Im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie ist die Restklasse einer Zahl modulo einer Zahl die Menge aller Zahlen, die bei Division durch denselben Rest lassen wie .[1]

Definition

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Es sei   eine von 0 verschiedene ganze Zahl und   eine beliebige ganze Zahl. Die Restklasse von   modulo  , geschrieben

 

ist die Äquivalenzklasse von   bezüglich der Kongruenz modulo  , also die Menge der Ganzzahlen, die bei Division durch   den gleichen Rest wie   ergeben. Sie besteht somit aus allen ganzen Zahlen  , die sich aus   durch die Addition ganzzahliger Vielfacher von   ergeben:

 .

Ein Element einer Restklasse bezeichnet man auch als Repräsentant der Restklasse. Häufig verwendet man die Standardrepräsentanten  .

Die Menge aller Restklassen modulo   schreibt man häufig als   oder  . Sie hat   Elemente und die Struktur eines Ringes und wird deshalb Restklassenring genannt. Genau dann, wenn   eine Primzahl ist, ergibt sich sogar die Struktur eines endlichen Körpers.

Eine Restklasse modulo   heißt prime Restklasse, wenn ihre Elemente teilerfremd zu   sind. (Wenn dies für ein Element gilt, dann auch für alle anderen.) Die Menge der primen Restklassen ist die Gruppe der Einheiten   (oder  ) im Restklassenring  ; sie wird prime Restklassengruppe genannt und umfasst die multiplikativ invertierbaren Restklassen.

Beispiele

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  • Die Restklasse von 0 modulo 2 ist die Menge der geraden Zahlen.
  • Die Restklasse von 1 modulo 2 ist die Menge der ungeraden Zahlen.
  • Die Restklasse von 0 modulo   ist die Menge der Vielfachen von  .
  • Die Restklasse von 1 modulo 3 ist die Menge  

Verallgemeinerung

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Ist   ein Ring und   ein Ideal, so heißen Mengen der Form

 

Restklassen modulo  . Ist   kommutativ, oder ist   ein zweiseitiges Ideal, so hat die Menge   der Restklassen modulo   eine natürliche Ringstruktur und heißt Restklassenring, Quotientenring oder Faktorring modulo  .   wird durch Elemente in   repräsentiert, wobei die Restklassen   und   in   übereinstimmen, falls   gilt.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Fischer, Gerd.: Lineare Algebra – Eine Einführung für Studienanfänger. 18., aktualisierte Aufl. 2014. Springer Spektrum, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-03945-5, S. 50.