlen mit unendlichen Elementen findet man z.B. in Nichtstandardanalysis -- Godfatherofpolka 21:58, 5. Apr. 2010 (CEST)

Der Artikel ist inhaltlich durchaus ernst zu nehmen. Er hält sich exakt an mathematische Definitionen und arbeitet mathematisch sauber. Nur weil man die reellen Zahlen auf eine Weise korrekt erweitern kann (Nichtstandardanalysis), heißt das nicht, dass man sie nicht auf andere Weise genauso korrekt erweitern könnte. Der Artikel schlägt eine Brücke zwischen zwei Gebieten der Mathematik (Analysis/Topologie und Mengenlehre) und stellt somit eine Bereicherung der Wissenschaft dar. --84.166.151.80 11:40, 6. Apr. 2010 (CEST)

Der Autor bzw. sein Promotor möge unter den Begriffen Korona-Kompaktifizierung sowie Einpunktkompaktifizierung nachschlagen. Mehr als die Erweiterung der reellen Zahlen um die Punkte $\pm \infty$ im Sinne der ersten, maximalen Erweiterung zu einem kompakten topologischen Raum, kann ich in dem Artikel nicht erkennen.--LutzL 12:41, 6. Apr. 2010 (CEST)

Aleph

Im Text steht:

Die Mächtigkeit von $\mathbb {R}$ wird mit ${\mathfrak {c}}$ (Mächtigkeit des „Continuums“) oder mit $\aleph$ (Aleph) (ohne Index!) bezeichnet.

Mir ist die Bezeichnung $\aleph$ für die Mächtigkeit des Kontinuums noch nicht begegnet. Ich habe diese Behauptung auch nirgendwo sonst in der Wikipedia (z.B. bei der Kontinuumshypothese) gefunden. Könnte der Autor dieser Aussage diese bitte belegen? --Digamma 19:27, 13. Mai 2010 (CEST)

$\aleph$ für die Mächtigkeit von $\mathbb {R}$ kommt mir bekannt vor. Mal sehen, ob ich eine Quelle finde. -- Der Satz Da die Menge der reellen Zahlen gleichmächtig zu der Potenzmenge der natürlichen Zahlen ist, gibt man ihre Mächtigkeit auch mit $2^{\aleph _{0}}$ an. kommt zu früh, nämlich am Ende des ersten Absatzes. Er nimmt vorweg, was erst durch das Ende dieses Abschnitts gerechtfertigt wird (die Kontinuumshypothese). Ich denke, man sollte ihn vorn streichen. OK? -- UKoch 23:18, 24. Feb. 2012 (CET)

Ich würde mich freuen, wenn du etwas findest. Zu Da die Menge der reellen Zahlen gleichmächtig zu der Potenzmenge der natürlichen Zahlen ist, gibt man ihre Mächtigkeit auch mit $2^{\aleph _{0}}$ an.: Das gilt immer und hat mit der Kontinuumshypothese nichts zu tun. Das liegt im Prinzip einfach daran, dass man jede reelle Zahl, als Dualzahl darstellen kann (und braucht auch nicht das Auswahlaxiom). --Digamma 13:47, 25. Feb. 2012 (CET)

Zum Aleph: Danke, ich hatte es falsch im Kopf. Über Deine Begründung meditiere ich noch ein bisschen. -- UKoch 13:47, 28. Feb. 2012 (CET)

Ich habe den Nebensatz zu "Aleph" im Artikel herausgestrichen. Danach lese ich, dass es schon eine aktuelle Diskussion dazu gab. Das ändert aber nichts zu meiner Einstellung. Der Einwand von Digamma war gerechtfertigt. -- B-greift (Diskussion) 21:24, 1. Mär. 2012 (CET)

Axiomatische Einführung der reellen Zahlen - Ordnungsaxiome

Statt den vier dort angegebenen könnte man doch auch folgende drei nehmen (dann hätte man eins gespart):

• Für jede reelle Zahl x gilt genau eine der folgenden drei Beziehungen: x=0, x>0 oder -x>0.
• Aus x>0,y>0 folgt x+y>0
• Aus x>0,y>0 folgt x*y>0

Dann müsste nur noch definiert (kein Axiom, sondern eine Definition) werden: x>y bedeutet x-y>0. --Jobu0101 15:19, 23. Mai 2010 (CEST)

