Die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion wird definiert durch
p
F
q
(
a
1
,
…
,
a
p
;
b
1
,
…
,
b
q
;
z
)
=
∑
k
=
0
∞
∏
i
=
1
p
Γ
(
k
+
a
i
)
Γ
(
a
i
)
∏
j
=
1
q
Γ
(
b
j
)
Γ
(
k
+
b
j
)
z
k
k
!
{\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)=\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\frac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}\prod _{j=1}^{q}{\frac {\Gamma (b_{j})}{\Gamma (k+b_{j})}}{\frac {z^{k}}{k!}}}
wobei
Γ
(
⋅
)
{\displaystyle \Gamma (\cdot )}
Gammafunktion ist. Die Koeffizienten
p
,
q
∈
N
0
{\displaystyle p,q\in \mathbb {N} _{0}}
a
i
,
b
j
∈
C
{\displaystyle a_{i},b_{j}\in \mathbb {C} }
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
Weitere übliche Notation der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion lauten
p
F
q
[
a
1
,
a
2
,
…
,
a
p
−
1
,
a
p
b
1
,
b
2
,
…
,
b
q
−
1
,
b
q
;
z
]
{\displaystyle {}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dots ,a_{p-1},a_{p}\\b_{1},b_{2},\dots ,b_{q-1},b_{q}\end{matrix}};z\right]\quad }
p
F
q
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
p
−
1
,
a
p
b
1
,
b
2
,
…
,
b
q
−
1
,
b
q
|
z
)
.
{\displaystyle \quad {}_{p}F_{q}\left({\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dots ,a_{p-1},a_{p}\\b_{1},b_{2},\dots ,b_{q-1},b_{q}\end{matrix}}{\bigg \vert }z\right).}
Durch die Wahl der Koeffizienten
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
p
=
q
=
1
{\displaystyle p=q=1}
p
=
2
{\displaystyle p=2}
q
=
1
{\displaystyle q=1}
Unter gewissen Bedingungen sind die Potenzreihen divergent und ermöglichen somit keine Darstellung einer allgemeinen hypergeometrischen Funktion. Insbesondere gibt es Bedingungen für
a
i
{\displaystyle a_{i}}
b
j
{\displaystyle b_{j}}
Γ
(
k
+
a
i
)
Γ
(
a
i
)
{\displaystyle {\tfrac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}}
Γ
(
b
j
)
Γ
(
k
+
b
j
)
{\displaystyle {\tfrac {\Gamma (b_{j})}{\Gamma (k+b_{j})}}}
Beispiel 1
1
F
1
(
2
;
−
1
;
z
)
=
∑
k
=
0
∞
Γ
(
k
+
2
)
Γ
(
2
)
Γ
(
−
1
)
Γ
(
k
−
1
)
z
k
k
!
=
∑
k
=
0
∞
(
k
+
1
)
!
1
Γ
(
−
1
)
Γ
(
k
−
1
)
z
k
k
!
=
∑
k
=
0
∞
(
k
+
1
)
1
Γ
(
−
1
)
Γ
(
k
−
1
)
z
k
=
1
+
2
Γ
(
−
1
)
Γ
(
0
)
z
+
3
Γ
(
−
1
)
Γ
(
1
)
z
2
+
4
Γ
(
−
1
)
Γ
(
2
)
z
3
+
5
Γ
(
−
1
)
Γ
(
3
)
z
4
+
⋯
=
1
+
2
Γ
(
0
)
(
−
1
)
Γ
(
0
)
z
+
3
Γ
(
0
)
(
−
1
)
0
!
z
2
+
4
Γ
(
0
)
(
−
1
)
1
!
z
3
+
5
Γ
(
0
)
(
−
1
)
2
!
z
4
+
⋯
=
1
−
2
z
−
Γ
(
0
)
∑
k
=
1
∞
k
+
2
(
k
−
1
)
!
z
k
+
1
→
lim
x
→
0
+
Γ
(
x
)
→
∞
−
∞
{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{1}F_{1}\left(2;-1;z\right)&\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (k+2)}{\Gamma (2)}}{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (k-1)}}{\frac {z^{k}}{k!}}\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+1)!}{1}}{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (k-1)}}{\frac {z^{k}}{k!}}\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+1)}{1}}{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (k-1)}}z^{k}\\&\;=\;1\;+\;2{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (0)}}z\qquad \;+\;3{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (1)}}z^{2}\;+\;4{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (2)}}z^{3}\ \;+\;5{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (3)}}z^{4}\;+\;\dotsm \\&\;=\;1\;+\;2{\frac {\Gamma (0)}{(-1)\Gamma (0)}}z\quad +\;3{\frac {\Gamma (0)}{(-1)0!}}z^{2}\;+\;4{\frac {\Gamma (0)}{(-1)1!}}z^{3}\;+\;5{\frac {\Gamma (0)}{(-1)2!}}z^{4}\;+\;\dotsm \\&\;=\;1\;-\;2z\;-\;\Gamma (0)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k+2}{(k-1)!}}z^{k+1}\quad {\xrightarrow[{\lim _{x\to 0^{+}}\Gamma (x)\to \infty }]{\quad }}\quad -\infty \end{aligned}}}
Bei der Berechnung wurde die Funktionalgleichung der Gammafunktion
Γ
(
k
+
1
)
=
k
Γ
(
k
)
{\displaystyle \Gamma (k+1)=k\Gamma (k)}
Γ
(
−
1
)
=
Γ
(
0
)
−
1
{\displaystyle \Gamma (-1)={\tfrac {\Gamma (0)}{-1}}}
Beispiel 2
0
F
1
(
;
−
1
;
z
)
=
∑
k
=
0
∞
Γ
(
−
1
)
Γ
(
k
−
1
)
z
k
k
!
