Schläfli-Symbol

Notation zur Beschreibung regulärer Polygone, Polyeder und anderer Vielflächner

Das Schläfli-Symbol, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Ludwig Schläfli, wird in der Form benutzt, um reguläre Polygone, Polyeder und andere Vielflächner, auch in höheren Dimensionen, zu beschreiben.

Wenn eine natürliche Zahl ist, beschreibt das Symbol ein regelmäßiges Polygon (-Eck).

Ist ein nicht notwendig gekürzter Bruch, dann beschreibt es einen Stern.

Das Symbol beschreibt eine Pflasterung mittels regelmäßiger -Ecke, wobei angibt, wie viele solcher Polygone an jeder Ecke zusammenstoßen.

Die Inversion eines Schläfli-Symbols liefert das dazu duale Polygon.

Beispiele

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  bezeichnet einen Punkt.

  bezeichnet eine Strecke.

  bezeichnet ein regelmäßiges  -Eck 

Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen  , wobei   die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder  -te Punkt verbunden wird.

Beispiel

Der Fünfstrahlstern ergibt sich, wenn beim Verbinden der fünf Eckpunkte jedes Mal

  • immer einer (beim  ) oder
  • immer zwei Punkte (beim  ) übersprungen werden und dadurch die erzeugten Sehnen gleich lang sind.
keine vom Dreieck
keine vom Viereck
1 Pentagramm
vom Fünfeck
 
oder
 
 
keine vom Sechseck
2 Heptagramme
vom Siebeneck
 
oder
 
 
 
oder
 
 
1 Oktogramm
vom Achteck
 
oder
 
 
2 Ennea-
gramme

vom Neuneck
 
oder
 
 
 
oder
 
 
1 Dekagramm
vom Zehneck
 
oder
 
 
4 Hendeka-
gramme
vom Elfeck
 
oder
 
 
 
oder
 
 
 
oder
 
 
 
oder
 
 
1 Dodeka-
gramm
vom Zwölfeck
 
oder
 
 
5 Trideka-
gramme
vom 13-Eck
 
oder
 
 
 
oder
 
 
 
oder
 
 
 
oder
 
 
 
oder
 
 
2 Tetradeka-
gramme
vom 14-Eck
 
oder
 
 
 
oder
 
 
3 Pentadeka-
gramme
vom 15-Eck
 
oder
 
 
 
oder
 
 
 
oder
 
 
3 Hexadeka-
gramme
vom 16-Eck
 
oder
 
 
 
oder
 
 
 
oder
 
 
7 Heptadeka-
gramme
vom 17-Eck
 
oder
 
 
 
oder
 
 
 
oder
 
 
 
oder
 
 
 
oder
 
 
 
oder
 
 
 
oder
 
 
2 Oktodeka-
gramme
vom 18-Eck
 
oder
 
 
 
oder
 
 
8 Enneadeka-
gramme
vom 19-Eck
 
oder
 
 
 
oder
 
 
 
oder
 
 
 
oder
 
 
 
oder
 
 
 
oder
 
 
 
oder
 
 
 
oder
 
 
3 Ikosa-
gramme
vom 20-Eck
 
oder
 
 
 
oder
 
 
 
oder
 
 
5 Ikosihen-
gramme
vom 21-Eck
 
oder
 
 
 
oder
 
 
 
oder
 
 
 
oder
 
 
 
oder
 
 
04 Doikosagramme vom 22-Eck
10 Trikosagramme vom 23-Eck
03 Tetraikosagramme vom 24-Eck

 : p ist die Zahl der Ecken des verwendeten Polygons; q ist die Zahl der an einer Ecke zusammenstoßender Polygone

  bezeichnet das selbstduale Tetraeder.

  bezeichnet das Oktaeder, die Inversion   den zum Oktaeder dualen Würfel.

  bezeichnet das Ikosaeder, die Inversion   das zum Ikosaeder duale Dodekaeder.

  bezeichnet die Dreieckparkettierung, die Inversion   die zur Dreieckparkettierung duale Sechseckparkettierung.

  bezeichnet die selbstduale Quadratparkettierung.

  • Das entscheidende Merkmal, worin sich das Schläfli-Symbol eines Platonischen Körpers   von dem eines Platonischen Parketts   unterscheidet, ist, dass für einen Körper   gilt, für ein Parkett hingegen  .

  bezeichnet das Große Ikosaeder, die Inversion   das zum Großen Ikosaeder duale Große Sterndodekaeder.

  bezeichnet das Große Dodekaeder, die Inversion   das zum Großen Dodekaeder duale Kleine Sterndodekaeder.

  bezeichnet das Pentachoron,

  den vierdimensionalen Würfel (Tesserakt), das Duale   dazu den regulären 16-Zeller (Hexadekachor),

  den regulären 24-Zeller (Ikositetrachor).

Mehrdimensionale Körper

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  oder   bezeichnet das 5-Simplex .

  oder   bezeichnet das 6-Simplex .

  bezeichnet das d-Simplex .

Siehe auch

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Literatur

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