Eulersche Zahlen

Die Eulerschen Zahlen oder manchmal auch Euler-Zahlen (nach Leonhard Euler) sind eine Folge $E_{n}$ ganzer Zahlen, die durch die Taylorentwicklung der Hyperbelfunktion Secans hyperbolicus

$\operatorname {sech} (x)={\frac {1}{\cosh(x)}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}$

definiert sind. Sie sind nicht zu verwechseln mit den zweiparametrigen Euler-Zahlen $E(n,k)$.

Zahlenwerte

Die ersten Eulerschen Zahlen $E_{n}\neq 0$ lauten

$n$	$E_{n}$
0	1
2	−1
4	5
6	−61
8	1385
10	−50521
12	2702765
14	−199360981
16	19391512145
18	−2404879675441
20	370371188237525

Alle Eulerschen Zahlen mit ungeradem Index sind Null, während diejenigen mit geradem Index alternierendes Vorzeichen haben. Ferner besitzen die positiven Werte, mit Ausnahme von E₀ bei Division durch 10 den Rest 5 und die negativen Werte modulo 10 den Rest −1 bzw. Wert 9.

Manche Autoren lassen die Zahlen mit ungeradem Index ganz weg, halbieren die Indizes sozusagen, da dort die Werte mit 0 nicht betrachtet werden, und definieren ihre Euler-Zahlen als verbleibende Folge. Manchmal werden die Eulerschen Zahlen auch so definiert, dass sie alle positiv sind, sprich unseren $(-1)^{n}E_{2n}$ entsprechen.

Eigenschaften

Asymptotisches Verhalten

Für das asymptotische Verhalten der Eulerschen Zahlen gilt

$E_{2n}\sim (-1)^{n}\,8\,{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}=(-1)^{n}{\frac {\sqrt {e}}{2}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n+{\frac {1}{2}}}$

oder präziser

${\frac {E_{2n}}{(2n)!}}\sim 2\,(-1)^{n}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}$

mit der ~-Äquivalenz-Notation.

Rekursionsgleichung

Eine leicht zu merkende Form der Rekursionsgleichung mit dem Startwert $E_{0}=1$ lautet

$\forall \,n\in \mathbb {N} \colon \quad (E+1)^{n}+(E-1)^{n}=0$

wobei $E^{n}$ als $E_{n}$ zu interpretieren ist und woraus

$\forall \,n\in \mathbb {N} \colon \quad \sum _{k=0}^{n}\left(1+(-1)^{n-k}\right){n \choose k}E_{k}=0$

bzw. durch Indextransformation die explizite Gestalt

$\forall \,n\in \mathbb {N} \colon \quad E_{n}=-\sum _{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor }{n \choose 2k}E_{n-2k}$

folgt.

Geschlossene Darstellungen

Die Eulerschen Zahlen lassen sich sogar exakt

$\forall \,n\in \mathbb {N} _{0}\colon \quad E_{2n}={\frac {(2n)!\,2^{2n+2}}{(-1)^{n}\pi ^{2n+1}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)^{2n+1}}}={\frac {(2n)!\,2}{(-1)^{n}(2\pi )^{2n+1}}}\left(\zeta (2n+1,{\tfrac {1}{4}})-\zeta (2n+1,{\tfrac {3}{4}})\right)$

mittels der Hurwitzschen Zetafunktion $\zeta$ falls $n\not =0$ ist, darstellen. Und unter Ausnutzung ihrer Funktionalgleichung (dort mit m=1, n=4) die elegante Beziehung

$E_{2n}=4^{2n+1}\zeta (-2n,{\tfrac {1}{4}})$

aufstellen, die diese Zahlen als skalierte Funktionswerte dieser auf $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ holomorphen Funktion identifiziert. Somit erhalten wir auch

$E_{2n}=-4^{2n+1}{\frac {B_{2n+1}({\tfrac {1}{4}})}{2n+1}}$

was einen direkten Zusammenhang mit den Bernoulli-Polynomen $B_{n}(x)$ und somit zu den Bernoulli-Zahlen herstellt. Außerdem gilt

$E_{2n}={\frac {(-1)^{n}4^{n+1}(2n)!}{\pi ^{2n+1}}}\cdot \beta (2n+1),$

wobei $\beta (s)$ die Dirichletsche Betafunktion bezeichnet.

Eulersche Polynome

Nicht zu verwechseln mit den Euler-Polynomen

Die Eulerschen Polynome ${\text{E}}_{n}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ werden meistens durch ihre erzeugende Funktion

${\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\text{E}}_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}$

implizit definiert. Die ersten lauten

${\text{E}}_{0}(x)=1$

${\text{E}}_{1}(x)=x-{\tfrac {1}{2}}$

${\text{E}}_{2}(x)=x^{2}-x=x(x-1)$

${\text{E}}_{3}(x)=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{4}}={\tfrac {1}{4}}(2x-1)(2x^{2}-2x-1)$

${\text{E}}_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x=x(x-1)(x^{2}-x-1)$

${\text{E}}_{5}(x)=x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}(2x-1)(x^{2}-x-1)^{2}$

${\text{E}}_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x=x(x-1)(x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+3x+3)$

Man kann sie aber auch zu ${\text{E}}_{0}(x)=1$ und dann für $n\in \mathbb {N}$ über die Gleichung

${\text{E}}_{n}(x)=\int _{c}^{x}n{\text{E}}_{n-1}(t)\,{\text{d}}t$

induktiv definieren, wobei die untere Integrationsgrenze $c$ für ungerades $n$ 1/2 ist und für gerades $n$ Null ist.