=
1
+
Γ
(
−
1
)
Γ
(
0
)
z
1
!
+
Γ
(
−
1
)
Γ
(
1
)
z
2
2
!
+
Γ
(
−
1
)
Γ
(
2
)
z
3
3
!
+
Γ
(
−
1
)
Γ
(
3
)
z
4
4
!
+
⋯
=
1
−
Γ
(
0
)
Γ
(
0
)
z
1
!
−
Γ
(
0
)
Γ
(
1
)
z
2
2
!
−
Γ
(
0
)
Γ
(
2
)
z
3
3
!
−
Γ
(
0
)
Γ
(
3
)
z
4
4
!
+
⋯
=
1
−
z
−
Γ
(
0
)
0
!
z
2
2
!
−
Γ
(
0
)
1
!
z
3
3
!
−
Γ
(
0
)
2
!
z
4
4
!
+
⋯
=
1
−
z
−
Γ
(
0
)
∑
k
=
2
∞
1
(
k
−
2
)
!
z
k
k
!
→
lim
x
→
0
+
Γ
(
x
)
→
∞
−
∞
{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{0}F_{1}\left(;-1;z\right)&\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (k-1)}}{\frac {z^{k}}{k!}}\\&\;=\;1\qquad +\;{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (0)}}{\frac {z}{1!}}\;+\;{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}\;+\;{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (2)}}{\frac {z^{3}}{3!}}\;+\;{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (3)}}{\frac {z^{4}}{4!}}\;+\;\dotsm \\&\;=\;1\qquad \;-\;{\frac {\Gamma (0)}{\Gamma (0)}}{\frac {z}{1!}}\quad -\;{\frac {\Gamma (0)}{\Gamma (1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}\quad -\;{\frac {\Gamma (0)}{\Gamma (2)}}{\frac {z^{3}}{3!}}\quad -\;{\frac {\Gamma (0)}{\Gamma (3)}}{\frac {z^{4}}{4!}}\quad +\;\dotsm \\&\;=\;1\qquad \;-\;z\qquad \qquad -\;{\frac {\Gamma (0)}{0!}}{\frac {z^{2}}{2!}}\quad -\;{\frac {\Gamma (0)}{1!}}{\frac {z^{3}}{3!}}\quad -\;{\frac {\Gamma (0)}{2!}}{\frac {z^{4}}{4!}}\quad +\;\dotsm \\&\;=\;1\qquad \;-\;z\qquad \qquad -\;\Gamma (0)\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{(k-2)!}}{\frac {z^{k}}{k!}}\quad {\xrightarrow[{\lim _{x\to 0^{+}}\Gamma (x)\to \infty }]{\quad }}\quad -\infty \end{aligned}}}
Außer bei den durch die Wahl der Parameter bedingten Divergenzen kann das Quotientenkriterium für Reihen angewandt werden:
Wenn
p
<
q
+
1
{\displaystyle p<q+1}
Quotientenkriterium das Verhältnis der Koeffizienten beschränkt und tendiert gegebenenfalls gegen 0. Dies impliziert, dass die Reihe für jedes endliche
z
{\displaystyle z}
ganze Funktion darstellt. Ein Beispiel hierfür ist die Reihe der Exponentialfunktion. Wenn
p
=
q
+
1
{\displaystyle p=q+1}
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
|
z
|
>
1
{\displaystyle |z|>1}
z
{\displaystyle z}
|
z
|
=
1
{\displaystyle |z|=1}
|
z
|
=
1
{\displaystyle |z|=1}
Re
(
∑
j
=
1
q
b
j
−
∑
i
=
1
p
a
i
)
>
0
{\displaystyle \operatorname {Re} \left(\sum _{j=1}^{q}b_{j}-\sum _{i=1}^{p}a_{i}\right)>0}
Falls
∑
i
=
1
p
a
i
≥
∑
j
=
1
q
b
j
{\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{p}a_{i}\geq \sum _{j=1}^{q}b_{j}}
z
{\displaystyle z}
[ 1]
lim
z
→
1
(
1
−
z
)
d
log
(
p
F
q
(
a
1
,
…
,
a
p
;
b
1
,
…
,
b
q
;
z
p
)
)
d
z
=
∑
i
=
1
p
a
i
−
∑
j
=
1
q
b
j
{\displaystyle \lim _{z\rightarrow 1}(1-z){\frac {\mathrm {d} \log(_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z^{p}))}{\mathrm {d} z}}=\sum _{i=1}^{p}a_{i}-\sum _{j=1}^{q}b_{j}}
Wenn
p
>
q
+
1
{\displaystyle p>q+1}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
Aufgrund der Ordnung (des Grades) des Parameters
a
i
{\displaystyle a_{i}}
b
j
{\displaystyle b_{j}}
a
i
{\displaystyle a_{i}}
b
j
{\displaystyle b_{j}}
2
F
1
(
3
,
1
;
1
;
z
)
=
2
F
1
(
1
,
3
;
1
;
z
)
=
1
F
0
(
3
;
;
z
)
{\displaystyle \,{}_{2}F_{1}(3,1;1;z)=\,{}_{2}F_{1}(1,3;1;z)=\,{}_{1}F_{0}(3;;z)}
Die nachfolgende Identität ermöglicht es, die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion höherer Ordnung als Integralausdruck der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion nächst niedriger Ordnung darzustellen.[ 2]
A
+
1
F
B
+
1
[
a
1
,
…
,
a
A
,
c
b
1
,
…
,
b
B
,
d
;
z
]
=
Γ
(
d
)
Γ
(
c
)
Γ
(
d
−
c
)
∫
0
1
t
c
−
1
(
1
−
t
)
d
−
c
−
1
A
F
B
[
a
1
,
…
,
a
A
b
1
,
…
,
b
B
;
t
z
]
d
t
