Formelsammlung Analysis

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Arithmetische und geometrische Folgen

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Arithmetische Folge
 
 
 
Geometrische Folge
 
 
 

Grenzwerte: Definition (Folgen)

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  • Die Folge   heißt Nullfolge, wenn es zu jedem   eine Nummer   gibt, sodass für alle Folgeglieder mit höherer Nummer, also   gilt:
 
  • Eine Folge   hat den Grenzwert a, wenn die Folge   den Grenzwert 0 hat.
  • Folgen ohne Grenzwert heißen divergent.
  • Eine Folge heißt beschränkt, wenn es eine Zahl   gibt, sodass   für alle   gilt.

Grenzwertsätze (Folgen)

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Hat die Folge   den Grenzwert a, die Folge   den Grenzwert b, so gilt:

  •  
  •  
  •  

Funktionen (formale Eigenschaften)

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  • [Definition, Eigenschaften, Grenzwertsätze analog]

Sei  

Voraussetzungen:

  • Es gibt eine Stelle  , sodass   und   entweder Null sind oder bestimmt divergieren
  •   und   sind in einer Umgebung von   differenzierbar
  • Der Grenzwert   existiert.

Dann gilt:

 

Einseitige Grenzwerte

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Die Funktion   hat für   den Limes  , wenn es zu jedem (noch so kleinen)   ein   gibt, sodass für alle  -Werte aus dem Definitionsbereich   von  , die der Bedingung   genügen, auch   gilt.

In diesem Falle nennt man den Grenzwert   konvergent.

Eine Funktion   heißt an einer Stelle   stetig, wenn der Grenzwert von   für   gegen   existiert und mit dem Funktionswert   übereinstimmt

 
  • Epsilon-Delta-Kriterium:  ist stetig in  , wenn
    zu jedem   ein   existiert, so dass für alle   mit   gilt:  .
  • Folgenkriterium:   ist stetig in  , wenn für jede Folge   mit Elementen  , die gegen   konvergiert, auch   gegen   konvergiert.

Grundlegendes

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Zwischenwertsatz
Eine im Intervall   ( ) stetige Funktion   nimmt jeden Funktionswert zwischen   und   mindestens einmal an.

Spezialfall: Nullstellensatz

Eine in   stetige Funktion, bei der   und   verschiedene Vorzeichen haben, hat dort mindestens eine Nullstelle.
Extremwertsatz
Eine in einem Intervall stetige Funktion hat dort stets einen größten und einen kleinsten Funktionswert.
Mittelwertsatz
Es sei   auf dem abgeschlossenen Intervall   ( ) stetig und differenzierbar. Dann gibt es mindestens ein  , so dass
 
gilt.

Differenzierbarkeit: Definitionen

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Eine Funktion   ist genau dann differenzierbar an einer Stelle   ihres Definitionsbereichs, wenn der Grenzwert

 

existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von   an der Stelle  .

Geometrisches: Tangenten

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Tangentengleichung zu   im Punkt  
 
Normale (Senkrechte)
 

Ableitungsregeln

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Konstante Funktion
 
Faktorregel
 
Summenregel
 
Produktregel
 
Quotientenregel
 
Potenzregel
 
Kettenregel
 
Ableitung der Potenzfunktion  
 .
Leibnizsche Regel
Die Ableitung  -ter Ordnung für ein Produkt aus zwei  -fach differenzierbaren Funktionen   und   ergibt sich aus
 .
Die hier auftretenden Ausdrücke der Form   sind Binomialkoeffizienten.
Formel von Faà di Bruno
Diese Formel ermöglicht die geschlossene Darstellung der  -ten Ableitung der Komposition zweier  -fach differenzierbarer Funktionen. Sie verallgemeinert die Kettenregel auf höhere Ableitungen.

