Quotientennorm

Eine Quotientennorm oder Quotientenhalbnorm ist in der Funktionalanalysis eine auf natürliche Weise erzeugte Norm bzw. Halbnorm auf einem Faktorraum.

Definition

Es seien $X$ ein normierter Raum und $U\subset X$ ein Untervektorraum. Auf dem Faktorraum $X/U$ definiere man

$\|x+U\|:=\inf\{\|x-y\|;\,y\in U\}=\mathrm {dist} (x,U)$.

Dann ist durch diese Definition eine Halbnorm auf dem Faktorraum gegeben; sie ist genau dann eine Norm, wenn der Unterraum abgeschlossen ist, man nennt sie die Quotientennorm bzw. Quotientenhalbnorm.

Quotient nach einem Kern

Ist $U\subset X$ ein abgeschlossener Unterraum des normierten Raumes $X$, so ist die Quotientenabbildung $T:X\rightarrow X/U$ linear, stetig, bildet die offene Einheitskugel von $X$ auf die offene Einheitskugel von $X/U$ ab und es ist $U=\mathrm {ker} (T)$. Die Operatornorm der Quotientabbildung ist $1$, falls $U$ ein echter Unterraum ist, anderenfalls gleich $0$.

Seien umgekehrt $X,Y$ normierte Räume und $T:X\rightarrow Y$ eine lineare Abbildung, die die offene Einheitskugel von $X$ auf die offene Einheitskugel von $Y$ abbildet. Dann ist $T$ stetig, surjektiv und die Isomorphie $X/\mathrm {ker} (T)\cong Y$ ist eine Isometrie.

Eigenschaften

Viele Eigenschaften vererben sich auf die Quotientennorm:

• Ist $X$ ein Banachraum und $U\subset X$ ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch $X/U$ ein Banachraum, d. h. die Vollständigkeit vererbt sich auf die Quotientennorm.
• Ist $X$ ein Hilbertraum und $U\subset X$ ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch $X/U$ ein Hilbertraum, d. h. auch die Quotientennorm wird durch ein Skalarprodukt erzeugt.
• Ist $X$ ein gleichmäßig konvexer Raum und $U\subset X$ ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch $X/U$ gleichmäßig konvex.
• Ist $X$ eine Banachalgebra und $U\subset X$ ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist auch $X/U$ eine Banachalgebra, d. h. die Submultiplikativität der Norm überträgt sich auf die Quotientennorm.
• Ist $X$ eine C^*-Algebra und $U\subset X$ ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist auch $X/U$ eine C^*-Algebra, d. h. die C^*-Eigenschaft der Norm gilt auch für die Quotientennorm.

Quotientenhalbnormen

Die Topologie eines lokalkonvexen Raumes $X$ wird durch eine Menge ${\mathcal {P}}$ von Halbnormen erzeugt. Sei $U\subset X$ ein Unterraum. Für jedes $p\in {\mathcal {P}}$ ist die Quotientenhalbnorm ${\hat {p}}$ eine Halbnorm auf dem Quotientenraum $X/U$, wobei

${\hat {p}}(x+U):=\inf\{p(x+y);\,y\in U\}$.

Dann stimmt die Finaltopologie auf $X/U$ mit der durch die Halbnormen $\{{\hat {p}};p\in {\mathcal {P}}\}$ erzeugten Topologie überein, insbesondere ist der Quotientenraum wieder lokalkonvex.

Quelle

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, Seite 54