Diskussion:Exponentialfunktion

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Begründung für Änderungen

Zu meiner Korrektur:

Habe e'**x bei der Ableitung rausgenommen, weil die Duplizität von exp und e**x verwirrt, vor allem, wenn beide Ausdrücke kommentarlos nebeneinander stehen.

Habe d/dx f(x) zu (d/dx) f(x) geändert; ich hoffe, es gibt bei den Mathematikern nicht eine flapsige Kurzform, die die vorherige Darstellung heilt.

Vielleicht sollte man sich bei derlei Ausdrücken doch TeXs bedienen, es liest sich auch viel besser. --Philipendula 10:11, 27. Aug 2004 (CEST)

Diese Bruchschreibweise für die Ableitung ist historisch bedingt und in allen mir bekannten Formen leider nicht unproblematisch. Inzwischen komme ich zu der Vermutung, dass sie nicht einmal die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle ausdrückt, sondern: Für eine Funktion f: A -> B ist d/dx f(x) die Ableitung der Funktion x -> f(x) an der Stelle x, also der Ausdruck f'(x). Damit wäre z.B. d/dx f(y) stets gleich 0, da die Funktion x -> f(y) konstant ist.

Deine Änderung deckt sich also mit meinen neuen Gedanken, die sich von meinen Äußerungen auf Diskussion:Differentialgleichung vom Mai 2004 unterscheiden.

Da benutze ich - als Algebraiker, nicht als Analytiker - doch lieber den großen Differentialoperator D:

$(Df)(x)$,

der tatsächlich zu einer Funktion ihre Ableitungsfunktion liefert; und bei mehrparametrigen Funktionen einen indizierten Operator:

$(D_{1}f)(x,x)\neq (D_{2}f)(x,x)$.

--SirJective 11:35, 27. Aug 2004 (CEST)

Ungleichungen

Die Ungleichung exp(x) >= 0 für reelles x kann verschärft werden zu exp(x) > 0. 80.81.1.211 08:57, 6. Feb 2005 (CET)

Erledigt --NeoUrfahraner 09:18, 7. Feb 2005 (CET)

Rechenregeln?

MMn stehen ja alle Rechenregeln schon unter Potenz (Mathematik)#Rechenregeln, weshalb doch ein Link dorthin ausreichen sollte, da es sich hier ja eigentlich um Grundlagen handelt. Um Widerspruch gebeten.

Die logische Abhängigkeit ist ein wenig anders. Zuerst definiert man die Potenz mit natürlichen Exponenten (z.B. mit Induktion) und gewinnt die Rechenregeln. Dann versucht man, diese Rechenregeln (insbesondere $a^{x+y}=a^{x}a^{y}$) beizubehalten und dabei $x,y$ allgemeiner zu wählen, zuerst $x,y$ rational (das geht über die Wurzel), dann aber $x,y$ reell (das geht über die Exponentialfunktion). Man löst also die Funktionalgleichung $f(x+y)=f(x)f(y)$, $f(1)=a$, $f$ stetig. Es ist nicht selbstverständlich, dass diese Gleichung eine Lösung hat, die noch dazu eindeutig ist, und dass sich also damit $a^{x}$ für reelle (und sogar komplexe) $x$ definieren lässt. Danach stellt sich die Frage, welche Eigenschaften die für reelle bzw. komplexe Exponenten definierte Funktion hat. Dass dort die selben Rechenregeln gelten wie für natürliche Exponenten, ist ebenfalls nicht selbstverständlich. Die Beweise für natürliche Exponenten erfolgen mit vollständiger Induktion, für rationale Exponenten aus den Rechenregeln für die Wurzelfunktion, für reelle Exponenten sind kompliziertere analytische Überlegungen (Stetigkeit und Grenzwerte) notwendig. Diese logische Abhängigkeit wird aber derzeit nicht klar genug dargestellt. --NeoUrfahraner 13:39, 2. Mai 2005 (CEST)

Defnition

In der Definition exp(x) = lim (1 + x/n)^n finde ich die Erweiterung auf n reell nicht sinnvoll. Sie ist zwar mathematisch möglich, aber erst nachdem man die Potenzfunktion mit beliebigen reellen Konstanten eingeführt hat. Diese Einführung ist aber gerade dann elegant möglich, wenn man bereits die exp-Funktion zur Verfügung hat; wenn man sie erst hinterher definieren will, ist der Weg echt steinig! -- JFKCom 22:53, 9. Jul 2005 (CEST)

Die Erweiterung erscheint mir vor allem unüblich, also hat sie hier nichts verloren. (Es geht schon relativ problemlos, für $n\gg 0$ ist die Basis positiv, und Potenzen mit positiver Basis und rationalem Exponenten lassen sich über Wurzeln definieren, Potenzen mit beliebigem Exponenten dann durch stetige Fortsetzung.)--Gunther 23:09, 9. Jul 2005 (CEST)

In der Definition gleich von komplexen Zahlen zu reden und reelle Zahlen nur als Spezialfall am Rande zu erwähnen, kommt mir unnötig unelementar vor.--Gunther 20:13, 20. Jul 2005 (CEST)

Mir gefällt's auch noch nicht so übermäßig; vorher stand allerdings gar nix drüber da, also hätte man für x auch Bratwürstchen einsetzen können. Vorschlag: Wir deklarieren exp auf beide Arten auf $\mathbb {R}$, und direkt hintendran erwähnen wir, dass diese Def. auch auf ganz $\mathbb {C}$ aalglatt funktioniert. --JFKCom 21:49, 20. Jul 2005 (CEST)

