Hölder-Ungleichung

mathematischer Satz

In der mathematischen Analysis gehört die Höldersche Ungleichung zusammen mit der Minkowski-Ungleichung und der jensenschen Ungleichung zu den fundamentalen Ungleichungen für Lp-Räume. Sie wurde zuerst von Leonard James Rogers im Jahre 1888 bewiesen, benannt ist sie nach Otto Hölder, der sie ein Jahr später veröffentlichte[1].

Höldersche Ungleichung

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Gegeben sei ein Maßraum   und messbare Funktionen

 

Für   und mit der Konvention   definiert man

 

und

 

das wesentliche Supremum. Die Hölder-Ungleichung lautet dann: für   mit  , wobei   vereinbart ist, gilt

 

Man bezeichnet   als den zu   konjugierten Hölder-Exponenten. Spezieller wird die Ungleichung auch wie folgt formuliert: Ist   der Raum der  -fach Lebesgue-integrierbaren Funktionen (siehe Lp-Raum) und ist   die Lp-Norm, so gilt für   immer

 .

Spezialfälle

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Schwarzsche Ungleichung

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Wählt man als Maßraum  , also ein reelles Intervall versehen mit dem Lebesgue-Maß und zwei Funktionen  , so lautet die Hölder-Ungleichung mit  

 

Dies ist genau die Schwarzsche Ungleichung beziehungsweise die Integralformulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.

Cauchy-Ungleichung

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Wählt man als Maßraum die endliche Menge  , versehen mit der Potenzmenge und ausgestattet mit dem Zählmaß, so erhält man als Spezialfall die Ungleichung

 

gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen  . Für   erhält man die Cauchy-Ungleichung (beziehungsweise die diskrete Formulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung)

 

Höldersche Ungleichung für Reihen

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Wählt man als Grundmenge des Maßraumes die natürlichen Zahlen  , wieder versehen mit der Potenzmenge und dem Zählmaß, so erhält man die Höldersche Ungleichung für Reihen

 .

für reelle oder komplexe Folgen  . Im Grenzfall   entspricht dies

 .

Verallgemeinerung

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Es seien   sowie   und   für alle  .

Dann folgt

 

und es gilt die Abschätzung

 

Als Korollar dieser Verallgemeinerung ergibt sich der folgende Satz.

Falls   eine Familie von   Folgen nicht-negativer reeller Zahlen ist, und   nicht-negative reelle Zahlen mit   sind, so gilt

 

Umgekehrte Höldersche Ungleichung

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Es sei   für fast alle  .

Dann gilt für alle   die umgekehrte Höldersche Ungleichung

 

Beweis der Hölderschen Ungleichung

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Für   (und umgekehrt) ist die Aussage der Hölderschen Ungleichung trivial. Wir nehmen daher an, dass   gilt. Ohne Einschränkung seien   und  . Nach der youngschen Ungleichung gilt:

 

für alle  . Setze hierin speziell   ein. Integration liefert

 

was die Höldersche Ungleichung impliziert.

Beweis der Verallgemeinerung

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Der Beweis wird per vollständiger Induktion über   geführt. Der Fall   ist trivial. Sei also nun   und ohne Einschränkung sei  . Dann sind zwei Fälle zu unterscheiden:

Fall 1:   Dann ist   Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann

 

Fall 2:  . Nach der (üblichen) Hölderschen Ungleichung für die Exponenten   gilt

 

also  . Nun ist  . Aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich somit der Induktionsschritt.

Beweis der umgekehrten Hölderschen Ungleichung

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Die umgekehrte Höldersche Ungleichung ergibt sich aus der (üblichen) Hölderschen Ungleichung, indem man als Exponenten   und   wählt. Man erhält damit:

 

Umstellen und potenzieren dieser Ungleichung mit   liefert die umgekehrte Höldersche Ungleichung.

Anwendungen

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Beweis der Minkowski-Ungleichung

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Mit der Hölderschen Ungleichung kann man die Minkowski-Ungleichung (das ist die Dreiecksungleichung im  ) leicht beweisen.

Interpolationsungleichung für Lebesgue-Funktionen

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Seien   und  , dann folgt   und es gilt die Interpolationsungleichung

 

mit   beziehungsweise   für  .

Beweis: Ohne Einschränkung sei  . Dies erkennt man durch ausführliche Fallunterscheidung. Fixiere   mit  . Dies ist möglich, da  und   somit auf der Verbindungsstrecke zwischen   und   liegt. Beachte, dass   und   konjugierte Hölder-Exponenten sind. Aus der Hölderschen Ungleichung folgt

 .

Potenzieren der Ungleichung mit   und Ausrechnen der Exponenten impliziert die Interpolationsungleichung.

Beweis der Faltungsungleichung von Young

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Eine weitere typische Anwendung ist der Beweis der verallgemeinerten youngschen Ungleichung (für Faltungsintegrale)

 

für   und  .

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 277.