Der Satz von Apollonios (oder auch Satz des Apollonios) ist ein klassischer Lehrsatz der Analytischen Geometrie, einem der Teilgebiete der Mathematik. Er geht auf den antiken griechischen Mathematiker Apollonios von Perge zurück und behandelt metrische Eigenschaften der konjugierten Durch- und Halbmesser der Ellipsen in der euklidischen Ebene.

Zu einem Satz von Apollonios über konjugierte Durch/Halbmesser einer Ellipse

Formulierung des Satzes

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Der Satz besteht aus zwei Teilsätzen, die auch erster und zweiter Satz von Apollonios genannt werden und die folgendermaßen anzugeben sind:[1]

Gegeben sei eine Ellipse   der euklidischen Ebene mit Haupt- und Nebenachsen der Längen  .[2]
Dann gilt:
Erster Satz von Apollonios: Für jedes Paar von konjugierten Durch- und Halbmessern der Ellipse   ist die Quadratsumme der jeweiligen Längen stets gleich. Dabei gilt für ein Paar von konjugierten Halbmessern der Längen   stets    .
Zweiter Satz von Apollonios: Für jedes Paar von konjugierten Halbmessern besitzt das von diesen innerhalb der Ellipse aufgespannte Dreieck   stets denselben Flächeninhalt  , nämlich    .

Alternative Formulierungen

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Im Bronstein wird der Satz des Apollonios auf andere Weise angegeben. Hier wird nämlich anstelle der Identitätsgleichung des obigen zweiten Satzes des Apollonios die folgende formuliert:[3]

Sind in der Ellipse   für ein Paar von konjugierten Halbmessern     und   die spitzen Winkel dieser beiden mit der Hauptachse, so gilt stets    .

In einer dritten Version tritt der zweite Satz des Apollonios in Band IV der Enzyklopädie der Elementarmathematik in Erscheinung. Diese lässt sich etwa wie folgt darstellen:[4]

Wird der Ellipse   zu einem Paar von konjugierten Durchmesser das zugehörige Parallelogramm   umbeschrieben[5], dessen Seiten paarweise parallel zu einem der beiden konjugierten Durchmesser sind, so hat   stets denselben Flächeninhalt  , nämlich    .

Beweis der Aussagen

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Der Beweis der Aussagen ergibt sich aus der Beschreibung konjugierter Punkte einer Ellipse (s. konjugierte Durchmesser): Ist die Ellipse durch die Parameterdarstellung

 

gegeben d. h. als affines Bild des Einheitskreises  , so gehören die Punkte   als Bilder von orthogonalen Halbmessern des Einheitskreises zu konjugierten Punkten der Ellipse. Mit Hilfe der Additionstheoreme folgt:

  • Der Vektor (Halbmesser)   ist zum Vektor   konjugiert.

Es ist

 

Der Flächeninhalt des von den Vektoren   aufgespannten Dreiecks ist:

  (s. Bild und Dreiecksfläche.). Also gilt
 .

Bemerkung: Ein Beweis, der ebenfalls die Determinante benutzt, aber ohne Winkelfunktionen auskommt, findet sich im Beweisarchiv[6], a.a.0 unter (6.1) und (6.2).

Das der Ellipse umschriebene Parallelogramm aus konjugierten Durchmessern setzt sich aus 8 flächengleichen Dreiecken zusammen. Hieraus folgt die Letzte der Aussagen.

Hintergrund der Flächenberechnung

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Sowohl der erste als auch der zweite Satz von Apollonios lassen sich im Wesentlichen schon mit Mitteln der Schulmathematik herleiten.[7][4]

Dabei ist für den Hintergrund des zweiten apollonischen Satzes bedeutsam, dass man hier – wie dies etwa die Ellipsenachsenkonstruktion nach Rytz von Brugg nahelegt – die Ellipse   auch als kompaktes Flächenstück der reellen Koordinatenebene   auffassen kann, die als senkrecht achsenaffines Bild der um den Ursprung gegebenen abgeschlossenen Kreisscheibe   vom Radius   entsteht.

Die dabei herangezogene lineare Transformation  

 
 

ist ein Homöomorphismus der Koordinatenebene auf sich selbst.

Folglich erhält man unter Anwendung des Transformationssatzes für den Flächeninhalt eines jeden kompakten Flächenstücks  

 

und damit insbesondere

 

sowie

   .

Genauso beweist man, dass der Flächeninhalt der gesamten Ellipse

 

beträgt.[8]

Literatur

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  • P. S. Alexandroff, A. I. Markuschewitsch, A. J. Chintschin: Enzyklopädie der Elementarmathematik (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 10). Band IV. Geometrie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1969.
  • I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev, G. Musiol, H. Mühlig (Hrsg.): Taschenbuch der Mathematik. 7., vollständig überarbeitete und ergänzte Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-2007-9.
  • György Hajós: Einführung in die Geometrie. B. G. Teubner Verlag, Leipzig 1970 (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Übersetzt von G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]).
  • Hans Honsberg: Analytische Geometrie. Mit Anhang „Einführung in die Vektorrechnung“ (= Mathematik für Gymnasien). 3. Auflage. Bayerischer Schulbuch-Verlag, München 1971, ISBN 3-7627-0677-8.
  • Des Apollonius von Perga sieben Bücher über Kegelschnitte

Einzelnachweise und Anmerkungen

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  1. György Hajós: Einführung in die Geometrie. B. G. Teubner Verlag, Leipzig 1970, S. 510–511 (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Übersetzt von G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]).
  2. Innerhalb   ist also die Hauptachse die längste und die Nebenachse die kürzeste Strecke. Dabei ist wie üblich   die Länge der großen und   die Länge der kleinen Halbachse.
  3. I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev et al.: Taschenbuch der Mathematik. 2008, S. 205
  4. a b P. S. Alexandroff et al.: Enzyklopädie der Elementarmathematik. Band IV 1969, S. 598
  5. Ein der Ellipse   umbeschriebenes Parallelogramm zeichnet sich dadurch aus, dass jede seiner vier Seiten auf einer Tangente von   liegt, also   in nur in einem einzigen Punkt berührt.
  6. Hans Honsberg: Analytische Geometrie. 1971, S. 88–90, 95–96
  7. Lässt man die Randkurve jeweils weg, so bleibt der Flächeninhalt selbstverständlich unverändert.