Das Fünfzehneck oder Pentadekagon (von altgriechisch πεντεκαίδεκα pentekaídeka, deutsch ‚fünfzehn‘ und γωνία gōnía, deutsch ‚Winkel, Ecke‘)[1] ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon). Es ist bestimmt durch fünfzehn Eckpunkte und deren fünfzehn Verbindungen namens Strecken, Seiten oder Kanten.

Regelmäßiges Fünfzehneck
Regelmäßiges Fünfzehneck

Variationen

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Das Fünfzehneck ist darstellbar als:

  • konkaves Fünfzehneck, in dem mindestens ein Innenwinkel größer als 180° ist. Ein Fünfzehneck kann höchstens sieben solche Winkel haben.
  • konvexes Fünfzehneck, in dem alle Innenwinkel kleiner als 180° sind. Ein konvexes Fünfzehneck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.
  • Sehnenfünfzehneck, in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, aber die Seitenlängen möglicherweise ungleich sind.
  • regelmäßiges Fünfzehneck: Es ist bestimmt durch fünfzehn Punkte auf einem virtuellen oder realen Kreis. Die benachbarten Punkte haben zueinander stets den gleichen Abstand und sind mittels aneinandergereihten Strecken, auch Seiten oder Kanten genannt, verbunden.
  • regelmäßiges überschlagenes Fünfzehneck: Es ergibt sich, wenn beim Verbinden der fünfzehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen  , wobei   die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder  -te Punkt verbunden wird.
Es gibt nur drei regelmäßige Fünfzehnstrahlsterne.
Die „Sterne“ mit den Symbolen {15/3} und {15/12} sind regelmäßige Fünfecke, {15/5} und {15/10} gleichseitige Dreiecke und {15/6} und {15/9} regelmäßige Pentagramme.

Regelmäßiges Fünfzehneck

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Das regelmäßige Fünfzehneck ist nach Carl Friedrich Gauß und Pierre-Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon, da die Anzahl seiner Seiten als Produkt paarweise voneinander verschiedener Fermatscher Primzahlen ( ) darstellbar ist.[2] Wie beim regelmäßigen Fünfeck ist der Goldene Schnitt der maßgebende Baustein für eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal.

Größen

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Größen eines regelmäßigen Fünfzehnecks
Innenwinkel  

 

Zentriwinkel

(Mittelpunktswinkel)

 
Seitenlänge  
Umkreisradius  
Inkreisradius  
Höhe  
Flächeninhalt  

Mathematische Zusammenhänge

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Innenwinkel

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Die allgemeine Formel für Polygone liefert:

 

Dieser Wert lässt sich auch durch folgende Überlegungen herleiten:

Das Fünfzehneck lässt sich in fünfzehn Dreiecke teilen, deren Seiten jeweils eine Seite des Fünfzehnecks   und die Verbindungsstrecken seines Mittelpunktes mit den zwei Endpunkten der Seite sind. Die Winkel am Mittelpunkt des Fünfzehnecks addieren sich zu   sein Zentriwinkel beträgt also   Da die Winkelsumme in einem Dreieck immer   beträgt und das Dreieck gleichschenklig und damit symmetrisch zur Halbierenden des Zentriwinkels ist, schließen die beiden unbekannten Winkel jeweils   ein. Da das für alle fünfzehn Dreiecke gilt, addieren sich die beiden Winkel an einem Eckpunkt zu  .

Zentriwinkel

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Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel   wird von zwei benachbarten Umkreisradien   eingeschlossen. In der allgemeinen Formel ist für die Variable   die Zahl   einzusetzen.

 

Seitenlänge und Umkreisradius

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Wieder wird das Fünfzehneck in 15 kongruente Dreiecke zerlegt. Nimmt man die Hälfte eines solchen Dreiecks, also ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten  ,   und   sowie mit dem halben Zentriwinkel   so gilt

 

Aus dieser Beziehung folgt

 

Löst man nach   auf, so erhält man

 

Algebraische Ausdrücke für   bzw.   finden sich in den Abschnitten Berechnung der Seitenlänge und Berechnung des Umkreisradius.

Inkreisradius

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Auch der Inkreisradius   lässt sich mithilfe eines halbierten Bestimmungsdreiecks ermitteln. Es ergibt sich

 .

Durch Multiplikation mit   erhält man

 

und weiter

 

wegen

 

gilt auch

 

Algebraische Ausdrücke für   bzw.   finden sich im Abschnitt Berechnung des Inkreisradius.