Die Eulerschen Polynome sind symmetrisch um ${\tfrac {1}{2}}$, d. h.

${\text{E}}_{n}({\tfrac {1}{2}}+x)=(-1)^{n}{\text{E}}_{n}({\tfrac {1}{2}}-x)\qquad {\text{bzw.}}\qquad {\text{E}}_{n}(x+1)=(-1)^{n}{\text{E}}_{n}(-x)$

und ihre Funktionswerte an den Stellen ${\tfrac {1}{2}}$ und $0$ der Beziehung

${\text{E}}_{n}({\tfrac {1}{2}})=2^{-n}E_{n}$

und

${\text{E}}_{n-1}(0)=(2^{n+1}-2){\frac {B_{n}}{n}}$

genügen, wobei $B_{n}$ die Bernoulli-Zahl zweiter Art bezeichnet. Ferner haben wir die Identität

${\text{E}}_{n}(x+1)+{\text{E}}_{n}(x)=2x^{n}$

Das Eulersche Polynom ${\text{E}}_{n}$ hat für $n>5$ weniger als $n$ reelle Nullstellen. So hat zwar ${\text{E}}_{5}$ fünf (allerdings zwei doppelte, sprich nur drei verschiedene), aber schon ${\text{E}}_{6}$ nur die zwei (trivialen) Nullstellen bei 0 und bei 1. Sei $R(n)=\{x\in \mathbb {R} \colon {\text{E}}_{n}(x)=0\}$ die Nullstellenmenge. Dann ist

$-{\tfrac {1}{2}}|R(n)|+1\leq \min R(n)\leq \max R(n)\leq {\tfrac {1}{2}}|R(n)|$

– wobei im Fall n=5 die Anzahl $|R(5)|$ als 5 zu bewerten ist, da die Nullstellen mit ihrer Vielfachheit gezählt werden müssen – und es gilt

$\lim _{n\to \infty }{\frac {|R(n)|}{n}}={\frac {2}{\pi e}}\approx 0{,}2342$

wobei die Funktion $|\cdot |$ angewandt auf eine Menge eigentlich deren Elementanzahl angibt.

Vorkommen

Taylorreihen

Die Folge der Eulerschen Zahlen $E_{n}$ tritt zum Beispiel in der Taylorentwicklung von

$\sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}={\frac {1}{\cosh(\mathrm {i} \,x)}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}E_{2n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

auf. Sie ist verwandt mit der Folge der Bernoulli-Zahlen $B_{n}$, was man auch an der Darstellung

$\operatorname {csch} (x)={\frac {1}{\sinh(x)}}=\sum _{n=0}^{\infty }(2-2^{n})B_{n}{\frac {x^{n-1}}{n!}}$

erkennt. Aus dem Konvergenzradius der Taylorentwicklung der Sekans-funktion – der Cosinus im Nenner dort wird 0 bei ${\tfrac {\pi }{2}}$ – von ${\tfrac {\pi }{2}}$ folgt aus dem Wurzelkriterium das $\limsup \log \left|{\tfrac {E_{n}}{n!}}\right|\sim n\log \left({\tfrac {2}{\pi }}\right)$ asymptotisch gelten muss. Sie treten natürlich auch in den Taylorreihen der höheren Ableitungen vom Secans hyperbolicus bzw. der Gudermannfunktion auf.

Integrale

Auch bei manchen uneigentlichen Integralen treten sie auf; beispielsweise bei dem Integral

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\ln ^{n}(x)}{1+x^{2}}}\,dx=|E_{n}|\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{n+1}$.

Permutationen

Die Eulerschen Zahlen kommen beim Zählen der Anzahl alternierender Permutationen mit gerader Elementanzahl vor. Eine alternierende Permutation von Werten ist eine Auflistung dieser Werte $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{2n}$, so dass diese Permutation kein Tripel $a_{j-1},a_{j},a_{j+1}$ mit $1<j<2n$ enthält, das geordnet ist. Allgemein gilt für die Anzahl $A_{2n}$ der alternierenden Permutationen von $2n$ Elementen (die vergleichbar sind)

$A_{2n}=2|E_{2n}|$,

wobei der Faktor zwei dadurch entsteht, dass man jede Permutation durch Umdrehen der Reihenfolge in eine andere alternierende Permutation überführen kann. Für eine beliebige (also auch ungerade) Anzahl $n\in \mathbb {N} _{0}$ gilt

$A_{n}=2\,n!\,\alpha _{n}$

mit $\alpha _{0}=\alpha _{1}=1$ und

$\alpha _{n}={\frac {1}{2n}}\sum _{j=0}^{n-1}\alpha _{j}\alpha _{n-1-j}$

für $n\geq 2$, womit man einen weiteren effizienten Algorithmus auch zur Bestimmung der $E_{2n}$ erhält. Für ungerades $n$ werden die Werte ${\tfrac {A_{n}}{2}}$ auch Tangentenzahlen genannt.

Literatur

• J. M. Borwein, P. B. Borwein, K. Dilcher, Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions, AMM, V. 96, No. 8, (Oct. 1989), pp. 681–687

Weblinks

• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Eric W. Weisstein: Eulersche Zahlen. In: MathWorld (englisch).
• Folge A122045 in OEIS