Das ist Geschmackssache. Die Frage ist, ob man die Axiome so formuliert, dass man die einzelnen Strukturen möglichst als solche erkennt, in diesem Fall also 1. die Körperstruktur und 2. die Ordnungsstruktur und dann die Verbindung dazwischen, oder ob man lieber Wert auf Sparsamkeit legt. Ich plädiere für ersteres, also die bisherige Fassung. Wenn man letzteres will: man kann in R die Größer-Relation definieren. $a\geq 0$ gdw. $\exists x\colon a=x^{2}$ --Digamma 22:57, 24. Mai 2010 (CEST)

Eine Anmerkung zur Geschichte

Ich habe gerade zufälligerweise einen Blick in das Buch Rechnen Mit Dem Unendlichen werfen können, dort gibt es einen Teil zum Zahlenverständnis Bernard Bolzanos und noch er hatte offensichtlich kein geschlossenes Bild von einem Raum der reellen Zahlen, das Konzept scheint mehr gewesen zu sein, Zahlen sich so definieren zu können, wie es einem gerade passt und wie man sie gerade braucht, geradezu physikerartig, nur mit Reflexion darüber. Insofern möchte ich nochmal davor warnen, vorschnell Historisches zu den reellen Zahlen zu schreiben, und vor dem Wiedereinfügen von solchen Formulierungen wie sie entsprechen allen Punkten auf der Zahlengerade – nein, das ist nicht intuitiv klar und in Jahrtausenden der Mathematikgeschichte hat man es nicht auf diese Weise verstanden. --Chricho ¹ ² ³ 18:43, 7. Aug. 2012 (CEST)

Letzter Absatz in "Einteilung der reellen Zahlen"

Dort steht:

"Eine die rationalen Zahlen umfassende Teilmenge der reellen Zahlen ist die Menge der (reellen) algebraischen Zahlen, d. h. der reellen Lösungen von Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten; diese Menge umfasst sämtliche reellen Wurzelausdrücke, aber nicht nur diese (z. B. Lösungen geeigneter Gleichungen 5. Grades). Ihr Komplement ist die Menge der (reellen) transzendenten Zahlen."

Der hervorgehobene Teil erscheint mir schlichtweg unsinnig. Zum Beispiel sind ${\sqrt {e}},{\sqrt {\pi }}$ nicht algebraisch sondern transzendent. Und dann gibt es da noch die unendlich oft verschachtelten Kettenwurzeln, deren Grenzwert nicht algebraisch sein muss.

Ich schlage vor, den hier fett gesetzten Teil zu streichen. r. labus (Diskussion) 01:13, 10. Aug. 2012 (CEST)

Es geht natürlich nur um endliche Wurzelausdrücke über $\mathbb {Q}$. Hast du einen Vorschlag, wie du es eindeutiger fändest? --Chricho ¹ ² ³ 01:17, 10. Aug. 2012 (CEST)

Das versteht doch kein Schwein!

Ich bitte die plakative Überschrift zu entschuldigen!
Aber jetzt mal ernsthaft: Ich war gerade eben auf der Suche nach einer schnellen Definition von "Reelle Zahlen" und bekomme eine Mathe-Leistungskursklausur zu lesen. Ich bin jetzt nicht ganz doof, habe studiert, auch was naturwissenschaftliches, und besitze sogar einen Bronstein, aber das hier hilft "normalen Menschen" - und auch mir - überhaupt nicht weiter.
Zumindest in die Einleitung gehört meiner Meinung nach eine knappe, allgemein verständliche Definition. Andere Sprachen realisieren das mit Sätzen wie "Reelle Zahlen sind die Zahlen, die man meint, wenn man im allgemeinen Sprachgebraucht "Zahl" sagt. Z.B. -17, 0,5, 3,1415, 42 etc".
Im deutschen Artikel muß man erst mal rausbekommen, was ein Zahlenbereich ist und was rationale Zahlen sind. Dann kommt ein Schwall Physik mit rein und als nächstes gilt es, "topologische Eigenschaften" zu verstehen. Dann lernen wir, daß reelle Zaheln vielseitig einsetzbar sind (die rationalen Zahlen aber anscheinend nicht)und auch, daß es eine Theorie der reellen Zahlen gibt. Und das alles in der Einleitung! Aber was eine reelle Zahl denn jetzt eigentlich steht da nicht.
Das kann schlicht und ergreifend nicht der Sinn einer Enzyklopädie sein, daß man hinterher weniger weiß als vorher, nur weil man kein Mathematikstudium abgeschlosen hat!
NB: Dieser Artikel hier ist nicht der einzige, viele naturwissenschaftliche Artikel haben dieses Problem. Und es schreckt ab. Es ist bekannt, daß in der Forschung in Deutschland der Grundsatz gilt: "Nur wenn du einen für 99% der Bevölkerung unverständlichen Artikel schreibst, ist es ein guter Artikel." aber in Wikipedia macht sich das imho nicht gut. Da sollten wir uns vielleicht mehr an den Engländern orientieren, dort gilt: "Wenn nicht 99% deinen Artikel verstehen, taugt er nichts!"
(Vielleicht brauchen wir auch langsam mal eine "Einfaches Deutsch" Wikipedia so wie es die "Simple English" Wikipedia gibt.) MichaelX (Diskussion) 21:36, 30. Sep. 2013 (CEST)