{\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c\\b_{1},\ldots ,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]\mathrm {d} t}
Die allgemeine hypergeometrische Funktion genügt dem Differentialgleichungssystem:
(1)
(
z
d
d
z
+
a
i
)
p
F
q
[
a
1
,
…
,
a
i
,
…
,
a
p
b
1
,
…
,
b
q
;
z
]
=
a
i
p
F
q
[
a
1
,
…
,
a
i
+
1
,
…
,
a
p
b
1
,
…
,
b
q
;
z
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\qquad \left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{i}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&\;=\;a_{i}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{i}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\\\end{aligned}}}
(2)
(
z
d
d
z
+
b
j
−
1
)
p
F
q
[
a
1
,
…
,
a
p
b
1
,
…
,
b
j
,
…
,
b
q
;
z
]
=
(
b
j
−
1
)
p
F
q
[
a
1
,
…
,
a
p
b
1
,
…
,
b
j
−
1
,
…
,
b
q
;
z
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\qquad \left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{j}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{j},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&\;=\;(b_{j}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{j}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\\\end{aligned}}}
(3)
d
d
z
p
F
q
[
a
1
,
…
,
a
p
b
1
,
…
,
b
q
;
z
]
=
∏
i
=
1
p
a
i
∏
j
=
1
q
b
j
p
F
q
[
a
1
+
1
,
…
,
a
p
+
1
b
1
+
1
,
…
,
b
q
+
1
;
z
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\qquad {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&\;=\;{\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\\\\\end{aligned}}}
Die Zusammenfassung dieser drei Gleichungen ergibt eine Differentialgleichung mit
w
=
p
F
q
(
a
1
,
…
,
a
p
;
b
1
,
…
,
b
q
;
z
)
{\displaystyle w={}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)}
z
∏
n
=
1
p
(
z
d
d
z
+
a
n
)
w
=
z
d
d
z
∏
n
=
1
q
(
z
d
d
z
+
b
n
−
1
)
w
{\displaystyle \qquad \qquad z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w\;=\;z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w}
Anmerkungen:
Differentialgleichung (1)
a
i
p
F
q
[
a
1
,
…
,
a
i
+
1
,
…
,
a
p
b
1
,
…
,
b
q
;
z
]
=
d
e
f
∑
k
=
0
∞
∏
i
=
1
p
a
i
⋅
Γ
(
k
+
a
i
+
1
)
Γ
(
a
i
+
1
)
∏
j
=
1
q
Γ
(
b
j
)
Γ
(
k
+
b
j
)
z
k
k
!
=
d
e
f
∑
k
=
0
∞
(
Γ
(
k
+
a
1
)
Γ
(
a
1
)
⋯
Γ
(
k
+
a
i
−
1
)
Γ
(
a
i
−
1
)
⋅
a
i
⋅
Γ
(
k
+
a
i
+
1
)
Γ
(
a
i
+
1
)
⋅
Γ
(
k
+
a
i
+
1
)
Γ
(
a
i
+
1
)
⋯
Γ
(
k
+
a
p
)
Γ
(
a
p
)
)
∏
j
=
1
q
Γ
(
b
j
)
Γ
(
k
+
b
j
)
z
k
k
!
{\displaystyle {\begin{aligned}&a_{i}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{i}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\tfrac {a_{i}\cdot \Gamma (k+a_{i}+1)}{\Gamma (a_{i}+1)}}\prod _{j=1}^{q}{\tfrac {\Gamma (b_{j})}{\Gamma (k+b_{j})}}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\\&\qquad {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\sum _{k=0}^{\infty }{\Big (}{\tfrac {\Gamma (k+a_{1})}{\Gamma (a_{1})}}\cdots {\tfrac {\Gamma (k+a_{i-1})}{\Gamma (a_{i-1})}}\cdot {\tfrac {a_{i}\cdot \Gamma (k+a_{i}+1)}{\Gamma (a_{i}+1)}}\cdot {\tfrac {\Gamma (k+a_{i+1})}{\Gamma (a_{i+1})}}\cdots {\tfrac {\Gamma (k+a_{p})}{\Gamma (a_{p})}}{\Big )}\prod _{j=1}^{q}{\tfrac {\Gamma (b_{j})}{\Gamma (k+b_{j})}}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\end{aligned}}}
Es ist zu beachten, dass im Falle
p
=
0
{\displaystyle p=0}
(1) die rechte Seite der Gleichung nicht existiert, da die Parameter
a
i
{\displaystyle a_{i}}
a
i
{\displaystyle a_{i}}
d
d
z
p
F
q
(
;
b
1
,
…
,
b
q
;
z
)
{\displaystyle {\tfrac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}(;b_{1},\dots ,b_{q};z)}
z
{\displaystyle z}
Differentialgleichung (2)
(
b
j
−
1
)
p
F
q
[
a
1
,
…
,
a
p
b
1
,
…
,
b
j
+
1
,
…
,
b
q
;
z
]
=
d
e
f
∑
k
=
0
∞
∏
i
=
1
p
Γ
(
k
+
a
i
)
Γ
(
a
i
)
∏
j
=
1
q
(
b
j
−
1
)
⋅
Γ
(
b
j
+
1
)
Γ
(
k
+
b
j
+
1
)
z
k
k
!
