Konvexe Hülle

Die konvexe Hülle einer Teilmenge ist die kleinste konvexe Menge, die die Ausgangsmenge enthält. Betrachtet wird dieses Objekt in unterschiedlichen mathematischen Disziplinen wie zum Beispiel in der konvexen Analysis und der mathematischen Optimierung.

Definitionen

Die konvexe Hülle einer Teilmenge $X$ eines reellen oder komplexen Vektorraumes $V$

\operatorname {conv} X:=\bigcap _{X\subseteq K\subseteq V \atop K\ \mathrm {konvex} }K

ist definiert als der Schnitt aller konvexen Obermengen von $X$ . Sie ist selbst konvex und damit die kleinste konvexe Menge, die $X$ enthält. Die Bildung der konvexen Hülle ist ein Hüllenoperator.

Die konvexe Hülle kann auch beschrieben werden als die Menge aller endlichen Konvexkombinationen:^[1]

\operatorname {conv} X=\left\{\left.\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot x_{i}}\right|x_{i}\in X,n\in \mathbb {N} ,\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1,{\alpha _{i}}\geq 0\right\}

Der Abschluss der konvexen Hülle ist der Schnitt aller abgeschlossenen Halbräume, die $X$ ganz enthalten. Die konvexe Hülle zweier Punkte $a,b$ ist ihre Verbindungsstrecke:

\operatorname {conv} \{a,b\}={\overline {ab}}:=\{\lambda a+(1-\lambda )b\mid 0\leq \lambda \leq 1\}

Die konvexe Hülle endlich vieler Punkte ist ein konvexes Polytop.

Eine Menge von Punkten im euklidischen Raum ist konvex, wenn für je zwei beliebige Punkte, die zur Menge gehören, die Menge auch die Verbindungsstrecke enthält. Die konvexe Hülle einer Menge $X$ kann wie folgt definiert werden:

Die minimale konvexe Menge, die $X$ als Teilmenge enthält
Die Schnittmenge aller konvexen Mengen, die $X$ als Teilmenge enthalten
Die Menge aller Konvexkombinationen von Punkten in $X$
Die Vereinigungsmenge aller Simplexe, deren Eckpunkte in $X$ liegen

Es ist nicht offensichtlich, dass die erste Definition sinnvoll ist: Warum sollte es für jedes $X$ eine eindeutige minimale konvexe Menge geben, die $X$ enthält? Die zweite Definition, die Schnittmenge aller konvexen Mengen, die $X$ als Teilmenge enthalten, ist jedoch wohldefiniert. Sie ist eine Teilmenge jeder anderen konvexen Menge $Y$ , die $X$ enthält, weil $Y$ zu den Schnittmengen gehört. Es ist also genau die eindeutige minimale konvexe Menge, die $X$ enthält. Daher sind die ersten zwei Definitionen äquivalent. Jede konvexe Menge, die $X$ enthält, muss unter der Annahme, dass sie konvex ist, alle Konvexkombinationen von Punkten in $X$ enthalten, so dass die Menge aller Konvexkombinationen in der Schnittmenge aller konvexen Mengen enthalten ist, die $X$ enthalten. Umgekehrt ist die Menge aller Konvexkombinationen selbst eine konvexe Menge, die $X$ enthält, also enthält sie auch die Schnittmenge aller konvexen Mengen, die $X$ enthalten, und daher sind die zweite und dritte Definition äquivalent. Tatsächlich ist nach dem Satz von Carathéodory, wenn $X$ eine Teilmenge eines $d$ -dimensionalen euklidischen Raums ist, jede Konvexkombination endlich vieler Punkte aus $X$ auch eine Konvexkombination von höchstens $d+1$ Punkten in $X$ . Die Menge von Konvexkombinationen eines $(d+1)$ -Tupels von Punkten ist ein Simplex. In der zweidimensionalen Ebene ist es ein Dreieck und im dreidimensionalen Raum ein Tetraeder. Daher gehört jede Konvexkombination von Punkten von $X$ zu einem Simplex, dessen Ecken zu $X$ gehören, und die dritte und vierte Definition sind äquivalent.

Beispiele

Konvexe Hülle der rot markierten Punkte im zweidimensionalen Raum

Das nebenstehende Bild zeigt die konvexe Hülle der Punkte (0,0), (0,1), (1,2), (2,2) und (4,0) in der Ebene. Sie besteht aus dem rot umrandeten Gebiet (inklusive Rand).

Es gibt eine Klasse von Kurven (darunter z. B. die Bézierkurve), deren Mitglieder die sog. „Convex Hull Property“ (CHP) erfüllen, d. h. ihr Bild verläuft vollständig innerhalb der konvexen Hülle ihrer Kontrollpunkte.

Algorithmen

Die Ermittlung der konvexen Hülle von $n$ Punkten im $\mathbb {R} ^{2}$ hat als untere Schranke eine asymptotische Laufzeit von $\Omega (n\log n)$ ; der Beweis erfolgt durch Reduktion auf das Sortieren von $n$ Zahlen. Liegen nur $k$ der $n$ Punkte auf dem Rand der konvexen Hülle, ist die Schranke bei $\Omega (n\log k)$ .

Es bieten sich mehrere Algorithmen zur Berechnung an^[2]^[3]:

Graham-Scan-Algorithmus mit Laufzeit ${\mathcal {O}}(n\log n)$
Jarvis-March (2d-Gift-Wrapping-Algorithmus) mit Laufzeit ${\mathcal {O}}(nk)$ , wobei $k$ die Anzahl der Punkte auf dem Rand der Hülle ist
QuickHull in Anlehnung an Quicksort mit erwarteter Laufzeit ${\mathcal {O}}(n\log n)$ ; Worst Case ${\mathcal {O}}(n^{2})$
Inkrementeller Algorithmus mit Laufzeit ${\mathcal {O}}(n\log n)$
Chans Algorithmus mit Laufzeit ${\mathcal {O}}(n\log k)$ , wobei $k$ die Anzahl der Punkte auf dem Rand der Hülle ist.