Die reellen Zahlen sind aber so kompliziert. Was Du als Beispiele angegeben hast, sind ganze und rationale Zahlen. Bessere Beispiele sind ${\sqrt {2}},\,\pi ,\,1,101001000100001...$. Die reellen Zahlen braucht man, um die Lücken zwischen den rationalen Zahlen zu schließen. Nun sieht man die Lücken aber nicht so leicht, da schon die rationalen Zahlen dicht auf dem Zahlenstrahl liegen (womit schon Topologie erwähnt ist). Dass es Lücken gibt, wussten schon die alten Griechen, die Diagonale eines Quadrats steht in keinem rationalen Verhältnis zur Seitenlänge. Wieviel Lücke tatsächlich vorhanden ist, wurde erst im 19. Jh. klar. Die Suche nach einer Definition der reellen Zahlen hat auch fast dieses gesamte Jahrhundert gedauert. Dedekinds Trick, die Frage nach den reellen Zahlen zu deren Definition zu machen, ergibt die heute üblich Konstruktion der Dedekind-Schnitte als Modell der reellen Zahlen. Und nun bringe man das in enzyklopädischer Form in der Einleitung unter. -- Dass der pädagogische Stand in den deutschen Artikeln gegenüber den englischen (die auch nicht perfekt sind) zu wünschen übrig lässt, liegt auch daran, dass die Anzahl englisch sprechender Mathematiker und Mathematiklehrer etwas größer und geographisch ausgedehnter ist.--LutzL (Diskussion) 10:03, 1. Okt. 2013 (CEST)

DAS ist doch schon mal direkt eine gute Erklärung! Zumindest die ersten beiden Sätze ...
Genau so eine Erklärung gehört imho in die Einleitung: "Die reellen Zahlen ergänzen die ganzen Zahlen (1, 2, 3) und die rationalen Zahlen (1/2, 0,5, 1,2). Beispiele für reelle Zahlen sind z.B. Wurzel 2 oder Pi." Gerne mit Verlinkung auf das jeweilige Thema aber direkt mit Beispiel am Ausdruck.
Meiner unmaßgeblichen Meinung nach ist doch der Zweck einer Enzyklopädie, komplizierte Sachverhalte verständlich zu machen. Mit 14 Verlinkungen zu anderen - ähnlich unverständlichen! - Artikeln ist das definitiv nicht gegeben.
Daß das ganze erheblich komplizierter ist als dieser Satz ist mir auch klar, dafür ist dann ja der Artikel da.
79.250.161.146 10:54, 1. Okt. 2013 (CEST)

Stetiges Problem

Ich hatte den Begriff herausgenommen, mit der Begründung: "In der Einleitung einen neuen Begriff einzuführen verwirrt nur. Um welche Art Probleme es geht, wird ja im Nebensatzt erläutert". Chricho schreibt "das ist ja kein formaler begriff, aber die einschränkung im nebensatz reicht eben nicht aus". Wenn es mehr ist als der Nebensatz, was ist es dann. In der Mathematik bedarf es dann einer Definition. Wenn es nur ein intuitiver Begriff ist, kann die Andeutung die er gibt, nur jemand verstehen, der mindestens Analysis I gehört hat. --B-greift (Diskussion) 00:02, 18. Sep. 2014 (CEST)

Überabzählbarkeit

Im Abschnitt „Mächtigkeit“ steht:

„Informell bedeutet „Überabzählbarkeit“, dass jede Liste $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ reeller Zahlen unvollständig ist.“

Ich finde den Satz verwirrend. Das gilt doch genau so für jede Liste rationaler Zahlen (welche nicht überabzählbar sind), oder nicht? --GiantIsopod (Diskussion) (15:51, 27. Sep. 2014 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Korrekt ist der Satz schon, aber verwirrend auch. In der Tat können die rationalen Zahlen als eine Liste $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ geschrieben werden. Genau deswegen sind die rationalen Zahlen ja abzählbar. Die Verwirrung kommt durch das Wort unvollständig. Die "Vollständigkeit" hat bei den reellen Zahlen eine spezielle Bedeutung. Die ist hier aber gar nicht gemeint. "Informell" finde ich auch unklar. Vielleicht kann man es so schreiben: "Anschaulich bedeutet „Überabzählbarkeit“, dass die Menge der reellen Zahlen nicht als eine Folge $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ aufgelistet werden kann." --B-greift (Diskussion) 20:55, 27. Sep. 2014 (CEST)