=
d
e
f
∑
k
=
0
∞
∏
i
=
1
p
Γ
(
k
+
a
i
)
Γ
(
a
i
)
(
Γ
(
b
1
)
Γ
(
k
+
b
1
)
⋯
Γ
(
b
j
−
1
)
Γ
(
k
+
b
j
−
1
)
⋅
(
b
j
−
1
)
⋅
Γ
(
b
j
+
1
)
Γ
(
k
+
b
j
+
1
)
⋅
Γ
(
b
j
+
1
)
Γ
(
k
+
b
j
+
1
)
⋯
Γ
(
b
q
)
Γ
(
k
+
b
q
)
)
z
k
k
!
{\displaystyle {\begin{aligned}&(b_{j}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{j}+1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\tfrac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}\prod _{j=1}^{q}{\tfrac {(b_{j}-1)\cdot \Gamma (b_{j}+1)}{\Gamma (k+b_{j}+1)}}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\\&\qquad {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\tfrac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}{\Big (}{\tfrac {\Gamma (b_{1})}{\Gamma (k+b_{1})}}\cdots {\tfrac {\Gamma (b_{j-1})}{\Gamma (k+b_{j-1})}}\cdot {\tfrac {(b_{j}-1)\cdot \Gamma (b_{j}+1)}{\Gamma (k+b_{j}+1)}}\cdot {\tfrac {\Gamma (b_{j+1})}{\Gamma (k+b_{j+1})}}\cdots {\tfrac {\Gamma (b_{q})}{\Gamma (k+b_{q})}}{\Big )}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\end{aligned}}}
Auch hier gilt es festzustellen, dass für
q
=
0
{\displaystyle q=0}
(2) auf die Gestalt
z
d
d
z
p
F
q
(
;
b
1
,
…
,
b
q
;
z
)
{\displaystyle z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}{}_{p}F_{q}(;b_{1},\dots ,b_{q};z)}
b
j
−
1
{\displaystyle b_{j}-1}
Differentialgleichung (3)
∏
i
=
1
p
a
i
∏
j
=
1
q
b
j
p
F
q
[
a
1
+
1
,
…
,
a
p
+
1
b
1
+
1
,
…
,
b
q
+
1
;
z
]
=
d
e
f
∑
k
=
0
∞
∏
i
=
1
p
a
i
⋅
Γ
(
k
+
a
i
+
1
)
Γ
(
a
i
+
1
)
∏
j
=
1
q
Γ
(
b
j
+
1
)
b
j
⋅
Γ
(
k
+
b
j
+
1
)
z
k
k
!
=
∑
k
=
0
∞
(
a
1
⋅
Γ
(
k
+
a
1
+
1
)
Γ
(
a
1
+
1
)
⋯
a
i
⋅
Γ
(
k
+
a
i
+
1
)
Γ
(
a
i
+
1
)
⋯
a
p
⋅
Γ
(
k
+
a
p
+
1
)
Γ
(
a
p
+
1
)
)
⋅
(
Γ
(
b
1
+
1
)
b
1
⋅
Γ
(
k
+
b
1
+
1
)
⋯
Γ
(
b
j
+
1
)
b
j
⋅
Γ
(
k
+
b
j
+
1
)
⋯
Γ
(
b
q
+
1
)
b
q
⋅
Γ
(
k
+
b
q
+
1
)
)
z
k
k
!
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\tfrac {a_{i}\cdot \Gamma (k+a_{i}+1)}{\Gamma (a_{i}+1)}}\prod _{j=1}^{q}{\tfrac {\Gamma (b_{j}+1)}{b_{j}\cdot \Gamma (k+b_{j}+1)}}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\\&\qquad =\sum _{k=0}^{\infty }{\Big (}{\tfrac {a_{1}\cdot \Gamma (k+a_{1}+1)}{\Gamma (a_{1}+1)}}\cdots {\tfrac {a_{i}\cdot \Gamma (k+a_{i}+1)}{\Gamma (a_{i}+1)}}\cdots {\tfrac {a_{p}\cdot \Gamma (k+a_{p}+1)}{\Gamma (a_{p}+1)}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\tfrac {\Gamma (b_{1}+1)}{b_{1}\cdot \Gamma (k+b_{1}+1)}}\cdots {\tfrac {\Gamma (b_{j}+1)}{b_{j}\cdot \Gamma (k+b_{j}+1)}}\cdots {\tfrac {\Gamma (b_{q}+1)}{b_{q}\cdot \Gamma (k+b_{q}+1)}}{\Big )}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\end{aligned}}}
Hierbei ist der Quotient der Produkte
∏
i
=
1
p
a
i
∏
j
=
1
q
b
j
{\displaystyle {\tfrac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}}
a
i
,
b
j
∈
C
∖
{
0
,
−
1
,
−
2
,
−
3
,
…
}
{\displaystyle a_{i},b_{j}\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,-3,\ldots \}}
∏
i
=
1
p
a
i
=
d
e
f
{
∏
i
=
1
p
a
i
falls
p
>
0
1
falls
p
=
0
{\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{p}a_{i}\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\begin{cases}\prod _{i=1}^{p}a_{i}&{\text{falls}}\;p>0\\\\1&{\text{falls}}\;p=0\end{cases}}}
und
1
∏
j
=
1
q
b
j
=
d
e
f
{
1
∏
i
=
1
q
b
j
falls
q
>
0
1
falls
q
=
0.
