Polarzerlegung

Zerlegung und Verallgemeinerung von linearen Operatoren bei der linearen Algebra und Funktionalanalysis

Polarzerlegung ist ein Begriff aus der linearen Algebra und Funktionalanalysis, beides Teilgebiete der Mathematik. Er bezieht sich auf eine spezielle Zerlegung in ein Produkt von Matrizen mit reellen oder komplexen Einträgen, und in Verallgemeinerung von linearen Operatoren auf einem Hilbert-Raum. Die Polarzerlegung von Matrizen und Operatoren verallgemeinert die Polarzerlegung einer nichtverschwindenden komplexen Zahl in das Produkt ihres Betrags und einer Zahl auf dem komplexen Einheitskreis, mit dem Argument von , also .

Polarzerlegung reeller oder komplexer Matrizen

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Ist   eine quadratische Matrix, so bezeichnet man als (rechte) Polarzerlegung eine Faktorisierung

 ,

wobei

Ist   invertierbar, so ist die Zerlegung eindeutig,   positiv definit und   bzw.   sind die orthogonalen bzw. unitären Matrizen mit dem geringsten bzw. größten Abstand zu  .

Berechnung der Polarzerlegung

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Die reellen Methoden sind ein Spezialfall der komplexen, wobei die adjungierte Matrix   dann gleich der transponierten Matrix   ist.

Über die Singulärwertzerlegung

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Mit der Singulärwertzerlegung

 

kann man die Polarzerlegung als

  und  

bestimmen.

Als iterative Bestimmung des symmetrischen Faktors

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Die Matrix   kann als die eindeutig bestimmte positiv semidefinite Quadratwurzel von

 

bestimmt werden. Dazu kann das Heronsche Wurzelverfahren verallgemeinert werden zu

  und  .

Ist   invertierbar, so konvergiert das Verfahren mit Grenzwert   und  .

Als iterative Bestimmung des orthogonalen Faktors

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Ein anderes aus dem Heronschen Wurzelziehen abgeleitetes Verfahren bestimmt den unitären Faktor   als Grenzwert der Rekursion

  und  .

Diese ist lokal quadratisch konvergent. Zur Beschleunigung der globalen Konvergenz, insbesondere falls alle Singulärwerte von   sehr groß oder alle sehr klein sind, reskaliert man die Iteration zu

 ,

wobei   nahe dem geometrischen Zentrum der Singulärwerte von   liegen sollte und durch Kombinationen verschiedener Matrixnormen von   und deren Inverser geschätzt werden kann.[1][2] Vorgeschlagen wurden unter anderem die Faktoren

 

mit den Zeilen- und Spaltensummennormen sowie

 

mit der Frobeniusnorm.

Polarzerlegung von Operatoren

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Eine (linke bzw. rechte) Polarzerlegung eines stetigen linearen Operators   auf einem Hilbertraum, das heißt  , ist eine der folgenden multiplikativen Zerlegungen:

 .

Hier sind   und   positive Operatoren, die mittels des stetigen Funktionalkalküls gebildet werden, und   ist eine partielle Isometrie, das heißt  . Zu jedem stetigen linearen Operator auf einem Hilbertraum existiert eine solche Polarzerlegung. Statt   schreibt man auch  . Wenn   invertierbar ist, so auch   und   ist unitär.

Anwendungsbeispiel

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In der Kontinuumsmechanik findet die „polare Zerlegung“ des Deformationsgradienten eine Anwendung in der Beschreibung von Deformationen und den daraus definierten Verzerrungstensoren.

Literatur

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  • W. Rudin: Functional Analysis, 2. Auflage, McGraw-Hill, 1991, S. 330–333.

Einzelnachweise

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  1. Nicholas J. Higham: Computing the polar decomposition with applications. In: SIAM J. Sci. Stat. Comput. 7. Jahrgang, Nr. 4. Society for Industrial and Applied Mathematics, 1986, ISSN 0196-5204, S. 1160–1174, doi:10.1137/0907079.
  2. Ralph Byers, Hongguo Xu: A New Scaling for Newton’s Iteration for the Polar Decomposition and its Backward Stability. In: SIAM J. Matrix Anal. Appl. 30. Jahrgang, Nr. 2. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2008, ISSN 0895-4798, S. 822–843, doi:10.1137/070699895.