Der entscheidende Punkt bei der "Liste rationaler Zahlen" ist, daß diese nicht der Ordnung auf Q (dem "größer als, kleiner als") entspricht (sonst geht es in der Tat nicht). Die kanonische Liste aller rationalen Zahlen (Cantors Argument verbunden mit dem, daß man die negativen Zahlen auch noch unterbringen muß) ist 0, 1, -1, 2, -2, 1/2, -1/2, 3, -3, 1/3, -1/3, 4, -4, 3/2, -3/2, 2/3, -2/3, 1/4, -1/4, 5, -5, 1/5, -1/5, 6, -6, 5/2, -5/2, 4/3, -4/3, 3/4, -3/4, 2/5, -2/5, 1/6, -1/6, ... usw. usf. Man braucht offensichtlich recht lange, bis man zu einer bestimmten Zahl kommt (unser so bekanntes 3/4 hat den Index 30, wenn man die 0 nicht zum Indizieren hernimmt); aber, wie man ebenso offensichtlich sieht: es geht; und man kommt letztlich (nur darum geht's) überall hin.--2001:A61:20E1:C501:DC3C:60C2:FE67:EE63 13:53, 5. Aug. 2017 (CEST)

Irrationale algebraische Zahlen

Im Abschnitt Einteilung der reellen Zahlen steht:

• irrationale Zahlen: $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ = die Menge aller Elemente von $\mathbb {R}$, die nicht in $\mathbb {Q}$ liegen. Diese lassen sich wiederum unterteilen in:
  • irrationale algebraische Zahlen und
  • transzendente Zahlen.
    

Ich finde die Bezeichnung irrationale algebraische Zahlen hier eher irreführend, denn insbesondere ist $i$ algebraisch über $\mathbb {Q}$ und irrational. Zwar wird durch den vorhergehenden Satz klar, was gemeint ist, trotzdem wäre eine bessere Formulierung wohl etwas in der Richtung irrationale, reelle algebraische Zahlen, was aber auch schrecklich redundant wäre. --Cgqyyflz^Bitte? 23:44, 11. Jan. 2015 (CET)

<quetsch> Ist $i$ tatsächlich irrational? --Digamma (Diskussion) 17:53, 12. Jan. 2015 (CET)

Ich sehe da zwar kein Problem, aber algebraische irrationale Zahlen sollte doch ggf. auch reichen, um komplexe algebraische Zahlen auszuschließen? --NeoUrfahraner (Diskussion)

Also bei irrationale algebraische Zahlen sehe ich kein Problem. Das sind eben die Zahlen, die irrational und algebraisch sind. Ein Problem sehe ich eher bei transzendente Zahlen. Da gibt es nämlich auch einige außerhalb von R. Daher sollte man hie wohl lieber transzendente reelle Zahlen oder transzendente irrationale Zahlen schreiben. --Jobu0101 (Diskussion) 10:56, 12. Jan. 2015 (CET)

OK, hab's umformuliert. --NeoUrfahraner (Diskussion) 12:39, 12. Jan. 2015 (CET)

Die ersten Beweise, dass die Zahlengerade irrationale Zahlen enthält, wurden von den Pythagoräern geführt.

So kann man das meiner Meinung nach nicht stehen lassen. Die Pythagoräer haben bestimmt nicht sauber definiert, was sie unter einer reellen Zahl verstehen und dann gezeigt, dass die Zahlengerade (= Menge der reellen Zahlen) Zahlen enthält, die nicht rational sind. Vielmehr haben sie festgestellt, dass es keine rationale Zahl geben kann, die quadriert 2 ergibt und dann wohl eher intuitiv gefolgert, dass es eine solche Zahl aber geben müsse. --Jobu0101 (Diskussion) 13:10, 12. Jan. 2015 (CET)

Wer hat schon vor dem späten 19. Jhdt sauber in unserem Sinne definiert? Die Literatur rechnet die Entdeckung der irrationalen Zahlen den Pythagoräern zu, daher ist die Aussage hier richig. --Donesk (Diskussion) 16:17, 16. Jan. 2015 (CET)