{\displaystyle {\tfrac {1}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\begin{cases}{\tfrac {1}{\prod _{i=1}^{q}b_{j}}}&{\text{falls}}\;q>0\\\\1&{\text{falls}}\;q=0.\end{cases}}}
Für den Fall, dass
p
=
q
=
0
{\displaystyle p=q=0}
∏
i
=
1
p
a
i
∏
j
=
1
q
b
j
=
1
{\displaystyle {\tfrac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}=1}
(3) nimmt folgende Gestalt an
d
d
z
p
F
q
(
;
;
z
)
=
p
F
q
(
;
;
z
)
{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}(;;z)\;=\;{}_{p}F_{q}(;;z)}
Wie eingangs angedeutet, entspricht
0
F
0
(
;
;
z
)
=
e
z
{\displaystyle {}_{0}F_{0}(;;z)=\mathrm {e} ^{z}}
d
d
z
w
=
w
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}w=w}
Beweis
0
F
0
(
;
;
z
)
=
∑
k
=
0
∞
z
k
k
!
=
e
z
{\displaystyle {}_{0}F_{0}\left(;;z\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=\mathrm {e} ^{z}}
Die Funktion vom Typ
0
F
1
(
;
a
;
z
)
{\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}
konfluente hypergeometrische Grenzfunktion . Die Reihe genügt der Differentialgleichung:
z
d
2
w
d
z
2
+
a
d
w
d
z
−
w
=
0
{\displaystyle z{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+a{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}-w=0}
Sie steht eng in Zusammenhang mit den Besselfunktionen :
0
F
1
(
;
1
+
a
;
−
z
2
4
)
=
Γ
(
a
+
1
)
⋅
(
z
2
)
−
a
⋅
J
a
(
z
)
{\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;1+a;-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\Gamma (a+1)\cdot \left({\frac {z}{2}}\right)^{-a}\cdot J_{a}(z)\quad }
J
a
(
z
)
{\displaystyle J_{a}(z)}
Besselfunktion ist
0
F
1
(
;
1
+
a
;
z
2
4
)
=
Γ
(
a
+
1
)
(
z
2
)
−
a
⋅
I
a
(
z
)
{\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;1+a;{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\Gamma (a+1)\left({\frac {z}{2}}\right)^{-a}\cdot I_{a}(z)\quad }
I
a
(
z
)
=
e
−
i
π
2
a
J
a
(
z
)
{\displaystyle I_{a}(z)=e^{-i{\frac {\pi }{2}}a}J_{a}(z)}
modifizierte Besselfunktion Abgeleitete Funktionen der Reihe sind beispielsweise:
0
F
1
(
;
1
2
;
−
z
2
4
)
=
cos
z
{\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;{\frac {1}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\cos z}
oder
0
F
1
(
;
3
2
;
−
z
2
4
)
=
sin
z
z
{\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;{\frac {3}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)={\frac {\sin z}{z}}}
Beispiel Betrachtet werden soll die Kosinusfunktion :
0
F
1
(
;
1
2
;
−
z
2
4
)
=
∑
k
=
0
∞
Γ
(
1
2
)
Γ
(
k
+
1
2
)
(
−
z
2
4
)
k
k
!
=
Γ
(
1
2
)
Γ
(
1
2
)
(
−
z
2
4
)
0
0
!
+
Γ
(
1
2
)
Γ
(
3
2
)
−
z
2
4
1
+
Γ
(
1
2
)
Γ
(
5
2
)
(
−
z
2
4
)
2
2
+
Γ
(
1
2
)
Γ
(
7
2
)
(
−
z
2
4
)
3
2
⋅
3
+
⋯
=
Γ
(
1
2
)
Γ
(
1
2
)
1
1
+
Γ
(
1
2
)
1
2
Γ
(
1
2
)
−
z
2
4
+
Γ
(
1
2
)
3
2
1
2
Γ
(
1
2
)
z
4
4
2
⋅
2
!
+
Γ
(
1
2
)
5
2
3
2
1
2
Γ
(
1
2
)
−
z
6
4
3
⋅
3
!
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{0}F_{1}\left(;{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{4}}\right)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma (k+{\frac {1}{2}})}}{\frac {(-{\frac {z^{2}}{4}})^{k}}{k!}}\\&={\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}{\frac {(-{\frac {z^{2}}{4}})^{0}}{0!}}\;\;\;+{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {3}{2}})}}{\frac {-{\frac {z^{2}}{4}}}{1}}&&+{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {5}{2}})}}{\frac {(-{\frac {z^{2}}{4}})^{2}}{2}}&&+{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {7}{2}})}}{\frac {(-{\frac {z^{2}}{4}})^{3}}{2\cdot 3}}&+\cdots \\&={\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}{\frac {1}{1}}\qquad \quad \ \,+{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{{\frac {1}{2}}\Gamma ({\frac {1}{2}})}}{\frac {-z^{2}}{4}}&&+{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{{\frac {3}{2}}{\frac {1}{2}}\Gamma ({\frac {1}{2}})}}{\frac {z^{4}}{4^{2}\cdot 2!}}&&+{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{{\frac {5}{2}}{\frac {3}{2}}{\frac {1}{2}}\Gamma ({\frac {1}{2}})}}{\frac {-z^{6}}{4^{3}\cdot 3!}}&+\cdots \end{aligned}}}
Hier nutzten wir, dass
Γ
(
x
+
1
)
=
x
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}
Γ
(
3
2
)
=
1
2
Γ
(
1
2
)
{\displaystyle \Gamma ({\tfrac {3}{2}})={\tfrac {1}{2}}\Gamma ({\tfrac {1}{2}})}
Γ
(
1
2
)
{\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}})}
0
F
1
(
;
1
2
;
−
z
2
4
)
=
1
−
z
2
2
!