Solange die Bratwürstchenreihe konvergiert... ;-) --Gunther 21:52, 20. Jul 2005 (CEST)

Das gibt dann eine endliche Mahlzeit, grins.--JFKCom 23:23, 20. Jul 2005 (CEST)

Im Ernst: Mit der Reihe hat man eine Exponentialfunktion, wann immer sie konvergiert, also z.B. in jeder Banachalgebra, oder auf $p\mathbb {Z} _{p}$. Von daher finde ich, dass man die Bratwürstchen ruhig etwas unbestimmt lassen kann...--Gunther 23:28, 20. Jul 2005 (CEST)

Jaja, das gilt allgemeiner, kann man ja irgendwo dann so allgemein formulieren. Aber ganz offenlassen finde ich schlampig, denn man braucht ja immerhin eine Struktur mit einem Konvergenzbegriff, d.h. nicht jeder Bratwurst-Ring ist geeignet.--JFKCom 23:40, 20. Jul 2005 (CEST)

Naja, halt alles, in dem man $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!$ vernünftigerweise hinschreiben kann.--Gunther 00:06, 21. Jul 2005 (CEST)

Etwas seltsam in der momentanen Formulierung ist, dass nur über die Konstante c gesagt wird, dass sie komplex sein kann, nicht aber über die Variable x. Ich frage mich überhaupt, ob man c nicht gleich 1 setzen sollte, damit also überhaupt weglassen sollte. Zur Erinnerung: die Formulierung: stammt ursprünglich von mir (20. 4. 2005) auf Anregung von El Fahno (19.4.2005, hier auf der Diskussionsseite); Ziel war damals vor allem, von der Einschränkung auf die Basis e wegzukommen. Ob man den Fall c ungleich 1 noch als "Exponentialfunktion" bezeichnen soll, ist fraglich; in etwa so, ob kx+d "linear" oder "affin" ist. --NeoUrfahraner 06:29, 21. Jul 2005 (CEST)

Für mich braucht es das c nicht.--Gunther 09:30, 21. Jul 2005 (CEST)

Dito.--JFKCom 19:17, 21. Jul 2005 (CEST)

Hab's gleich umgesetzt.--JFKCom 20:20, 21. Jul 2005 (CEST)

Komplexe Exponentialfunktion

gilt

${\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}\exp(ix)=i\exp(ix)$?

--Abdull 11:34, 11. Aug 2005 (CEST)

Ja, i ist eine Zahl wie jede andere auch.--Gunther 12:04, 11. Aug 2005 (CEST)

Würde ich anders formulieren... Zumindest ist es eine Konstante!

Änderung von Spektrum, 16.9.2005, 15:25

Versteht jemand den Sinn des Einschubs "$u={\frac {x}{\ln a}}$ gesetzt"? --NeoUrfahraner

x/ln a ist die "innere" Funktion fuer die Kettenregel, daher das 1/ln a im abgeleiteten Term. Halte ich fuer entbehrlich.--Gunther 00:15, 17. Sep 2005 (CEST)

Ich finde es mehr verwirrend als hilfreich - warum soll die innere Funktion gerade $u$ heißen? Daher zunächst einmal revert. --NeoUrfahraner 06:36, 19. Sep 2005 (CEST)

Beispiele

Was hat "stetige Verzinsung" mit Physik zu tun? Das gehört doch eher ins Thema Finanzmathematik. --Daty 18:08, 6. Okt 2006 (CEST)

Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren

"Die Exponentialfunktion lässt sich auf Banachalgebren verallgemeinern. Sie ist immer noch über die Reihe

$\exp(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

definiert" ist so nur definiert wenn die Banachalgebra ein Einselement hat. (nicht signierter Beitrag von 194.154.219.156 (Diskussion | Beiträge) 15:52, 30. Sep. 2009 (CEST))

geschichtliche Aspekte

Da die e-Funktion die Grundlage aller modernen Wissenschaft darstellt (Vgl. beispielsweise [Quantenmechanik]), verdient die Geschichte ihrer [Erfindung] (oder [Entdeckung], relevant nur im weltanschaulichen Sinne) eine besondere Erwähnung, sie fehlt jedoch vollständig. Die Umbennung des Artikels von "Exponentialfunktion" in "Euler'sche Exponentialfunktion" ist zu bedenken. (nicht signierter Beitrag von 92.206.67.150 (Diskussion) 23:00, 13. Jul 2011 (CEST))

Dem pflichte ich bei. Ein Abschnitt ==Geschichte== fehlt. Mir fehlt leider das Wissen dazu. --Alex42 (Diskussion) 23:47, 16. Nov. 2022 (CET)

Dem pflichte ich ausdrücklich bei! --Hugo meder (Diskussion) 03:48, 10. Jun. 2024 (CEST)

Länge Abschnitt Definition

Im Abschnitt Definition finden sich neben verschiedenen Definitionen auch Eigenschaften wie subjektiv etc. Mir ist schon bei anderen Artikeln der Wikipedia aufgefallen, dass neben der Definition neben der Definition einfach noch weitere Fakten eingebracht werden. Ich verstehe ehrlich gesagt nicht, warum. Es wäre meines Erachtens übersichtlicher und klarer, wenn in einem Abschnitt, der mit Definition überschrieben ist, sich auch nur solche finden, und andere Fakten in andere Abschnitte verschoben werden. Ich rege dieses Vorgehen im Allgemeinen und im Speziellen für diesen Artikel an, oder bin zumindest gespannt auf Gegenargumente. --Mathze (Diskussion) 23:21, 26. Dez. 2023 (CET)

+1 --Digamma (Diskussion) 19:04, 28. Dez. 2023 (CET)