Animation des Graham Scan Algorithmus
Animation des Gift-Wrapping-Algorithmus. Die rote Linien zeigen die bereits gefundenen Strecken der konvexen Hülle, die schwarze zeigt die aktuell Beste, und die grüne Linie zeigt die Strecke, die gerade überprüft wird.
Animation des QuickHull Algorithmus

Bedeutung für die mathematische Optimierung

Blau berandet: Die kontinuierliche Relaxierung

{\widehat {M}}

der zulässigen Menge

M

; Rote Punkte: Alle Punkte der zulässigen Menge

M

; Rot gestrichelt berandet: Die konvexe Hülle der Menge

M

Die konvexe Hülle einer zulässigen Menge $M$ ist von großer Bedeutung in der mathematischen Optimierung, was am Beispiel der ganzzahligen linearen Optimierung illustriert werden soll.

Etwas Kontext

In der ganzzahligen linearen Optimierung wird innerhalb einer zulässigen Menge $M$ nach einem Optimalpunkt mit ganzzahligen Koordinaten gesucht, an welchem die Zielfunktion minimal (oder maximal) ist. Dieses $M$ ist, wie in nebenstehender Grafik beispielhaft zu erkennen, durch lineare Ungleichungen und Gleichungen beschrieben, welche alle zulässigen Punkte erfüllen müssen. Dies bedeutet insbesondere, dass nicht alle zulässigen Punkte explizit aufgezählt werden, sondern sich aus der Lösung ganzzahliger linearer Ungleichungen und Gleichungen ergeben. Dies ist die sogenannte Halbraum-Darstellung (engl. half-space representation oder nur h-representation) von Polyedern, in welcher ein Polyeder durch die angrenzenden Halbräume dargestellt wird.^[4]

Die Rolle der konvexen Hülle

Das Lösen eines ganzzahligen linearen Optimierungsproblems ist eine NP-schwere Aufgabe, wohingegen in dem kontinuierlichen Gegenstück, also der kontinuierlichen linearen Optimierung Lösungsalgorithmen mit polynomieller Laufzeit (Innere-Punkte-Verfahren) zur Verfügung stehen. Die Ganzzahligkeitsbedingung ist also verantwortlich für die erhöhte Komplexität und könnte umgangen werden, falls statt der obigen Beschreibung der Menge $M$ ihre konvexe Hülle $\operatorname {conv} M$ effizient berechnet werden könnte, da das lineare ganzzahlige Optimierungsproblem

$\min _{x\in \mathbb {Z} ^{n}}c^{T}x\quad {\text{ s.t.}}\quad x\in M$

und das lineare kontinuierliche Optimierungsproblem

$\min _{x\in \mathbb {R} ^{n}}c^{T}x\quad {\text{ s.t.}}\quad x\in \operatorname {conv} M$

dieselben Lösungen besitzen.^[5] Dies ist in der Praxis nicht direkt umsetzbar, da die Berechnung der Halbraum-Darstellung von $\operatorname {conv} M$ basierend auf der Kenntnis der Menge $M$ selbst eine NP-schwere Aufgabe ist, wird aber für die Berechnung von Schnittebenen im Branch-and-Cut-Verfahren der kombinatorischen Optimierung mit großem Erfolg eingesetzt.^[6]

Weblinks

Einzelnachweise

↑ Wolfram MathWorld: Convex Hull
↑ Franco P. Preparata, Michael Ian Shamos: Computational Geometry - An Introduction. Springer-Verlag, 1985, 1st edition: ISBN 0-387-96131-3; 2nd printing, corrected and expanded, 1988: ISBN 3-540-96131-3; Russian translation, 1989: ISBN 5-03-001041-6.
↑ GitHub, Inc.: Convex Hull Algorithms
↑ Günter M. Ziegler: Lectures on polytopes (= Graduate texts in mathematics). Updated seventh printing of the first edition Auflage. Springer, New York, NY 2007, ISBN 978-0-387-94329-9.
↑ Laurence A. Wolsey: Integer programming. Second edition Auflage. Wiley, Hoboken, NJ Chichester, West Sussex 2021, ISBN 978-1-119-60653-6.
↑ George L. Nemhauser, Laurence A. Wolsey: Integer and combinatorial optimization (= Wiley-Interscience series in discrete mathematics and optimization). Wiley, New York Chichester Weinheim [etc.] 1999, ISBN 978-0-471-35943-2.

[1] Wolfram MathWorld: Convex Hull

[computational_geometry-2] Franco P. Preparata, Michael Ian Shamos: Computational Geometry - An Introduction. Springer-Verlag, 1985, 1st edition: ISBN 0-387-96131-3; 2nd printing, corrected and expanded, 1988: ISBN 3-540-96131-3; Russian translation, 1989: ISBN 5-03-001041-6.

[3] GitHub, Inc.: Convex Hull Algorithms

[4] Günter M. Ziegler: Lectures on polytopes (= Graduate texts in mathematics). Updated seventh printing of the first edition Auflage. Springer, New York, NY 2007, ISBN 978-0-387-94329-9.

[5] Laurence A. Wolsey: Integer programming. Second edition Auflage. Wiley, Hoboken, NJ Chichester, West Sussex 2021, ISBN 978-1-119-60653-6.

[6] George L. Nemhauser, Laurence A. Wolsey: Integer and combinatorial optimization (= Wiley-Interscience series in discrete mathematics and optimization). Wiley, New York Chichester Weinheim [etc.] 1999, ISBN 978-0-471-35943-2.

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