+
z
4
4
!
−
z
6
6
!
+
⋯
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
z
2
k
(
2
k
)
!
=
cos
z
{\displaystyle {}_{0}F_{1}(;{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{4}})=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}=\cos z}
Ebenfalls direkt als elementare Funktion erfüllt
1
F
0
(
a
;
;
z
)
=
(
1
−
z
)
−
a
{\displaystyle {}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}}
(
1
−
z
)
d
w
d
z
=
a
w
{\displaystyle (1-z){\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}=aw}
Beweis
1
F
0
(
a
;
;
z
)
=
∑
k
=
0
∞
Γ
(
k
+
a
)
Γ
(
a
)
z
k
k
!
=
∑
k
=
0
∞
(
k
+
a
−
1
)
!
(
a
−
1
)
!
z
k
k
!
=
∑
k
=
0
∞
(
k
+
a
−
1
)
!
(
a
+
k
−
1
−
k
)
!
z
k
k
!
=
∑
k
=
0
∞
(
a
+
k
−
1
k
)
z
k
=
∑
k
=
0
∞
(
−
a
k
)
(
−
1
)
k
z
k
=
∑
k
=
0
∞
(
−
a
k
)
(
−
z
)
k
=
(
1
−
z
)
−
a
{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{1}F_{0}\left(a;;z\right)&=\quad \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (k+a)}{\Gamma (a)}}{\frac {z^{k}}{k!}}&&=\quad \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+a-1)!}{(a-1)!}}{\frac {z^{k}}{k!}}&&=\quad \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+a-1)!}{(a+k-1-k)!}}{\frac {z^{k}}{k!}}\\&=\quad \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {a+k-1}{k}}z^{k}&&=\quad \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-a}{k}}(-1)^{k}z^{k}&&=\quad \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-a}{k}}(-z)^{k}\\&=\quad (1-z)^{-a}\end{aligned}}}
Hierbei wurde der Binomialkoeffizient in der Analysis mit der Identität
(
−
a
k
)
=
(
−
1
)
k
(
a
+
k
−
1
k
)
{\displaystyle {\tbinom {-a}{k}}=(-1)^{k}{\tbinom {a+k-1}{k}}}
binomische Reihe dar.
Die Funktion
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}
Kummersche Funktion (nach Ernst Eduard Kummer ). Sie wird vielfach auch als konfluente hypergeometrische Reihe bezeichnet und genügt der Kummerschen Differentialgleichung:
z
d
2
w
d
z
2
+
(
b
−
z
)
d
w
d
z
−
a
w
=
0
{\displaystyle z{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+(b-z){\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}-aw=0}
Abgeleitete Funktionen sind beispielsweise:
1
F
1
(
a
;
a
+
1
;
−
z
)
=
a
z
−
a
γ
(
a
,
z
)
{\displaystyle {}_{1}F_{1}\left(a;a+1;-z\right)=az^{-a}\gamma (a,z)}
γ
(
a
,
z
)
{\displaystyle \gamma (a,z)}
unvollständige Gammafunktion istoder
1
F
1
(
1
;
a
+
1
;
z
)
=
a
z
−
a
e
z
γ
(
a
,
z
)
{\displaystyle {}_{1}F_{1}\left(1;a+1;z\right)=az^{-a}\mathrm {e} ^{z}\gamma (a,z)}
Die Kummersche Funktion lässt sich auch als verallgemeinerte Laguerre-Polynome darstellen:
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
=
Γ
(
1
−
a
)
⋅
Γ
(
b
)
Γ
(
b
−
a
)
⋅
L
-
a
b
-
1
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {_{1}F_{1}} \left(a;\,b;\,z\right)={\frac {\Gamma \left(1-a\right)\cdot \Gamma \left(b\right)}{\Gamma \left(b-a\right)}}\cdot \operatorname {L_{-a}^{b-1}} \left(z\right)}
[ 3] Die Funktion taucht in Zusammenhang mit der Integralexponentialfunktion
E
i
(
z
)
{\displaystyle Ei(z)}
Historisch am bedeutendsten ist die hypergeometrische Funktion
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}
Gaußsche hypergeometrische Funktion , gewöhnliche hypergeometrische Funktion, oder oft einfach nur als hypergeometrische Funktion bezeichnet. Zur Unterscheidung wird für
p
F
q
{\displaystyle {}_{p}F_{q}}
verallgemeinerte hypergeometrische Funktion verwendet, da sonst leicht Verwechslungsgefahr besteht. Die Funktion wurde als erstes vollständig von Carl Friedrich Gauß untersucht, insbesondere zur Konvergenz.
