Duffin-Schaeffer-Vermutung

Die Duffin–Schaeffer-Vermutung ist ein 2019 von Dimitris Koukoulopoulos und James Maynard bewiesener und ursprünglich 1941 R. J. Duffin und A. C. Schaeffer vermuteter Lehrsatz der analytischen Zahlentheorie.

Aussage

Sei $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}$ eine beliebige Funktion, die positive Werte annimmt. Dann gibt es genau dann für Lebesgue-fast alle $\alpha$ unendlich viele rationale Zahlen ${\tfrac {p}{q}}$ mit teilerfremden $p,q\in \mathbb {N}$ mit

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {f(q)}{q}}$,

wenn

$\sum _{q=1}^{\infty }f(q){\frac {\varphi (q)}{q}}=\infty ,$

mit der Eulerschen Phi-Funktion $\varphi (q)$ gilt.

Die Hinrichtung folgt aus dem Borel-Cantelli-Lemma. Koukoulopoulos und Maynard bewiesen 2019 die Rückrichtung.

Beispiele

Für $f(q)={\frac {1}{q}}$ folgt aus dem Approximationssatz von Dirichlet, dass alle irrationale Zahlen $\alpha$ die gewünschte Eigenschaft haben. Der Satz von Chintschin gibt die Aussage der Duffin-Schaeffer-Vermutung für den Fall, dass $(qf(q))_{q\in \mathbb {N} }$ eine monoton fallende Folge und $\sum _{q=1}^{\infty }f(q)=\infty$ ist.

Literatur

• Duffin-Schaeffer: Khintchine's problem in metric diophantine approximation, Duke Math. J. 8, 243–255 (1941)
• Koukoulopoulos-Maynard: On the Duffin-Shaeffer conjecture, Ann. Math. 192, 251–307 (2020)

Weblinks

• Duffin-Schaeffer conjecture (Encyclopedia of Mathematics)