Die Pythagoräer haben die Existenz von inkommensurablen Strecken entdeckt. Bücher, die die Geschichte der Mathematik ernsthaft darstellen, unterscheiden hier. Bis in die Neuzeit galten irrationale Größenverhältnisse nicht als Zahlen, so dass man bis dahin nicht von irrationalen Zahlen sprechen kann. Der mathematische Kern ist zwar dasselbe, die Aussage, die Pythagoräer hätten die irrationalen Zahlen entdeckt, ist somit anachronistisch. --Digamma (Diskussion) 17:01, 16. Jan. 2015 (CET)

Eine solche Unterscheidung halte ich auch für angemessen. --Jobu0101 (Diskussion) 11:32, 17. Jan. 2015 (CET)

Laienfreundliche Erklärung

Von weiter oben kopiert, um neue Diskussion zu dem alten Thema von der alten abzugrenzen. Die Einleitung hat sich seit damals geändert. --Digamma (Diskussion) 21:20, 29. Aug. 2016 (CEST)

Ich fände es gut, wenn im ersten Satz etwas stehen würde, was dem Laien sagt, was reelle Zahlen sind, woraus sie bestehen, was sie auszeichnet.. --Joh3.16 00:26, 20. Apr 2004 (CEST)

Du sprichst Tausenden von Menschen aus der Seele. Danke! Wenn es großen Wissenschaftlern, wie z.B. Heisenberg, gelingt, einem Laien eine Vorstellung zu geben, was Quantenphysik ist, dann verstehe ich nicht, warum es nicht gelingen sollte, einem Laien zu erklären, was eine reelle Zahl ist. Man müsste dazu allerdings einmal kurzzeitig von seinem hohen wissenschaftlichen Ross herabsteigen und das fällt vielen Wikipediaautoren verflucht schwer. Man ist dann ein ernst zu nehmender Mathematiker, wenn man auf die Frage: „Opa, was ist eigentlich eine reelle Zahl?“, seinem jungen Enkelkind eine Anwort geben kann.

HarWie (Diskussion) 09:12, 29. Aug. 2016 (CEST)

Ende der Kopie

Lieber HarWie! Digamma hat es recht beobachtet, ich wollte den Beitrag nach unten verschieben, damit er besser sichtbar ist und weil sich die Beiträge oben auf eine Fassung der Einleitung bezogen haben, die es längst nicht mehr gibt, dann habe ich aber vergessen zu speichern, entschuldige.

Zur Sache, ich sehe derzeit verschiedene Möglichkeiten, was man ändern könnte:

• Man könnte erklären, was eine topologische Eigenschaft so in etwa ist, dass sie sich von einer arithmetischen bzw. algebraischen Eigenschaft dadurch unterscheidet, nicht durch Möglichkeiten ausdrückbar zu sein, aus endlich vielen Zahlen weitere zu gewinnen, die in bestimmten arithmetischen Beziehungen zueinander stehen.
• Man könnte auf den Zwischenwertsatz als konkreterer Formulierung des in der Einleitung genannten Prinzips verweisen.
• Man könnte eines der klassischen in Analysis-Vorlesungen und -Lehrbüchern verwendeten Axiome anführen, wie sie weiter unten im Artikel stehen. Mir scheint aber nicht, dass dadurch die Einleitung allgemeinverständlicher würde. Dann hat man relativ willkürlich ausgewählte und kryptische Eigenschaften dort stehen, von denen niemand weiß, was sie für einen Nutzen habe.

Was denkst du? Schöne Grüße --Chricho ¹ ² ³ 22:52, 29. Aug. 2016 (CEST)

Der Hinweis auf topologische Eigenschaften ist nicht hilfreich. Wie wäre es mit "Den reellen Zahlen liegt die Vorstellung eines kontinuierlichen Zahlenstrahls ohne Lücken zu Grunde". Dann die konkrete Erwähnung von Wurzel 2 und Pi als Beispiele und einen geschichtlichen Verweis auf die Erkenntnis, dass man diese nicht als Bruchzahlen darstellen kann. --B-greift (Diskussion) 00:19, 31. Aug. 2016 (CEST)

Wenn du das Wort „Lücke“ präzise fassen willst, musst du wiederum eine topologische Eigenschaft erklären (Zusammenhang zum Beispiel). Ein Allerweltsverständnis von „Lücke“ führt hingegen zu einer schlichtweg falschen Vorstellung (bei einem zu weiten Lückenbegriff, kommt man etwa zu den surrealen Zahlen, nicht den reellen), wie sie leider in deutschen Schulen verbreitet wird. Der antiken griechischen Geometrie zum Beispiel lagen auch Vorstellungen von einem Raum ohne Lücken zugrunde – bloß hat man dort nur über auf gewisse Weise konstruierbare Lücken gesprochen, also einen zu engen Lückenbegriff, um auf die reellen Zahlen zu kommen. Kurzum: Es hängt nur davon ab, was man Lücke nennt, und damit ist das Problem mit der Lückenformulierung bloß verschoben auf einen völlig undefinierten Begriff. --Chricho ¹ ² ³ 15:55, 13. Sep. 2016 (CEST)