Sie erfüllt die Differentialgleichung
z
(
1
−
z
)
d
2
w
d
z
2
+
(
c
−
(
a
+
b
+
1
)
z
)
d
w
d
z
−
a
b
w
=
0
{\displaystyle z(1-z){\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+(c-(a+b+1)z){\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}-abw=0}
welche als Hypergeometrische Differentialgleichung bezeichnet wird.
Die Funktion taucht in Zusammenhang mit dem Mottpolynom auf.
Die Funktion taucht in Zusammenhang mit der Besselfunktion auf.
Die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion kann noch weiter verallgemeinert werden, indem man Vorfaktoren vor dem
k
{\displaystyle k}
Vorzeichen von
k
{\displaystyle k}
F
p
q
r
s
(
a
1
,
…
,
a
p
;
b
1
,
…
,
b
q
;
c
1
,
…
,
c
r
;
d
1
,
…
,
d
s
;
z
)
=
∑
k
=
0
∞
∏
i
=
1
p
Γ
(
k
+
a
i
)
Γ
(
a
i
)
∏
j
=
1
q
Γ
(
−
k
+
b
j
)
Γ
(
b
j
)
∏
l
=
1
r
Γ
(
c
l
)
Γ
(
k
+
c
l
)
∏
m
=
1
s
Γ
(
d
m
)
Γ
(
−
k
+
d
m
)
z
k
k
!
{\displaystyle {\begin{aligned}&F_{pqrs}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};c_{1},\dots ,c_{r};d_{1},\dots ,d_{s};z)\\&\qquad \qquad =\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\frac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}\prod _{j=1}^{q}{\frac {\Gamma (-k+b_{j})}{\Gamma (b_{j})}}\prod _{l=1}^{r}{\frac {\Gamma (c_{l})}{\Gamma (k+c_{l})}}\prod _{m=1}^{s}{\frac {\Gamma (d_{m})}{\Gamma (-k+d_{m})}}{\frac {z^{k}}{k!}}\end{aligned}}}
Sind diese Vorfaktoren nicht notwendig ganzzahlig, so erhält man als Verallgemeinerung die Fox–Wright Funktionen .
Hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument
Bearbeiten
Die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument ist eine Verallgemeinerung der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion auf ein Matrix -Argument. In der Literatur verzichtet man häufig auf den Wortzusatz verallgemeinert im Namen der Funktion, wegen der Länge des Namens. Sie ist definiert als unendliche Summe von Jack-Polynomen zum Parameter
α
{\displaystyle \alpha }
α
=
2
{\displaystyle \alpha =2}
multivariaten Statistik und in der Theorie der Zufallsmatrizen auf, dann hat man eine Summe von zonalen Polynome , das sind Jack-Polynome mit C-Normalisierung .
Sei
κ
=
(
k
1
,
…
,
k
p
)
{\displaystyle \kappa =(k_{1},\dots ,k_{p})}
Partition und
S
{\displaystyle S}
komplexe symmetrische Matrix . Die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument ist definiert als
m
F
n
(
α
)
(
a
1
,
…
,
a
m
;
b
1
,
…
,
b
n
;
S
)
=
∑
k
=
0
∞
∑
κ
⊢
k
(
a
1
)
κ
α
⋯
(
a
m
)
κ
α
(
b
1
)
κ
α
⋯
(
b
n
)
κ
α
C
κ
(
α
)
(
S
)
k
!
,
{\displaystyle {}_{m}F_{n}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{m};b_{1},\ldots ,b_{n};S)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\kappa \vdash k}{\frac {(a_{1})_{\kappa }^{\alpha }\cdots (a_{m})_{\kappa }^{\alpha }}{(b_{1})_{\kappa }^{\alpha }\cdots (b_{n})_{\kappa }^{\alpha }}}{\frac {C_{\kappa }^{(\alpha )}(S)}{k!}},}
wobei
(
a
)
κ
α
{\displaystyle (a)_{\kappa }^{\alpha }}
verallgemeinerte Pochhammer-Symbol ist,
C
κ
(
α
)
(
S
)
{\displaystyle C_{\kappa }^{(\alpha )}(S)}
α
{\displaystyle \alpha }
k
{\displaystyle k}
[ 4]
![{\displaystyle {}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dots ,a_{p-1},a_{p}\\b_{1},b_{2},\dots ,b_{q-1},b_{q}\end{matrix}};z\right]\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb6cbf39db425df7a0144ea78d8f7660b1d7e13d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{1}F_{1}\left(2;-1;z\right)&\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (k+2)}{\Gamma (2)}}{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (k-1)}}{\frac {z^{k}}{k!}}\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+1)!}{1}}{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (k-1)}}{\frac {z^{k}}{k!}}\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+1)}{1}}{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (k-1)}}z^{k}\\&\;=\;1\;+\;2{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (0)}}z\qquad \;+\;3{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (1)}}z^{2}\;+\;4{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (2)}}z^{3}\ \;+\;5{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (3)}}z^{4}\;+\;\dotsm \\&\;=\;1\;+\;2{\frac {\Gamma (0)}{(-1)\Gamma (0)}}z\quad +\;3{\frac {\Gamma (0)}{(-1)0!}}z^{2}\;+\;4{\frac {\Gamma (0)}{(-1)1!}}z^{3}\;+\;5{\frac {\Gamma (0)}{(-1)2!}}z^{4}\;+\;\dotsm \\&\;=\;1\;-\;2z\;-\;\Gamma (0)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k+2}{(k-1)!}}z^{k+1}\quad {\xrightarrow[{\lim _{x\to 0^{+}}\Gamma (x)\to \infty }]{\quad }}\quad -\infty \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203d60718aeb5809fbc1ce4c5bb6a0970163c900)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{0}F_{1}\left(;-1;z\right)&\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (k-1)}}{\frac {z^{k}}{k!