Lévy-Verteilung

Lévy-Verteilungen (benannt nach dem französischen Mathematiker Paul Lévy) sind eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit der besonderen Eigenschaft eines jeweils unendlichen Erwartungswerts.

Definition

Lévy-Dichtefunktionen verschiedener Skalierung und μ=0

Die Dichtefunktion der Lévy-Verteilungen lautet

f(x)={\sqrt {\frac {\gamma }{2\pi }}}\cdot {\frac {1}{(x-\mu )^{3/2}}}\cdot \exp \left(-{\frac {\gamma }{2(x-\mu )}}\right),\quad x>\mu

., mit den beiden Parametern

\gamma >0,\,\mu \in \mathbb {R}

.

$\mu$ ist ein Lageparameter und definiert die Position auf der $x$ -Achse;
$\gamma$ ist ein Skalenparameter (Stauchung für $\gamma <1$ ; Streckung für $\gamma >1$ ).

Standard-Lévy-Verteilung

Die Standard-Lévy-Verteilung ist die Lévy-Verteilung mit den Parameterwerten $\gamma =1,\mu =0$ ; ihre Dichtefunktion lautet damit:

f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \cdot x^{3}}}}\cdot e^{-{\frac {1}{2x}}},\quad x>0

.

Eigenschaften

Die Standard-Lévy-Verteilung gehört (wie die Normalverteilung und die Cauchy-Verteilung) zur übergeordneten Familie der alpha-stabilen Verteilungen, d. h., sie erfüllt die Bedingung:

(X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n})\sim n^{1/\alpha }X

(hier mit $\alpha =1/2$ ) für alle unabhängigen Standard-Lévy-verteilten Zufallsgrößen $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},X$ . Da die Theorie der $\alpha$ -stabilen Verteilungen maßgeblich von Lévy mitgestaltet wurde, spricht man, um Verwechslungen vorzubeugen, auch oft von der eigentlichen Lévy-Verteilung.

Momente

Die Lévy-Verteilung besitzt keinen endlichen Erwartungswert, denn es gilt $\operatorname {E} (|X|)=\infty$ . Die Lévy-Verteilung gehört somit zu den Verteilungen mit schweren Rändern, die vor allem dazu verwendet werden, extreme Ereignisse (z. B. einen Börsencrash in der Finanzmathematik) zu modellieren.

Anwendung

Mit der Lévy-Verteilung lassen sich verschiedene Phänomene insbesondere in der Natur beschreiben:

Verlauf von Börsenkursen^[1]
Umpolung des Erdmagnetfeldes^[2]
Intervalle zwischen aufeinander folgenden Tönen in Melodien^[3]
Pfade von Wildtieren bei der Futtersuche^[4]
Teilchenbewegungen in turbulenten Strömungen^[5]

Einzelnachweise

↑ Applebaum, D.: Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes. (PDF; 282 kB) University of Sheffield, 22. Juli 2010, S. 37–53, abgerufen am 13. Juni 2014.
↑ Belle Dumé: Geomagnetic flip may not be random after all. In: physicsworld.com. 21. März 2006, abgerufen am 13. Juni 2014.
↑ Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (englisch).
↑ Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (englisch).
↑ Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (englisch).

[applebaum-1] Applebaum, D.: Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes. (PDF; 282 kB) University of Sheffield, 22. Juli 2010, S. 37–53, abgerufen am 13. Juni 2014.

[2] Belle Dumé: Geomagnetic flip may not be random after all. In: physicsworld.com. 21. März 2006, abgerufen am 13. Juni 2014.

[3] Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (englisch).

[4] Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (englisch).

[5] Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (englisch).

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