Die Höhe h eines regelmäßigen Fünfzehneckes ist die Summe aus In- und Umkreisradius, da die Verlängerung der Höhe eines Teilstückes über den Mittelpunkt des Fünfzehnecks hinaus auf einen Eckpunkt trifft.

 

Flächeninhalt

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Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich zu  . Für eines der 15 Bestimmungsdreiecke ist die Höhe   gleich dem Inkreisradius  . Der Flächeninhalt des gesamten Fünfzehnecks beträgt also

 

Zusammen mit dem in Berechnung des Inkreisradius hergeleiteten Ausdruck für   folgt daraus

 

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis

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In der hier dargestellten Konstruktion werden ein gleichseitiges Dreieck   (Schritte 1–3) und die ersten vier Punkte eines regelmäßigen Fünfecks   (Schritte 4–6) in den gegebenen Umkreis eingepasst.   ist dann die Seite eines regelmäßigen Fünfzehnecks im gegebenen Umkreis. Diese Art der Konstruktion beschrieb schon Euklid in seinem Werk Elemente (Die Stoicheia) im IV Buch; die Konstruktionsdetails des Dreiecks und Fünfecks weichen jedoch von seiner Konstruktion ab.[3] Das Bestimmen der ersten Seite des Fünfzehnecks entspricht der Darstellung von Johannes Kepler[4].

  bezeichnet die Strecke zwischen den Punkten   und  

Konstruktionsskizze
Animation der Skizze

Ist ein Kreis   (der Umkreis um das entstehende Fünfzehneck) um den Mittelpunkt   gegeben, lässt sich ein regelmäßiges Fünfzehneck konstruieren durch:

  1. Zeichnen eines Durchmessers; Schnittpunkte mit   sind   und  
  2. Konstruktion eines Radius, der orthogonal zu   steht; Schnittpunkt mit   ist  
  3. Konstruktion eines Kreisbogens um   mit dem Radius  ; Schnittpunkte mit   sind   und  
  4. Zeichnen von  ; Schnittpunkt mit   ist  
  5. Zeichnen eines Kreisbogens um   mit dem Radius  ; Schnittpunkt mit   ist  
  6. viermaliges Abtragen der Strecke   auf   ab   entgegen dem Uhrzeigersinn; Schnittpunkte mit   sind  ,  ,  , und  ; die Verbindung der Eckpunkte   mit   ergibt die erste Seite des entstehenden Fünfzehnecks
  7. achtmaliges Abtragen der Sehne   von   auf   ab   entgegen dem Uhrzeigersinn; die Schnittpunkte mit   sind die restlichen Eckpunkte  ,  ,  ,  ,  ,  ,   und   des Fünfzehnecks
  8. Verbinden der so gefundenen Punkte.

Berechnung der Seitenlänge

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Die in obiger Tabelle angegebene Formel   für die Seitenlänge leitet sich wie folgt her:

 

  Gleichseitiges Dreieck  

  (Umkreisradius)
  nach Konstruktion, Schritt 3
 

  Rechtwinkliges Dreieck  

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras:  
 
 

  Rechtwinkliges Dreieck  

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras:  
 
  nach Konstruktion, Schritt 5
 

  Rechtwinkliges Dreieck  

  bezeichnet den von   und   eingeschlossenen Winkel  :
 
 
Nach dem Satz des Thales ist das Dreieck   rechtwinklig, wieder gilt nach dem Satz des Pythagoras:  
 
 
 
 

  Gleichschenkliges Dreieck  

  (Seitenlänge)
 
  aus (4.4)
  aus (4.5)

Zur Berechnung der Seitenlänge benötigt man den Wert von  , der sich mithilfe der Additionstheoreme berechnen lässt:

 

Damit ergibt sich für die Seitenlänge:

 

Berechnung des Inkreisradius

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Die in obiger Tabelle angegebene Formel   für den Inkreisradius leitet sich wie folgt her:

 

  Rechtwinkliges Dreieck  

  aus Mathematische Zusammenhänge, Inkreisradius
 
  aus Berechnung der Seitenlänge (6.1)

Zur Berechnung des Inkreisradius benötigt man für den Term   zuerst den Wert von   der sich mithilfe der Additionstheoreme berechnen lässt:

 

Die folgende hergeleitete Beziehung lässt sich zur Umformung von Rechenausdrücken verwenden.

    denn es gilt

 

 

 

Zur abschließenden Berechnung des Inkreisradius wird nun der Wert von   ermittelt.

 

  • Aus Gründen der besseren Übersicht sind acht dazwischenliegende Berechnungsschritte nur im Bearbeitungsmodus sichtbar!
 