}}\\&\;=\;1\qquad +\;{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (0)}}{\frac {z}{1!}}\;+\;{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}\;+\;{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (2)}}{\frac {z^{3}}{3!}}\;+\;{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (3)}}{\frac {z^{4}}{4!}}\;+\;\dotsm \\&\;=\;1\qquad \;-\;{\frac {\Gamma (0)}{\Gamma (0)}}{\frac {z}{1!}}\quad -\;{\frac {\Gamma (0)}{\Gamma (1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}\quad -\;{\frac {\Gamma (0)}{\Gamma (2)}}{\frac {z^{3}}{3!}}\quad -\;{\frac {\Gamma (0)}{\Gamma (3)}}{\frac {z^{4}}{4!}}\quad +\;\dotsm \\&\;=\;1\qquad \;-\;z\qquad \qquad -\;{\frac {\Gamma (0)}{0!}}{\frac {z^{2}}{2!}}\quad -\;{\frac {\Gamma (0)}{1!}}{\frac {z^{3}}{3!}}\quad -\;{\frac {\Gamma (0)}{2!}}{\frac {z^{4}}{4!}}\quad +\;\dotsm \\&\;=\;1\qquad \;-\;z\qquad \qquad -\;\Gamma (0)\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{(k-2)!}}{\frac {z^{k}}{k!}}\quad {\xrightarrow[{\lim _{x\to 0^{+}}\Gamma (x)\to \infty }]{\quad }}\quad -\infty \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7573197d91b7fbd67b1dfc426bb8a3327f4f9f5)
![{\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c\\b_{1},\ldots ,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d2b97ac362f07d6e3c8ddce360c5c066dcd7ea)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\qquad \left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{i}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&\;=\;a_{i}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{i}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b840fb39eddf5ee2e667c5027489fb663e919fe6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\qquad \left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{j}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{j},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&\;=\;(b_{j}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{j}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b90a28037602a3774da03e39dfb5760c9a2019d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\qquad {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&\;=\;{\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd7d36b3bc79e7c575f22cc958db48fa784c41a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a_{i}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{i}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\tfrac {a_{i}\cdot \Gamma (k+a_{i}+1)}{\Gamma (a_{i}+1)}}\prod _{j=1}^{q}{\tfrac {\Gamma (b_{j})}{\Gamma (k+b_{j})}}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\\&\qquad {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\sum _{k=0}^{\infty }{\Big (}{\tfrac {\Gamma (k+a_{1})}{\Gamma (a_{1})}}\cdots {\tfrac {\Gamma (k+a_{i-1})}{\Gamma (a_{i-1})}}\cdot {\tfrac {a_{i}\cdot \Gamma (k+a_{i}+1)}{\Gamma (a_{i}+1)}}\cdot {\tfrac {\Gamma (k+a_{i+1})}{\Gamma (a_{i+1})}}\cdots {\tfrac {\Gamma (k+a_{p})}{\Gamma (a_{p})}}{\Big )}\prod _{j=1}^{q}{\tfrac {\Gamma (b_{j})}{\Gamma (k+b_{j})}}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de4544ac10e52124dc31257c5d583b7709aeb8d9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(b_{j}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{j}+1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\tfrac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}\prod _{j=1}^{q}{\tfrac {(b_{j}-1)\cdot \Gamma (b_{j}+1)}{\Gamma (k+b_{j}+1)}}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\\&\qquad {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\tfrac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}{\Big (}{\tfrac {\Gamma (b_{1})}{\Gamma (k+b_{1})}}\cdots {\tfrac {\Gamma (b_{j-1})}{\Gamma (k+b_{j-1})}}\cdot {\tfrac {(b_{j}-1)\cdot \Gamma (b_{j}+1)}{\Gamma (k+b_{j}+1)}}\cdot {\tfrac {\Gamma (b_{j+1})}{\Gamma (k+b_{j+1})}}\cdots {\tfrac {\Gamma (b_{q})}{\Gamma (k+b_{q})}}{\Big )}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ec2526ea15989ddd70c0c871873e58c18245db)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\tfrac {a_{i}\cdot \Gamma (k+a_{i}+1)}{\Gamma (a_{i}+1)}}\prod _{j=1}^{q}{\tfrac {\Gamma (b_{j}+1)}{b_{j}\cdot \Gamma (k+b_{j}+1)}}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\\&\qquad =\sum _{k=0}^{\infty }{\Big (}{\tfrac {a_{1}\cdot \Gamma (k+a_{1}+1)}{\Gamma (a_{1}+1)}}\cdots {\tfrac {a_{i}\cdot \Gamma (k+a_{i}+1)}{\Gamma (a_{i}+1)}}\cdots {\tfrac {a_{p}\cdot \Gamma (k+a_{p}+1)}{\Gamma (a_{p}+1)}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\tfrac {\Gamma (b_{1}+1)}{b_{1}\cdot \Gamma (k+b_{1}+1)}}\cdots {\tfrac {\Gamma (b_{j}+1)}{b_{j}\cdot \Gamma (k+b_{j}+1)}}\cdots {\tfrac {\Gamma (b_{q}+1)}{b_{q}\cdot \Gamma (k+b_{q}+1)}}{\Big )}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb39da504d953ebca2ff59a675ee74c04a1a7353)