Die Einleitung muss aber noch nicht präzise sein. Bzw., eine Präzisierung kann im Anschluss erfolgen. Interessieren würde mich: Inwiefern wird deiner Meinung nach in deutschen Schulen eine falsche Vorstellung verbreitet? --Digamma (Diskussion) 16:38, 13. Sep. 2016 (CEST)

Was ich mitbekommen habe, ist, dass Wurzeln als nichtrationale Zahlen ausgewiesen werden, genau so etwas wie „keine Lücke“ oder „die Zahlengerade“ gesagt wird, und damit so getan wird, als wären die reellen Zahlen aus der Anschauung gegeben.

Vllt. wärs eine Idee, auf die Darstellung in einem Stellenwertsystem in der Einleitung hinzuweisen? Das ist vllt. laienverständlicher. Verrückt, dass mir jetzt erst auffällt, dass über Dezimaldarstellungen ja gar nicht im Artikel gesprochen wird … --Chricho ¹ ² ³ 16:10, 15. Sep. 2016 (CEST)

Auf die Anschauung sollten wir hier in Wikipedia nicht verzichten. Schon gar nicht in den einleitenden Sätzen. Und alle theoretischen Konzepte, die reellen Zahle formal korrekt für die Mathematik einzuführen wollen, beruhen letztendlich auch auf anschauliche Vorstellungen. Z.B. die Einführung über Dedekindsche Schnitte. Meine zweite Anmerkung ist, dass die Gleichsetzung von relleen Zahlen mit Dezimalzahlen eine bekannte Tücke beinhaltet: dass nämlich z.B 0-Komma-9-Peiode die gleiche reelle Zahl wie 1-Komma-0-Periode ist. Natürliche Zahlen als Ziffernfolgen zu verstehen ist dagegen recht unkompliziert. Und wenn wir rational Zahlen mit Bruchzahlen gleichsetzen, hilft es uns, dass wir Bruchzahlen aus dem Konzept des Bruchrechnens verstehen (Kürzen). Bei reellen Zahlen ist es aber schwieriger. Da müssen wir erstmal das Kozept der Grenzwertbildung verstanden haben. --B-greift (Diskussion) 22:38, 15. Sep. 2016 (CEST)

Ich habe überhaupt nichts über Anschaulichkeit (im Allgemeinen) gesagt, sondern nur, dass die bloße Anschauung „Zahlengerade“ einem nichts darüber sagen wird, was reelle Zahlen sind. Mit der Tücke kann man umgehen, da ist ja wirklich einiges an Betriebsblindheit (die ich auch mir anlaste), dass in der Richtung noch gar nichts im Artikel steht. --Chricho ¹ ² ³ 23:23, 15. Sep. 2016 (CEST)

Nochmals : laienfreundliche Artikel

Lieber Chricho,

nun hat sich ja alles geklärt. Ich verkenne natürlich nicht die Schwierigkeit, einem Laien etwas ihm Fremdes zu erklären. Was kann ich bei ihm voraussetzen?Wieviel Gedankenarbeit ist er bereit zu leisten? Mancher will zum geistigen Nulltarif etwas verstehen. Es geht mir einfach darum, dass wir alle, die wir unseren Beitrag leisten, nicht unsere Leser aus dem Blick verlieren. Das Wort Quasselei gilt übrigens auch für uns sogenannte Geisteswissenschaftler. Make it simple and stupid, heißt es im Englischen und es wäre auch für uns Wikipedia-Schreiber kein schlechter Wahlspruch. Eines meiner Lieblingsbücher ist S. P. Thompson: Calculus made easy (dt. Höhere Mathematik und doch verständlich). Er macht uns vor, wie Ihr Mathematiker dem interessierten Laien und damit dem Großteil der Wikipediabenutzer entgegenkommen könnt. Weiterhin frohes Schaffen und viele Grüße.

