Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung

matrixvariate Von-Mises-Fisher-Verteilung

Die Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung (auch Matrix-Langevin-Verteilung) ist Wahrscheinlichkeitsverteilung, die vor allem in der multivariaten Statistik untersucht wird. Es handelt sich hierbei um die matrixvariate Von-Mises-Fisher-Verteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit. Sie findet Anwendung in der gerichteten Statistik.

Die Verteilung wurde 1972[1] von Thomas D. Down eingeführt und ist nach Richard von Mises und Ronald Fisher benannt.

Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung

Bearbeiten

Sei

  •   die Stiefel-Mannigfaltigkeit, wir können die Mannigfaltigkeit als   identifizieren,
  •   das Haar-Wahrscheinlichkeitsmaß auf  ,
  •   die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument, d. h.   und   symmetrisch,
  •  ,

dann ist die Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung zum  -Parameter   definiert als[2]

 

  kann mit Hilfe von zonalen Polynome als Reihe dargestellt werden.

Normalisierungskonstante

Bearbeiten

Die Integraldarstellung

 

wurde 1961[3] von Alan T. James bewiesen. Sei   vom Rang   und   die Singulärwertzerlegung, dann gilt

 

mit  .

Momenterzeugende Funktion

Bearbeiten

Die momenterzeugende Funktion ist

 [4]

Verallgemeinerung

Bearbeiten

Down studierte die Verteilung auf der Stiefel-C-Mannigfaltigkeit  , wobei   eine positiv definite  -Matrix ist.[5]

Literatur

Bearbeiten
  • Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, 2000, ISBN 1-58488-046-5 (englisch).
  • Yasuko Chikuse: Concentrated matrix Langevin distributions. In: Journal of Multivariate Analysis. Band 85, 2003, S. 375–394, doi:10.1016/S0047-259X(02)00065-9 (englisch).
  • Thomas D. Down: Orientation statistics. In: Biometrika. Band 59, 1972, S. 665–676, doi:10.2307/2334817 (englisch).

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Thomas D. Down: Orientation statistics. In: Biometrika. Band 59, 1972, S. 665–676, doi:10.2307/2334817.
  2. Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, ISBN 1-58488-046-5, S. 281.
  3. Alan T. James: The Distribution of Noncentral Means with Known Covariance. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Mathematical Statistics. Band 32, Nr. 3, 1961, S. 874 - 882, doi:10.1214/aoms/1177704980.
  4. Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, 2000, ISBN 1-58488-046-5, S. 282.
  5. Thomas D. Down: Orientation statistics. In: Biometrika. Band 59, 1972, S. 665–676.