Gammaverteilung

Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist einerseits eine direkte Verallgemeinerung der Exponentialverteilung und andererseits eine Verallgemeinerung der Erlang-Verteilung für nichtganzzahlige Parameter. Wie diese wird sie beispielsweise verwendet

in der Warteschlangentheorie, um Bedienzeiten oder Reparaturzeiten zu beschreiben;
in der Versicherungsmathematik, um kleinere bis mittlere Schäden zu modellieren.

Definition

Die Gammaverteilung ${\mathcal {G}}(p,\,b)$ ist durch die Wahrscheinlichkeitsdichte $f(x)={\begin{cases}{\frac {\displaystyle b^{p}}{\displaystyle \Gamma (p)}}x^{p-1}e^{-bx}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}$ definiert. Sie besitzt die reellen Parameter $b$ und $p$ . Der Parameter $b$ ist ein inverser Skalenparameter und der Parameter $p$ ist ein Formparameter. Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird $b>0$ und $p>0$ gefordert. Der Vorfaktor $b^{p}/\Gamma (p)$ dient der korrekten Normierung; der Ausdruck $\Gamma (p)$ steht für den Funktionswert der Gammafunktion, nach der die Verteilung auch benannt ist.
Die Gammaverteilung genügt damit der Verteilungsfunktion $F(x)={\begin{cases}P(p,bx)&x\geq 0\\0&x<0,\end{cases}}$ wobei $P(p,\,bx)$ die regularisierte Gammafunktion der oberen Grenze ist.

Alternative Parametrisierung

Alternativ zur obigen, im deutschsprachigen Raum üblichen Parametrisierung mit $p$ und $b$ findet man auch häufig

(\alpha =p,\beta =b)

oder

\left(k=p,\theta ={\frac {1}{b}}\right).

$\beta =b$ ist die Umkehrung eines Skalenparameters und $\theta =1/b$ ist der Skalenparameter selbst. Dichte und Momente ändern sich dementsprechend bei diesen Parametrisierungen (der Erwartungswert wäre hier beispielsweise $\alpha /\beta$ beziehungsweise $k\theta$ ). Da diese Parametrisierungen im angelsächsischen Raum vorherrschen, werden sie besonders häufig in der Fachliteratur verwendet. Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, die Momente explizit anzugeben, also beispielsweise von einer Gammaverteilung mit Erwartungswert $p/b$ und Varianz $p/b^{2}$ zu sprechen. Hieraus sind dann Parametrisierung und die entsprechenden Parameterwerte eindeutig rekonstruierbar.

Eigenschaften

Die Dichte $f$ besitzt für $p>1$ an der Stelle $x_{M}={\tfrac {p-1}{b}}$ ihr Maximum und für $p>2$ an den Stellen

x_{W}=x_{M}\pm {\frac {(p-1)^{\frac {1}{2}}}{b}}

Wendepunkte.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist

\operatorname {E} (X)={p \over b}.

Varianz

Die Varianz der Gammaverteilung ist

\operatorname {Var} (X)={p \over b^{2}}.

Schiefe

Die Schiefe der Verteilung ist gegeben durch

\operatorname {v} (X)={\frac {2}{\sqrt {p}}}.

Reproduktivität

Die Gammaverteilung ist reproduktiv: Die Summe aus den stochastisch unabhängigen gammaverteilten Zufallsvariablen $X$ und $Y$ mit den Parametern $b$ und $p_{x}$ bzw. $p_{y}$ , ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern $b$ und $p_{x}+p_{y}$ .

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

\phi _{X}(s)=\left({\frac {b}{b-is}}\right)^{p}.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Gammaverteilung ist

m_{X}(s)=\left({\frac {b}{b-s}}\right)^{p}.

Entropie

Die Entropie der Gammaverteilung beträgt

H(X)=\ln \left(\Gamma (p)\right)-\ln \left(b\right)+(1-p)\psi (p)+p

wobei $\psi (p)$ die Digamma-Funktion bezeichnet.

Summe gammaverteilter Zufallsgrößen

Sind $X_{1}\sim {\mathcal {G}}(p_{1},b)$ und $X_{2}\sim {\mathcal {G}}(p_{2},b)$ unabhängige gammaverteilte Zufallsgrößen dann ist auch die Summe $X_{1}+X_{2}$ gammaverteilt, und zwar

X_{1}+X_{2}\sim {\mathcal {G}}(p_{1}+p_{2},b).

Allgemein gilt: Sind $X_{i}\sim {\mathcal {G}}(p_{i},b)\quad i=1,\ldots ,n$ stochastisch unabhängig dann ist

X_{1}+\dotsb +X_{n}\sim {\mathcal {G}}(p_{1}+\dotsb +p_{n},b).

Somit bildet die Gammaverteilung eine Faltungshalbgruppe in einem ihrer beiden Parameter.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Betaverteilung

Wenn $X\sim {\mathcal {G}}(p_{1},b)$ und $Y\sim {\mathcal {G}}(p_{2},b)$ unabhängige gammaverteilte Zufallsvariablen sind mit den Parametern $p_{1},b$ bzw. $p_{2},b$ , dann ist die Größe ${\tfrac {X}{X+Y}}$ betaverteilt mit Parametern $p_{1}$ und $p_{2}$ , kurz

\operatorname {Beta} (p_{1},p_{2})\sim {\frac {{\mathcal {G}}(p_{1},b)}{{\mathcal {G}}(p_{1},b)+{\mathcal {G}}(p_{2},b)}}.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung mit $k$ Freiheitsgraden ist eine Gammaverteilung mit den Parametern $p=k/2$ und $b=1/2$ .

Beziehung zur Erlang-Verteilung

Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter $\lambda$ und $n$ Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern $p=n$ und $b=\lambda$ und liefert die Wahrscheinlichkeit der Zeit bis zum Eintreffen des $p$ -ten seltenen, Poisson-verteilten Ereignisses.

Beziehung zur Exponentialverteilung

Wählt man in der Gammaverteilung den Parameter $p=1$ , so erhält man die Exponentialverteilung mit Parameter $\lambda =b$ .
Die Faltung von $n$ Exponentialverteilungen mit demselben $\lambda$ ergibt eine Gamma-Verteilung mit $p=n,b=\lambda$ .

Beziehung zur logarithmischen Gammaverteilung

Ist $X$ Gamma-verteilt, dann ist $Y=e^{X}$ Log-Gamma-verteilt.

Literatur

Bernard W. Lindgren: Statistical Theory. Chapman & Hall, New York u. a. 1993, ISBN 0-412-04181-2.
Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 11. Auflage. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, ISBN 3-326-00079-0.
P. Heinz Müller (Hrsg.): Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik. 5., bearb. und wesentlich erw. Auflage. Akad.-Verlag, Leipzig 1991, ISBN 3-05-500608-9

Weblinks

siehe auch Lévy-Prozess, mit Bild von einem Gamma-Prozess
Interaktives Applet der Universität Konstanz zum Darstellen der Gammaverteilung: http://www.uni-konstanz.de/FuF/wiwi/heiler/os/vt-gamma.html
Gerechnete Beweise: http://www.eisber.net/StatWiki/index.php/WS2_Zettel1#Gamma-Verteilung