Damit ergibt sich für den Inkreisradius  

 


Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebener Seitenlänge

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Die Konstruktion ist nahezu gleich mit der des Fünfecks bei gegebener Seitenlänge, auch darin gelingt die Darstellung mittels Verlängerung der Seite und einer damit generierten Strecke, hier   die nach dem Goldenen Schnitt, äußere Teilung geteilt ist.

  bezeichnet die Strecke zwischen den Punkten   und  

Konstruktionsskizze
Animation der Skizze

Ist eine Seite eines Fünfzehnecks gegeben, lässt sich ein regelmäßiges Fünfzehneck konstruieren durch:

  1. Bezeichnen der Streckenenden mit   und  ; beide sind Eckpunkte des entstehenden Fünfzehnecks
  2. Verlängern der Strecke   ab   um ca. einer Länge dieser Strecke
  3. Zeichnen eines Kreisbogens um   mit dem Radius  
  4. Konstruktion einer Senkrechten zur Strecke   ab  ; Schnittpunkt mit dem Kreisbogen um   ist  
  5. Zeichnen eines Kreisbogens um   mit dem Radius  ; Schnittpunkte mit Kreisbogen um   sind   und  
  6. Zeichnen einer geraden Linie ab   durch   (Mittelsenkrechte von  ), die etwas mehr als dreimal so lang wie   ist; Schnittpunkt mit   ist  
  7. Zeichnen eines Kreisbogens um   mit dem Radius  ; Schnittpunkt mit Verlängerung der Strecke   ist  
  8. Zeichnen eines Kreisbogens um   mit dem Radius  ; Schnittpunkt mit der geraden Linie (ab   durch  ) ist  
  9. Zeichnen eines kurzen Kreisbogens um   mit dem Radius  ; Schnittpunkt mit Verlängerung der Strecke   ist  , der Mittelpunkt des Umkreises des entstehenden Fünfzehnecks
  10. Zeichnen des Umkreises   um   mit dem Radius  ; Schnittpunkt mit dem Kreisbogen um   ist Eckpunkt  
  11. elfmaliges Abtragen der Sehne   von   auf  ; Schnittpunkte mit   sind die Eckpunkte   des Fünfzehnecks
  12. Verbinden der so gefundenen Eckpunkte.

Berechnung des Umkreisradius

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Die in obiger Tabelle angegebene Formel   für den Umkreisradius leitet sich wie folgt her:

 

  (Seitenlänge)

 

  Rechtwinkliges Dreieck  

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras:  
 
  nach Konstruktion, Schritt 7

 

 

  nach Konstruktion, Schritt 8
 

  Rechtwinkliges Dreieck  

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras:  
 

  Rechtwinkliges Dreieck  

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras:  
 

Nach Konstruktion, Schritt 9 gilt für den Umkreisradius  

 

Der Goldene Schnitt im Fünfzehneck

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Sowohl in der Konstruktion bei gegebenem Umkreis als auch in der bei gegebener Seitenlänge wird der Goldene Schnitt zur Bestimmung von Konstruktionselementen verwendet.

Teil der Konstruktionsskizze bei gegebenem Umkreis
Teil der Konstruktionsskizze bei gegebener Seitenlänge
  • In der Konstruktion bei gegebenem Umkreis teilt der Punkt   die Strecke   im Verhältnis des Goldenen Schnittes:
 
  • In der Konstruktion bei gegebener Seitenlänge wird die Seite derart verlängert, dass sie die längere Strecke des Verhältnisses ist:
 

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Wilhelm Pape, Max Sengebusch (Bearb.): Handwörterbuch der griechischen Sprache. 3. Auflage, 6. Abdruck. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 (zeno.org [abgerufen am 2. Juli 2024]).
  2. Jürgen Köller: Regelmäßiges Vieleck. In: Mathematische Basteleien. 2005, abgerufen am 4. Oktober 2015.
  3. Johann Karl Friedrich Hauff: EUKLIDS ELEMENTE. DAS ERSTE BIS ZUM SECHSTEN, SAMMT DEM EILFTEN UND ZWOELFTEN BUCHE. neue academische Buchhandlung, Marburg 1807, S. 129 f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  4. Johannes Kepler: WELT-HARMONIK. XLIV. Satz., Seite des Fünfzehnecks, Seite 44, aus dem Internet Archive regeneriert. In: Google Books. R. OLDENBURG VERLAG 2006, übersetzt und eingeleitet von MAX CASPAR 1939, S. 401, abgerufen am 19. Juli 2019.