Ableitungen wichtiger Funktionen

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siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Geometrische Anwendungen: Eigenschaften von Kurven (Kurvendiskussion)

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Betrachtet wird  

Untersuchungsaspekt Kriterium
Nullstelle  
Extremwert  
Minimum  
Maximum  
Wendepunkt  
Sattelpunkt  
Verhalten im Unendlichen  
Symmetrie
Achsensymmetrie zur Koordinatenachse („gerade“)  
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung („ungerade“)  
Monotonie
monoton steigend bzw. streng monoton steigend  
monoton fallend bzw. streng monoton fallend  
Krümmung
Linkskrümmung/Konvexbogen (nach oben offen)  
Rechtskrümmung/Konkavbogen (nach unten offen)  
Periodizität  

Funktionsterm:

 
  • Einteilung
    • Ist das Nennerpolynom   vom Grad 0 (also n = 0 und b0 ≠ 0) und ist   nicht das Nullpolynom, so spricht man von einer ganzrationalen oder einer Polynomfunktion.
    • Ist n > 0 , so handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion.
    • Ist n > 0 und z < n, so handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion.
    • Ist n > 0 und zn, so handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion. Sie kann mittels Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion aufgeteilt werden.
  • Definitionsbereich
    •  
  • Asymptotisches Verhalten: Für   strebt  
    • [falls  ] gegen  , wobei sgn die Vorzeichenfunktion bezeichnet.
    • [falls  ] gegen  
    • [falls  ] gegen 0 (die x-Achse)
  • Symmetrie
    • Sind   und   beide gerade oder beide ungerade, so ist   gerade (symmetrisch zur y-Achse).
    • Ist   gerade und   ungerade, so ist   ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung); Gleiches gilt, wenn   ungerade und   gerade ist.
  • Polstellen:   heißt Polstelle von  , wenn
    •  
  • Asymptoten: Mittels Polynomdivision von   durch   erhält man   mit Polynomen   und  , wobei der Grad von   kleiner als der von   ist. Das asymptotische Verhalten von   ist damit durch die ganzrationale Funktion   bestimmt:
    •   x-Achse ist Asymptote:  
    •   waagerechte Asymptote:  
    •   schräge Asymptote:  
    •   ganzrationale Näherungsfunktion

Flächenberechnung

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Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f(x) im Intervall von a bis b ist

  •  
  •  
  • Andernfalls ist das Intervall durch Bestimmung der Nullstellen in solche Teilintervalle zu zerlegen.

Eigenschaften des bestimmten Integrals

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Integralfunktion
 
Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
 
Stammfunktion
Jede Funktion   heißt Stammfunktion von  , wenn für alle x des Definitionsbereichs gilt
 
Dies bezeichnet der Ausdruck  
Integration
Ist F irgendeine Stammfunktion von f, so gilt
 

Spezielle Stammfunktionen

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Die Stammfunktionen von   sind

 

Alles weitere siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Integrationsmethoden

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Produkt-, Teil- oder partielle Integration

  • unbestimmt
     
     
  • bestimmt
     

Integration durch Substitution

  • unbestimmt
     
  • bestimmt
     
  • Spezialfall: lineare Substitution
     
     
  • Spezialfall: logarithmische Integration
     

Angewandtes

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Volumenbestimmung

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  • Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a,b]
     
  • Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen der umkehrbaren Funktion f und der y-Achse im Intervall [a,b]
     
  • Volumen des Körpers, der bei y-Rotation der Fläche, welche durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], der x-Achse und den beiden Geraden   und   begrenzt wird, entsteht
     
  Oberflächeninhalt
  Volumen
  Länge der erzeugenden Linie (Profillinie)
  Flächeninhalt der erzeugenden Fläche
  Radius des Schwerpunktkreises
Erste Regel
 

Ausgedrückt in Abhängigkeit von der Funktion f(x) der erzeugenden Linie ergibt sich dies als:

  • bei Rotation um die x-Achse
     
  • bei Rotation um die y-Achse
     
Zweite Regel
 

Im Fall der Rotation um die x-Achse einer Fläche zwischen  , der x-Achse und den Grenzen   und   ergibt sich das Volumen ausgedrückt durch   mit   als Flächenschwerpunkt zu

 

mit   und  

Weiteres

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  • Ist f auf [a,b] stetig, so heißt   der Mittelwert der Funktionswerte von f auf  
     
  • Länge des Bogens der differenzierbaren Funktion f im Intervall [a,b]:
     

Näherungsweises Berechnen von Integralen: Numerische Integration

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  • Zerlegungssummen
     
  • Keplersche Fassregel
     
  • Trapezregel
    • Sehnentrapez
     
     
    • Tangententrapez
     
  • Simpsonregel