HarWie (Diskussion) 10:14, 30. Aug. 2016 (CEST)

Unklarer Abschnitt: „Konstruktion der reellen Zahlen aus der euklidischen Geometrie“

Wird da irgend etwas über eine Konstruktion gesagt, wie die Überschrift verspricht? Ich lese zwar: „lassen sich ... als Verhältnisse definieren“. Aber dann kommt: „Ausgangspunkt ist ...“, und dann wird nur noch von Axiomen geredet. Wie man ausgehend von Axiomen etwas konstruiert, müsste unbedingt gesagt werden. Ohne einige Erläuterungen wirkt das widersprüchlich und sollte besser gelöscht werden. Auch „Dedekindscher Schnitt“ und „Fundamentalfolgen“ berufen sich zwar in letzter Instanz auf Axiome, etwa solche, die die rationalen Zahlen beschreiben, die ihrerseits auf die Päano-Axiomen zurückgeführt werden. Damit stehen diese Konstruktionen auf einer intuitiv (hier kein Fachwort!) sehr soliden Grundlage. Wie man etwas Äquivalentes in der Geometrie aufbauen kann, ist mit dem bloßen Stichwort „Verhältnis“ allenfalls ganz schwach angedeutet und sicherlich für niemanden verständlich, der diese Theorie nicht schon gut kennt. Sollte darum so auf keinen Fall stehen bleiben.-- Binse (Diskussion) 01:32, 5. Jul. 2017 (CEST)

Der Abschnitt wurde mit dieser Bearbeitung eingefügt. Ich würde ihn einfach löschen. Im Grunde sagt er, dass man die Punkte einer Geraden mit den reellen Zahlen identifizieren kann. Damit dabei wirklich die reellen Zahlen rauskommen (insbesondere dass die Menge der reellen Zahlen vollständig ist), muss die Geometrie auf einer Grundlage stehen, die das sichert. Ein intuitiver Zugang zur Geometrie genügt dann nicht, auch nicht die Axiome Euklids. Wenn man die Axiome von Hilbert benutzt, dann geht es.

Das macht m.E. Sinn als Veranschaulichung der reellen Zahlen, aber wenig Sinn als Grundlegung der reellen Zahlen. Denn eigentlich war der Zugang Hilberts wohl andersherum: Er hat das Vollständigkeitsaxiom für die Geometrie formuliert, damit es für die Zahlengerade gilt. Und Vorbild war das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen.

Auch dein Einwand bezüglich des Begriffs "Konstruktion" ist voll gerechtfertigt. Man geht hier nämlich auch eigentlich anderesherum vor: Man weist die Widerspruchsfreiheit und Erfüllbarkeit der Axiome der euklidischen Geometrie nach, indem man zeigt, dass $\mathbb {R} ^{2}$ ein Modell ist. --Digamma (Diskussion) 18:45, 5. Jul. 2017 (CEST)

Danke Digamma für Deine Erläuterung! Da wir uns in der Gesamtwertung einig sind, werde ich also löschen. Wenn jemand etwas Fundiertes an diese Stelle setzen möchte, möge er es gerne tun. Übrigens habe ich noch andere Bemerkungen zu diesem Artikel. Vielleicht in einem weiteren Abschnitt.-- Binse (Diskussion) 00:09, 6. Jul. 2017 (CEST)

P.S. Das Meiste habe ich schon erledigt; jedoch siehe unten!-- Binse (Diskussion) 02:22, 6. Jul. 2017 (CEST)

Zur „Konstruktion der reellen aus den rationalen Zahlen“

Während die Konstruktion der reellen Zahlen als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen im Wesentlichen korrekt ist (nur die Identifikation bestimmter Klassen mit rationalen Zahlen wird übersprungen, wodurch die Rolle dieser Zahlen etwas schwammig wird), ist die Konstruktion nach Dedekind hier definitiv unsauber. Als „Definition“ soll nämlich etwas gelten, was man gerne hätte, was es aber (i. A.) leider nicht gibt. Das darf man Dedekind nicht unterstellen. Ich würde statt dessen auf den Artikel Dedekindscher Schnitt verlinken, daneben aber eine salopp intuitive Beschreibung versuchen. Ich finde den Dedekindschen Schnitt nämlich viel anschaulicher als z.B. die Konstruktion mit Cauchy-Folgen.-- Binse (Diskussion) 02:14, 6. Jul. 2017 (CEST)

Mach einfach mal. --Digamma (Diskussion) 22:54, 6. Jul. 2017 (CEST)

reelle und rationale Zahlen

Die reellen Zahlen umfassen die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen.
Die reellen Zahlen haben gegenüber den rationalen Zahlen besondere topologische Eigenschaften.
M.E. kann da etwas nicht stimmen: Wenn rationale Zahlen eine Untergruppe der reellen also auch reelle Zahlen sind, wird versucht reelle Zahlen, mit sich selbst zu vergleichen.
--Idohl (Diskussion) 11:40, 2. Jun. 2021 (CEST)

Das scheint nur so und liegt an der saloppen Ausdrucksweise "die reellen" Zahlen, wo eigentlich "die Menge der reellen Zahlen" oder "der Zahlbereich der reellen Zahlen" gemeint ist.

