Gemischte Poisson-Verteilung

Die gemischte Poisson-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik, die univariat ist und zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zählt. Sie ist als allgemeiner Ansatz für die Schadenzahlverteilung in der Versicherungsmathematik zu finden und wird auch als epidemiologisches Modell untersucht. Sie verallgemeinert die Poisson-Verteilung und sollte nicht mit der zusammengesetzten Poisson-Verteilung verwechselt werden.

Definition

Eine Zufallsvariable $X$ genügt der Gemischten Poisson-Verteilung mit der Dichte $\pi (\lambda )$ , wenn sie die Wahrscheinlichkeiten

\operatorname {P} (X=k)=p_{\pi }(k)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda

besitzt. Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten der Poisson-Verteilung mit $q_{\lambda }(k)\,$ bezeichnen, gilt folglich

\operatorname {P} (X=k)=p_{\pi }(k)=\int \limits _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda

.

Eigenschaften

Die Varianz ist immer größer als der Erwartungswert. Diese Eigenschaft nennt man Überdispersion (englisch overdispersion). Dies ist im Gegensatz zur Poisson-Verteilung, bei der Erwartungswert und Varianz identisch sind.
In der Praxis werden als Dichten $\pi (\lambda )$ nur Dichten von Gamma-Verteilungen, logarithmische Normalverteilungen und von Inversen Gauß-Verteilungen benutzt. Wählt man die Dichte der Gamma-Verteilung, so erhält man die Negative Binomialverteilung, was erklärt, warum diese auch Poisson-Gamma-Verteilung genannt wird.

Im Folgenden sei $\mu _{\pi }=\int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )d\lambda \,$ der Erwartungswert der Dichte $\pi (\lambda )\,$ , und $\sigma _{\pi }^{2}=\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{2}\,\,\pi (\lambda )d\lambda \,$ die Varianz dieser Dichte.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu

\operatorname {E} (X)=\mu _{\pi }

.

Varianz

Für die Varianz erhält man

\operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}

.

Standardabweichung

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man die Standardabweichung

\sigma ={\sqrt {\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}}}

.

Variationskoeffizient

Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:

\operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}}{\mu _{\pi }^{2}}}}

.

Schiefe

Die Schiefe lässt sich darstellen als

\operatorname {v} (X)={\Bigl (}\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}{\Bigr )}^{-{\frac {3}{2}}}\,{\Biggl [}\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{3}\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}

.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

\varphi _{X}(s)=M_{\pi }(e^{is}-1)\,

.

Dabei ist $M_{\pi }$ die momenterzeugende Funktion der Dichte.

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

m_{X}(s)=M_{\pi }(s-1)\,

.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der gemischten Poisson-Verteilung ist

M_{X}(s)=M_{\pi }(e^{s}-1)\,

.

Literatur

Jan Grandell: Mixed Poisson Processes. Chapman & Hall, London 1997, ISBN 0-412-78700-8.
Tom Britton: Stochastic Epidemic Models with Inference. Springer, 2019, doi:10.1007/978-3-030-30900-8