Das projektive Tensorprodukt ist eine Erweiterung der in der Mathematik betrachteten Tensorprodukte von Vektorräumen auf den Fall, dass zusätzlich Topologien auf den Vektorräumen vorhanden sind. In dieser Situation liegt es nahe, auch auf dem Tensorprodukt der Räume eine Topologie erklären zu wollen. Unter den vielen Möglichkeiten dies zu tun sind das injektive Tensorprodukt und das hier zu behandelnde projektive Tensorprodukt natürliche Wahlen.

Die Untersuchung des projektiven Tensorproduktes lokalkonvexer Räume geht auf Alexander Grothendieck zurück. Einige Resultate über Banachräume wurden zuvor von Robert Schatten erzielt.

Zunächst wird der leichter zugängliche Fall der normierten Räume und Banachräume besprochen, anschließend wird auf die Verallgemeinerungen in der Theorie der lokalkonvexen Räume eingegangen.

Normierte Räume

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Das Tensorprodukt zweier normierter Räume lässt sich wie folgt ebenfalls zu einem normierten Raum machen.

Definition

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Seien   und   normierte Räume. Die Elemente des Tensorproduktes   können in der Form   geschrieben werden, wobei diese Summendarstellung nicht eindeutig ist. Definiert man

 ,

so erhält man eine Norm auf dem Tensorprodukt  . Diese Norm heißt das projektive Tensorprodukt der Normen   und  . Versieht man   mit dieser Norm, so nennt man   das projektive Tensorprodukt oder auch das  -Tensorprodukt der normierten Räume   und   und schreibt dafür  .

Eigenschaften

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Sind in der Situation obiger Definition  , so gilt  .

Ist   eine stetige, bilineare Abbildung zwischen normierten Räumen, so induziert diese eine eindeutig bestimmte stetige, lineare Abbildung  , wobei   für alle  . Für die Operatornorm gilt  .

Daher ist   das Tensorprodukt in der Kategorie der normierten Räume mit den stetigen linearen Abbildungen als Morphismen im Sinne der Universaldefinition des Tensorproduktes.

Banachräume

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Das projektive Tensorprodukt zweier Banachräume   und   ist in der Regel nicht vollständig, so dass die Bildung des Tensorproduktes aus der Kategorie der Banachräume herausführt. Um in der Kategorie der Banachräume zu bleiben, muss man vervollständigen.

Definition

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Man definiert   als die Vervollständigung des normierten Raums   und nennt   das projektive Tensorprodukt in der Kategorie der Banachräume. Diese Definition wird besonders durch die nachfolgende universelle Eigenschaft motiviert.

Universelle Eigenschaft

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Ist   eine stetige, bilineare Abbildung zwischen Banachräumen, so gibt es genau eine stetige, lineare Abbildung   mit   für alle  . Für die Operatornorm gilt wie im Falle der normierten Räume  .

Also ist   das Tensorprodukt in der Kategorie der Banachräume mit den stetigen linearen Abbildungen als Morphismen im Sinne der Universaldefinition des Tensorproduktes.

Darstellung der Elemente

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Jedes Element   hat eine Darstellung   mit  , wobei diese Darstellung als absolut konvergente Reihe nicht eindeutig ist. Es gilt die Formel

 .

Dualräume

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Der Dualraum eines projektiven Tensorproduktes   kann mit dem Raum   der stetigen, linearen Operatoren von   in den Dualraum von   identifiziert werden. Ist   ein solcher Operator, so ist

 

ein  -stetiges lineares Funktional, dessen Norm mit der Operatornorm übereinstimmt, es lässt sich also normgleich zu einem stetigen linearen Funktional   nach   fortsetzen. Dann kann man zeigen, dass  

 

ein isometrischer Isomorphismus ist. In diesem Sinne ist die Identifikation   zu verstehen.[1]

Das Tensorprodukt mit L1-Räumen

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Es seien   ein Maßraum und   ein Banachraum. Sei   der Banachraum aller Äquivalenzklassen messbarer Funktionen   mit  , wobei zwei messbare Funktionen äquivalent sind, wenn sie  -fast überall übereinstimmen, das heißt, wenn sie höchstens innerhalb einer  -Nullmenge verschiedene Werte annehmen. Nach der universellen Eigenschaft induziert die bilineare Abbildung  , eine stetige lineare Abbildung  . Es gilt nun der Satz, dass diese Abbildung ein isometrischer Isomorphismus ist. Das schreibt sich kurz und prägnant als

 .