Nicht die einzelnen reellen oder rationalen Zahlen haben topologische Eigenschaften, sondern die Gesamtheit der reellen Zahlen und die Gesamtheit der rationalen Zahlen haben topologische Eigenschaften. --Digamma (Diskussion) 12:19, 2. Jun. 2021 (CEST)

Ich habe das mal umformuliert. --Digamma (Diskussion) 12:22, 2. Jun. 2021 (CEST)

Mir stößt das immer noch auf: .. die Gesamtheit der reellen Zahlen und die Gesamtheit der rationalen Zahlen haben topologische Eigenschaften.
Als Untergruppe der reellen Zahlen können die rationalen Zahlen keine anderen Eigenschaften als die reellen Zahlen haben, nur andere als die irrationalen, sonst würde man diese ja nicht getrennt von den rationalen aufführen.
Insider können wohl mit salopp (oder inzwischen mit gemindert salopp) geschriebenen Texten leben, WP-Leser aber nicht.
--Idohl (Diskussion) 13:58, 2. Jun. 2021 (CEST)

"Untergruppe" ist eine algebraische Eigenschaft. Topologische Eigenschaften sind aber nicht algebraisch. Die Menge der Reellen Zahlen st z.B. ein vollständiger metrischer Raum, die Menge der rationalen Zahlen ist als metrischer Raum nicht vollständig. Die Menge der reellen Zahlen ist als topologischer Raum lokalkompakt, die Menge der rationalen Zahlen ist das nicht. In der Menge der reellen Zahlen hat jede beschränkte Menge ein Supremum, in der Menge der rationalen Zahlen nicht.

Zu "Insider können wohl mit salopp (oder inzwischen mit gemindert salopp) geschriebenen Texten leben, WP-Leser aber nicht.". Die saloppe Formulierung liegt wohl eher daran, dass man dem Leser den Mengenbegriff ersparen wollte. --Digamma (Diskussion) 14:23, 2. Jun. 2021 (CEST)

Ich habe mal einen irritierenden Satz weggelassen. Kontrolliere bitte.
--Idohl (Diskussion) 17:40, 2. Jun. 2021 (CEST)

Ich habe deine Änderung revertiert. Der erste Teil war falsch, der zweite (dass du den Satz gestrichen hast) konnte ich nicht nachvollziehen. Was ist an dem Satz irritierend? --Digamma (Diskussion) 18:57, 2. Jun. 2021 (CEST)

Abschnitt Einteilung der reellen Zahlen

„Irrationale Zahlen sind beispielsweise die nicht ganzzahligen Wurzeln aus ganzen Zahlen wie ${\sqrt {2}}$ [...]“.

${\sqrt {2}}$ steht ja für ${\sqrt[{2}]{2}}$. Unter „die nicht ganzzahligen Wurzeln“ davor fällt die dann ja nicht, oder? --Geri, ✉  15:30, 14. Jun. 2023 (CEST)

ich verstehe das so: Die Wurzel aus einer natürlichen Zahl ist entweder wieder eine natürliche Zahl oder irrational. Die Wurzel aus 9 ist eben ganzzahlig, die Wurzel aus 2 eben nicht. --Qwertzu111111 (Diskussion) 17:08, 14. Jun. 2023 (CEST)

Verstehe [es jetzt auch so]. Mit „nicht ganzzahlig“ ist das Ergebnis gemeint, nicht der Wurzelexponent der Wurzel. Wobei sich da Wurzel (Mathematik) m.E. selbst nicht ganz einig bzw. uneindeutig ist:

In der Einleitung: „Das Ergebnis des Wurzelziehens bezeichnet man als Wurzel [...]“

Unter Definition, Sprech- und Schreibweisen:

„Hierbei bezeichnet man

• ${\sqrt[{n\,}]{a}}$ als Wurzel, [...]“

(Wobei mir natürlich klar ist, dass die gleichwertig sind, dass eins fürs andere steht, stehen kann.) Beim Addieren bspw. wird ja die Darstellung mit Operanden und Operatoren anders genannt als das Ergebnis als Zahl: Addition und Summe.

--Geri, ✉  23:40, 18. Jun. 2023 (CEST)

Auch die Darstellung wird Summe genannt, nicht nur das Ergebnis. Addition bezeichnet den Vorgang. --Digamma (Diskussion) 21:46, 19. Jun. 2023 (CEST)