Banachalgebren

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Seien   und   Banachalgebren. Dann setzt sich die Definition   zu einer Multiplikation auf   fort, die   zu einer Banachalgebra macht, das heißt, die Norm   ist submultiplikativ.[2]

Negative Aussagen

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  • Eine zu   analoge Aussage für Räume stetiger Funktionen gilt nicht, dazu muss man das injektive Tensorprodukt heranziehen.
  • Im Allgemeinen ist das projektive Tensorprodukt reflexiver Räume nicht wieder reflexiv. Ist   der Folgenraum der quadrat-summierbaren Folgen mit den Einheitsvektoren  , so ist der von den Elementen   erzeugte abgeschlossene Unterraum von   isometrisch isomorph zum Folgenraum   der absolut-summierbaren Folgen. Da letzterer nicht reflexiv ist, kann auch   nicht reflexiv sein, obwohl der Hilbertraum   es ist.[3]
  • Sieht man von trivialen Ausnahmen ab, so sind projektive Tensorprodukte von Hilberträumen (C*-Algebren) keine Hilberträume (C*-Algebren), wie durch das Beispiel des vorangegangenen Punktes belegt wird. Es gibt aber ein spezielles Hilbertraum-Tensorprodukt, das auch Ausgangspunkt für Tensorprodukte von C*-Algebren ist.

Lokalkonvexe Räume

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Die Konstruktion des projektiven Tensorproduktes kann auf den Fall der lokalkonvexen Räume verallgemeinert werden.

Definition

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Seien   und   abgeschlossene, absolutkonvexe Nullumgebungen in den lokalkonvexen Vektorräumen   und  .   sei das Minkowski-Funktional der absolutkonvexen Hülle von  . Das projektive Tensorprodukt oder  -Tensorprodukt   ist der Tensorproduktraum mit dem System der Halbnormen  , wobei   und   die abgeschlossenen, absolutkonvexen Nullumgebungen durchlaufen.

Bezeichnen   bzw.   die Minkowski-Funktionale von   bzw.  , so gilt die Formel

 .

Daher verallgemeinert diese Definition das projektive Tensorprodukt normierter Räume.

Man kann zeigen, dass die so erklärte Topologie die feinste lokalkonvexe Topologie auf dem Tensorprodukt ist, die die natürliche bilineare Abbildung   stetig macht.

Die Vervollständigung von   wird wie im Falle normierter Räume mit   bezeichnet.

Stabilitätseigenschaften

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Viele Klassen lokalkonvexer Räume sind stabil gegenüber der Bildung des projektiven Tensorproduktes. Gehören   und   beide zu einer der Klassen

so gehören auch   und   zu dieser Klasse.

Das projektive Tensorprodukt tonnelierter Räume ist im Allgemeinen nicht wieder tonneliert. Sind aber   und   metrisierbar und tonneliert, so ist auch   metrisierbar und tonneliert.

Siehe auch

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Literatur

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  • A. Grothendieck: Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires. In: Mem. Amer. Math. Soc., Band 16, 1955.
  • H. Jarchow: Locally Convex Spaces. Teubner, Stuttgart 1981, ISBN 3-519-02224-9.
  • Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces. Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1.
  • R. Schatten: A theory of cross spaces. In: Annals of Mathematical Studies, 26, Princeton NJ 1950.

Einzelnachweise

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  1. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces. Springer-Verlag, 2002, ISBN 1-85233-437-1, Kapitel 2.3: The Dual Space of  
  2. A. Y. Helemskii: The Homology of Banach and Topological Algebras. Kluwer Academic Publishers, 1989, ISBN 0-7923-0217-6, Kapitel II, Satz 2.19
  3. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces. Springer-Verlag, 2002, ISBN 1-85233-437-1, Beispiel 2.10